电磁波第三章-静态电磁场及其边值问题的解

1、电磁场与电磁波第三章第三章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第2页静态电磁场：静态电磁场： 电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的相互独立的恒定电场：恒定电场： 导电媒质中恒定运动电荷形成，电源提供能量导电媒质中恒定运动电荷形成，电源提供能量 恒定磁场：恒定磁场：恒定电流产生恒定电流产生电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静电场：静电场：静止电荷产生静止电荷产生第3页由由3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件SdtDJl

2、 dHCS )(tDJH SdtBl dECS tBE SSdB00 B SqSdD D得得 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第4页积分形式积分形式 微分形式微分形式 意义意义一、基本方程一、基本方程( (适用于任何介质的静电场适用于任何介质的静电场) ) SqSdD CldE0 D0 E E 电荷是静电场的源电荷是静电场的源 静电场是保守场静电场是保守场 本构关系：本构关系： ED 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第5页电场强度的

3、切向分量总是连续的电场强度的切向分量总是连续的 分界面上有自由电荷分界面上有自由电荷 分界面上无自由电荷分界面上无自由电荷 二、边界条件二、边界条件ttEE21 SnnDD 21nnDD21 即即 nnEE2211 ( ( 时，时， 的法向分量是不连续的，因为分界面上存在束缚电荷的法向分量是不连续的，因为分界面上存在束缚电荷) ) 21 折射关系：折射关系： 2121 tgtg电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解E第6页一、电位和电位差一、电位和电位差若若 ( (梯度没有旋度梯度没有旋度) )，由此定义，由此定义 3.1.2 电位函数

4、电位函数0 A，则则 Au 电位函数电位函数 ： 0 EE ；电位单位：；电位单位：V ( (伏特伏特) ) 在直角坐标中，在直角坐标中， zeyexeEzyx 沿任意方向的投影：沿任意方向的投影： lEl 电位函数和电场的积分关系：电位函数和电场的积分关系： l dEdlEdl A、B 两点的电位差：两点的电位差： ),(),(zyxBzyxAABl dE 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第7页或或定义点定义点A电位：电位： ( (P 为参考点，为参考点， ) ) BABAl dE PAAl dE 0 P 说明：说明： 电位有明

5、确的物理意义；电位有明确的物理意义； 电位差与参考点的选择无关；电位差与参考点的选择无关； 同一问题中只能有一个参考点；同一问题中只能有一个参考点；应使电位表达式最简单：应使电位表达式最简单：电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，均匀场或无限大带电体一般选择均匀场或无限大带电体一般选择( )( )为为参考点。参考点。 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，常数常数 rrr00电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第8页 体分布体分布 面分布面分布

6、 线分布线分布 分布电荷的电位分布电荷的电位 CRdVV 04 CRdSSS 04 CRdlll 04 点电荷电位：点电荷电位：CRqRqRqRdRql deRqpRRRRRPP 000202044444 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第9页静电场是位场静电场是位场电位梯度代替电场强度电位梯度代替电场强度 1、 的微分方程的微分方程二、静电位的微分方程二、静电位的微分方程 将将 E0 E 代入代入 得得 0 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 2 泊松方程泊松方程 02 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 静电问题求解静电问题求解

7、: E求求02 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第10页直角坐标：直角坐标： 2222222zyx 圆柱坐标：圆柱坐标： 2222221)(1z 球球 坐坐 标：标： 2222222sin1)(sinsin1)(1 rrrrrr电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第11页2、 的边界条件的边界条件 分界面上电位是连续的分界面上电位是连续的 21 ttEE21 用电位表示的用电位表示的 的法向分量的边界条件的法向分量的边界条件 D有自由电荷时有自由电荷时

8、Snn 2211SnnDD 21无自由电荷时无自由电荷时 nn 2211 nnDD21 由由 ，nnED111 ，nnED222 nEn 导体表面上，电位的边界条件为导体表面上，电位的边界条件为 常常数数 Sn电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第12页 电容电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力物理量。能力物理量。 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容孤立导体电容孤立导体电容： ， qC q 为导体电量，为导体电量， 为电位，其参考点在为电位，其参考点在 大地也

9、是导体大地也是导体，取，取 0 两个两个带等量异号电荷带等量异号电荷( ( q) )导体电容导体电容： 21 qUqC电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关( (该比值为常数该比值为常数) )电容的计算：电容的计算： UqCUEq )( 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第13页电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移

