矢量旋转变换

1、向量的旋转变换向量的旋转变换西南交通大学西南交通大学基础的基础的2-D2-D绕原点旋转绕原点旋转在在2-D2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量量R R逆时针旋转角度逆时针旋转角度B B前后的情况。在左图中，我们有前后的情况。在左图中，我们有关系：关系：vx x0 0=|R|=|R|* *cosAcosAvy y0 0=|R|=|R|* *sinAsinAv=cosAcosA=x=x0 0/|R| sinA/|R| sinA=y=y0 0/|R|

2、/|R|v下图中，下图中，x x1 1=|R|=|R|* *coscos（A+BA+B） y y1 1=|R|=|R|* *sinsin（A+BA+B）v其中（其中（x x1 1，y y1 1）就是（）就是（x x0 0，y y0 0）旋转角）旋转角B B后得到的后得到的点，也就是位置向量点，也就是位置向量R R最后指向的点。最后指向的点。 vx x1 1=|R|=|R|* *coscos（A+BA+B） y y1 1=|R|=|R|* *sinsin（A+BA+B）v我们展开我们展开coscos（A+BA+B）和）和sinsin（A+BA+B），得到），得到vx x1 1=|R|=|R|*

3、*（cosAcosB-sinAsinBcosAcosB-sinAsinB）vy y1 1=|R|=|R|* *（sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB）v现在把现在把 cosAcosA = x = x0 0/|R| sinA/|R| sinA = y = y0 0/|R|/|R|v代入上面的式子，得到代入上面的式子，得到vx x1 1 = |R|= |R|* *（x x0 0* *cosB/|R|-ycosB/|R|-y0 0* *sinBsinB/|R|/|R|）vy y1 1 = |R| = |R|* *（y y0 0* *cosB/|R|+xcosB/|R|

4、+x0 0* *sinBsinB/|R|/|R|）v= x= x1 1 = x = x0 0 * * cosB cosB - y - y0 0 * * sinB sinBv y y1 1 = x = x0 0 * * sinB sinB + y + y0 0 * * cosB cosBv现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即：现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即：2-D2-D旋转变换旋转变换矩阵：矩阵：AsinA cossinAcosA cosAsinA sinAcosA 平面旋转矩阵平面旋转矩阵yxvv11 cossinsincosyxvviR1平移部分v平移不是线性的，不能表示为与22矩

5、阵相乘的形式。例如要从点(2, 1)开始，将其旋转 90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。11 1BPRBPiii111OPOBROPOBiii1111OPROPOBROBiiiiiP1B110 xyPiBi 111111111111cossinsincoscossinsincosPPiiiiPiPiBBiiiiBiBiyxyxyxyx iPiPPiiBiBiPiPPiiBiBBiBiyxyyxyxxyxyx1111111111111111cossincossinsincossincos v补充部分平移部分v平移不是线性的，

6、不能表示为与22矩阵相乘的形式。例如要从点(2, 1)开始，将其旋转 90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。v后面跟一平移（与 12 矩阵相加）的线性变换（与 22 矩阵相乘）称为仿射变换。放射变换（先乘后加）可以通过乘以一个3*3的矩阵来实现，若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的 13 矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于 1。例如，矩阵 2 1 1 代表点 (2, 1)。例如与单个 33 矩阵相乘的仿射变换（旋转 90 度；在 x 方向上平移 3 个单位，在 y 方向上平移 4 个单位）：v在前面的

7、示例中，点(2,1)映射到了点(2, 6)。其中33 矩阵的第三列包含数字0，0，1。对于仿射变换的33 矩阵都是这样的。重要的数字是列 1 和列 2 中的 6 个数字。矩阵左上角的 22 部分表示变换的线性部分，第 3 行中的前两项表示平移。v在使用3*3的矩阵做仿射变换时候，表示点的矩阵变成了一个1*3矩阵，这个矩阵中的最后一个值必须设置成1。对于3*3矩阵，其最后一列的值是多少是没有关系的，因为他们不会影响结果中的前两列。不过如上，经常将他们设置为0，0，1。这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响，但是他们是必须的，因为矩阵相乘必须满足 “相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的

8、行数相同”。v平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。 v把顶点和矩阵相乘，就会发现矩阵的某些项，扮演着为顶点变换（平移、旋转、缩放）提供参数的作用。（前人总结出来，填哪些那些项能得到平移矩阵/缩放矩阵/旋转矩阵）比如平移矩阵，你自己拿一个顶点和它相乘，算一遍，就会发现它化简到最后一步时的算式，和顶点平移算式是一样的。旋转、缩放也是如此。v那么为什么还要和矩阵相乘？直接用平移算式、旋转算式、缩放算式不就行了？v不行 因为靠矩阵来计算可以减少计算量。v一个顶点要进行多次变换，比如平移后旋转再平移之后再缩放，用简单算式得算4遍，矩阵只要算一遍。v原理就是公式：（顶点矩阵A）矩阵B = 顶点（矩阵A矩阵B），即矩阵接合律的推广。（矩阵一般不遵守分配律，所以顶点变换有先后顺序，一个顶点平移再旋转，和旋转再平移，得