2.6第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程1

1、 形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案如2. 6 应用一元二次方程图所示，矩形P, Q为两块绿地，其余为硬第 1 课时几何问题及数字化路面，P, Q两块绿地周围的硬化路面宽 都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 1 ABCD面积的匚，求P, Q两块绿地周围的硬 4问题与一元二次方程 化路面的宽. 1.掌握列一元二次方程解决几何问题、 数学问题， 并能根据具体问题的实际意义， 检验结果的合理性；（重点、难点） 2理解将一些实际问题抽象为方程模 型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数 学的角度提出问题、 分析问题，并能运用所 学的知识解决问题. 、情景导入 要设计一本书的封面，封面长 27cm ,

2、 宽21cm， 正中央是一个与整个封面长宽比 例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所 占面积是封面面积的四分之一， 上下边衬等 宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的 宽度（精确到0.1cm）? 解：设P, Q两块绿地周围的硬化路面 的宽为x米. 根据题意，得（60 3x） （40 2x）= 1 60X 40X：, 4 解得 xi= 10, X2= 30. 检验：如果硬化路面宽为 30米，则 2 X 30= 6040,所以X2= 30不符合题意， 舍去，故x= 10. 故P, Q两块绿地周围的硬化路面的宽 为10米. 易错提醒：在应用题中，未知数的允许 值往往有一定的限制，因此除了检验未知数

3、的值是否满足所列方程外，还必须检验它在 实际问题中是否有意义.在求出方程的解为 10或30时，如果不进行验根，就会误以为 本题有两个答案，而题目中明确有 “荒地 ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这 个已知条件，显然 x= 30不符合题意.二、合作探究 探究点一：利用一元二次方程解决几何 问题 【类型一】 面积问题 类型二】 动点问题 如图所示，A, B, C, D为矩形 的四个顶点， AB = 16cm, AD = 6cm, P, Q 分别从点A, C同时出发，点P以3cm/s的 速度向点B运动，一直到达 B为止，点Q要对一块长60米，宽40米的矩 以2cm/s的速度向D移动， 点P停

4、止运动时 点Q也停止运动. (1) P, Q两点从出发开始几秒时， 形PBCQ的面积为33cm2? (2) P, Q两点从出发开始几秒时， 和点Q的距离第一次是10cm? 探究点二：利用一元二次方程解决数字 问题 个位数字与十位 数字的和为14,交换位置后，得到新的两位 数，比这两个数字的积还大 38,求这个两位 数. 解析：这是一个数字排列的问题，题中 有两个等量关系，由前一个等量关系知， 个 解：(1)设P, Q两点从出发开始 四边形PBCQ的面积为33cm2,根据题意得 PB = AB AP = (16 3x)cm, CQ= 2xcm. 1 故2(2x + 16 3x) X 6= 33,

5、解得 x= 5. 故P, Q两点从出发开始5s时，四边形 2 PBCQ的面积为33cm ； 设P, Q两点从出发开始xs时，点P 和点Q的距离是10cm. 如图，过Q点作QM丄AB于点M，则 BM = CQ = 2xcm，故 PM = (16 5x)cm. 在 Rt PMQ 中，PM2+ MQ2= PQ2, 2 2 2 8 (16 5x)2+ 62= 102.解得 X1= , X2 = 5 24 5. 所求的是第一次满足条件的时间, 8 / x= _ 5 8 故P, Q两点从出发开始宾时，点P和 5 点Q的距离第一次是10cm. 方法总结： 解决动态几何问题的关键是 寻找点运动的过程中变化的量

6、与不变的量, 位数字与十位数字均可用同一个未知数表 示，这样交换位置后的新两位数也可以用上 述未知数表示出来，然后根据后一个等量关 系可列方程求解. 解： 设个位数字为X,则十位数字为14 x,两数字之积为x(14 x),两个数字交换 位置后的新两位数为 10 x+ (14 x). 根据题意，得 10 x+ (14 x) x(14 x) =38. 整理，得 x2 5x 24= 0,解得 X1= 8, X2= 3. 因为个位数上的数字不可能是负数， 所 以x= 3应舍去. 当 x= 8 时，14 x= 6. 所以这个两位数是 68. 方法总结：(1)数字排列问题常采用间接 设未知数的方法求解.(2)注意数字只有0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个，且最 高位上的数字不能为 0,而其他如分数、负 寻找等量关系列方程.对于动点问题，常先 假设出点的位置，根据面积或其他关系列出 方程，如果方程的根符合题目的要求，就说 数根不符合实际意义，必须舍去. 三、板书设计 几何问题及数字问题 几何问题 面积问题 动点问题 明假设成立，否则，假设不成立. 数字问题 四边 占 八XS时, 有一个两位数, 经历分析具体问题中的数量关系，