10、相、隔直、旁路、在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用选频等作用通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。电能的损失和提高电气设备的利用率。 当有三个以上导体存在时，计算两个导体间的电容，就必须当有三个以上导体存在时，计算两个导体间的电容，就必须考虑其它导体的存在。考虑其它导体的存在。 在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个

11、导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。念加以推广，引入部分电容的概念。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第14页12C22C11C大地大地12如图，大地也是导体，但电位为零，如图，大地也是导体，但电位为零，图中图中 221112CCC、 都是部分电都是部分电容，容， 如果要计算两个导体如果要计算两个导体1、2 之间的电容，之间的电容，不能只算不能只算 ，而是，而是 与与 串联后再串联后再与与 并联：并联：

12、 12C11C22C12C221122111221CCCCCC 部分电容：部分电容：在多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，在多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下， 与另一个导体构成的电容与另一个导体构成的电容 导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第15页电场能量来源：电场能量来源：建立电荷系统过程中外界提供给系统的总能量建立电荷系统过程中外界提供给

13、系统的总能量3.1.4 静电场的能量静电场的能量设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为q ，电位为，电位为 ； 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q 、电位为、电位为 ( (0 1 ) );当当增加为增加为( (+ d d) )时，外电源做功为时，外电源做功为: ( (q dd) )；对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为：积分，即得到外电源所做的总功为： 1021 qdq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场的带电体具有的电场能量能量We ，即，即 ； qWe21 对于电荷体

14、密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具有的电场能量为具有的电场能量为 。dVdWe21 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第16页 整个空间整个空间整个空间整个空间dVdVdWe 2110只适用于静电场只适用于静电场 如果电荷分布于表面如果电荷分布于表面 所有表面所有表面dSWSe 21公式中的电荷全是自由电荷；有电荷的区域对积分才有贡献公式中的电荷全是自由电荷；有电荷的区域对积分才有贡献( (上式计算结果与电位参考点有关上式计算结果与电位参考点有关) ) 如果带电体是导体，则如果带

15、电体是导体，则 变为变为 dSWSe 21iieqW 21 iieqW )2/1(也适用于点电荷系统，只是这时也适用于点电荷系统，只是这时 是除是除 外的所有点电荷外的所有点电荷i iqeWeW产生的电位，即这时产生的电位，即这时 给出的是相互作用能，不含自能，因为点电荷的自能给出的是相互作用能，不含自能，因为点电荷的自能无意义；而带电体导体系统的无意义；而带电体导体系统的 既包括相互作用能，又包括自能既包括相互作用能，又包括自能 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第17页一个导体情形一个导体情形 qWe21 两个导体情形两个导体情

16、形 CqCUqUqWe22121212221 场量表示电场能量场量表示电场能量( (静电场和时变场均适用静电场和时变场均适用) ) dVDdVEdVEEWe22212121 ( (该公式使用前提：电位的参考点为无穷远该公式使用前提：电位的参考点为无穷远) )电场能量密度：电场能量密度： 22212121DEEDwe 场蕴藏着能量场蕴藏着能量 电场能量分布于有电场的空间中，而不是唯一有电荷的地方电场能量分布于有电场的空间中，而不是唯一有电荷的地方电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第18页静电场解题静电场解题 一、已知

17、电荷分布求电场一、已知电荷分布求电场 用电场强度计算公式用电场强度计算公式 用高斯定理用高斯定理-场对称场对称/有介质分界面时：分界面上只有有介质分界面时：分界面上只有 或或nEtE 由电位梯度由电位梯度二、已知电荷分布求电位二、已知电荷分布求电位 用电位计算公式用电位计算公式 由电场强度的积分由电场强度的积分 解泊松方程或拉普拉斯方程解泊松方程或拉普拉斯方程电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解3.1.5 静电力（略）静电力（略）物理电子学院 周俊第19页 由边界条件由边界条件 计算计算SnnDD 21四、求电容四、求电容 假设板极上

18、有电荷假设板极上有电荷q ，则，则CUEq)( 假设板极间的电位为假设板极间的电位为U ，则，则CqEU 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解三、求自由电荷三、求自由电荷 已知电场或电位分布，由已知电场或电位分布，由 或或 计算计算D 2 要求：掌握书上计算电位、电容和电场能量的例题要求：掌握书上计算电位、电容和电场能量的例题 第20页第二节第二节 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析恒定电场恒定电场:导体中有直流电流时导体中的电场导体中有直流电流时导体中的电场恒定电场特点恒定电场特点导体中有电场，导体不是等位体导体中有电

19、场，导体不是等位体电流、电场不随时间变化电流、电场不随时间变化研究恒定电场意义研究恒定电场意义分析导体中的电流分布分析导体中的电流分布计算导体的电阻、功率损耗计算导体的电阻、功率损耗恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别：(1) (1) 恒定电场可以存在于导体内部；恒定电场可以存在于导体内部；(2) (2) 恒定电场中有电场能量的损耗恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电流，要维持导体中的恒定电流， 就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电

20、磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第21页应用：应用： 恒定电流场区域中也同时存在恒定电流。虽然恒定电流场恒定电流场区域中也同时存在恒定电流。虽然恒定电流场的理论涉及不多，但其应用十分广泛。例如，电镀工艺、的理论涉及不多，但其应用十分广泛。例如，电镀工艺、电力工程、地质勘探、油井测量以及超导技术中广泛应用了电力工程、地质勘探、油井测量以及超导技术中广泛应用了恒定电流场理论。此外，由于恒定电流场与静电场之间存在恒定电流场理论。此外，由于恒定电流场与静电场之间存在的相似性，可以利用恒定电流场研究静电场。的相似性，可以利用恒定电流场研究静电场。恒定电场基本矢量：恒定电场基本矢量： EJEJ 、电

21、磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第22页3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件一、基本方程一、基本方程电流连续性方程电流连续性方程 0 dVtJV 电流连续性方程的微分形式电流连续性方程的微分形式 0 tJ 电场恒定电场恒定电流不随时间改变电流不随时间改变电荷空间分布不随时间改变：电荷空间分布不随时间改变： 0 t 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 I 00JSdJS 恒定电流连续性方程恒定电流连续性方程 恒定电流恒定电流电荷分布不随时间改变电荷分布不随时间改变恒定电场与静电场性质相同恒定电场与静电

22、场性质相同恒定电场基本方程恒定电场基本方程 II EEl dEC或或00保守场保守场 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解物理电子学院 周俊第23页恒定电场恒定电场基本方程基本方程积分形式积分形式 SSdJ0 Cl dE0 微分形式微分形式 0 J0 E)( E 本构关系本构关系EJ 均匀导电媒质均匀导电媒质( ( 常数常数) )中的电位满足拉普拉斯方程：中的电位满足拉普拉斯方程： 02 推导：推导： ，得，得 EE00)(02 EEJ电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第2

23、4页二、不同导体分界面上的边界条件二、不同导体分界面上的边界条件不同导体：不同电导率的导体不同导体：不同电导率的导体均匀导体中均匀导体中 ，表面上，表面上 ， 0 0 S JE、经过表面时要发生突变经过表面时要发生突变 边界条件有两个边界条件有两个： )(2211221121nnEEJJnnnn ，)(2121 ttEE 其推导过程与静电场完全一样：其推导过程与静电场完全一样： 021 SJSJSdJnSn nnJJ21 或或 或或 nn 2211 nnEE2211 021 lElEldEttC ， 或或 ttEE21 21 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的

24、解静态电磁场及其边值问题的解第25页导体边界面的折射关系导体边界面的折射关系21212211 tgtgtgtg推导：推导： nnnnEEJJ221121 相除相除 221121211111sinsincoscos EEEEEEtt电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度 n2211222111n21n)()()(JJJeDDeS 边界条件矢量形式：边界条件矢量形式： ，0)(21 JJen0)(21 EEen媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene 工程上，常在电容器两极板之

25、间、同轴电缆的芯线与外壳工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 UIG IUGR 1电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解漏漏 电电 导导：漏电流与电压之比漏电流与电压之比 绝缘电阻绝缘电阻：漏电导倒数：漏电导倒数 第27页3.2.

26、2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟- -对应的物理量做替换对应的物理量做替换 恒定电场与静电场分析的方法完全一样，两者的场方程形式相同恒定电场与静电场分析的方法完全一样，两者的场方程形式相同,如果两个问题的边界条件相同，则这两个问题的解也一定相同如果两个问题的边界条件相同，则这两个问题的解也一定相同 静电场静电场 ED Cq 恒定电场恒定电场 EJ GI 静电场静电场 恒定电场恒定电场 )(0 EE0 D02 nnDD21 ttEE21 SSdDqED )(0 EE0 J02 nnJJ21 ttEE21 SSdJIEJ 第28页静电场中两导体间的电容静电场中两导体间的电容 212

27、111l dESdEl dESdDUqCSS 恒定电场中两个电极间的电导恒定电场中两个电极间的电导 212111l dESdEl dESdJUIGSS CG例例 单位长度的同轴电缆电容：单位长度的同轴电缆电容： abCln20 解解：用静电比拟法，单位长度的漏电导：用静电比拟法，单位长度的漏电导： abCGln200 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第29页电导计算方法电导计算方法： 假设两电极间流过电流假设两电极间流过电流I，则，则 GUEJI 假设两电极间电压为假设两电极间电压为U， 则则 GIJEU 根据静电比拟，则根据静电

28、比拟，则 / CG静电场与恒定电场的不同：静电场与恒定电场的不同： 静静 电电 场：静止电荷产生的场，带电体充有电荷后无需外电源能量场：静止电荷产生的场，带电体充有电荷后无需外电源能量 恒定电场：恒定流动的电荷产生的场，有外电源提供能量才能恒定电场：恒定流动的电荷产生的场，有外电源提供能量才能 维持电荷恒定流动维持电荷恒定流动 静静 电电 场：导体内没有电场，导体是等位体场：导体内没有电场，导体是等位体 静电场静电场( (无源区域无源区域) )与恒定电场与恒定电场( (电源外电源外) )的相同：的相同： 两种场的特性方程和边界条件具有相似形式，场量之间是对偶量两种场的特性方程和边界条件具有相似

29、形式，场量之间是对偶量 可静电比拟：两种场的边界条件相同，则有相同形式的解可静电比拟：两种场的边界条件相同，则有相同形式的解恒定电场：导体内有电场，存在恒定电流，各点电位不同，导体恒定电场：导体内有电场，存在恒定电流，各点电位不同，导体 不再是等位体，表面也不是等位面不再是等位体，表面也不是等位面14-100419-3,4;几分钟第二章作业几分钟第二章作业第30页第三节第三节 恒定磁场分析恒定磁场分析3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件由麦克斯韦方程组由麦克斯韦方程组，SdtDJl dHCS )(tDJH ，SdtBl dECS tBE ， SSdB00 B，

30、SqSdD D电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解一、基本方程一、基本方程得得 第31页安安 培培 定定 律律 磁通连续性磁通连续性 积分形式积分形式 微分形式微分形式 本构关系本构关系 Il dHC 0 SSdBJH 0 BHB 二、边界条件二、边界条件电磁场边界条件电磁场边界条件(1)nnDD21 )0(S 21DeDenn SnnDD 21 )0(S SnDDe )(21(2) nnBB2121BeBenn (3) ttEE2121EeEenn 恒定磁场基本方程：恒定磁场基本方程：ttHH21 )0(SJ21HeHenn STt

31、tJHH 21 )0(SJSnJHHe )(21(4)恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件nnBB21 ttHH21 )0( SJSTttJHH 21)0( SJ第32页3.3.2 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位一、矢量磁位一、矢量磁位磁通连续性磁通连续性: ABB0B用矢量用矢量 的旋度表示的旋度表示 AA称为矢量磁位称为矢量磁位( (矢量位矢量位) )，单位为，单位为 ( (特特米米) )或或 Wb/mmT ，BA ? A指定指定 的值，称为一种规范的值，称为一种规范 A 库仑规范：库仑规范： 0 A( (在恒定磁场情形在恒定磁场情形) ) 二、矢量位的微分方程二、矢量位的微分方程J

32、AB0 而而 即即AAA2)( ，故，故)0( A矢量位的泊松方程矢量位的泊松方程： JA02 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解JAAA022)( 矢量位的拉普拉斯方程：矢量位的拉普拉斯方程： 02 A 无源无源( ( 0 J) )空间空间 第33页三、矢量位的计算三、矢量位的计算在直角坐标中在直角坐标中 JA02 可以分解为三个分量方程可以分解为三个分量方程 ，xxJA02 ，yyJA02 zzJA02 zyxAAA、分别都是标量，其中分别都是标量，其中 是标量拉普拉斯算符，是标量拉普拉斯算符， 2 因而因而 ， VxxRdVJ

33、A 40， VyyRdVJA 40 VzzRdVJA 40合并后矢量位泊松方程的特解为合并后矢量位泊松方程的特解为 体电流体电流 VRdVJA 40RdVJAd 40 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解面电流面电流 SsRdSJA 40RdSJAds 40 线电流线电流 CRlIdA 40RlIdAd 40 第34页除直角坐标外，其余坐标系内除直角坐标外，其余坐标系内 JA02 的计算都十分复杂；的计算都十分复杂； 二维场情况，矢量位的计算较简单，比如无限长柱体电流产生的场：二维场情况，矢量位的计算较简单，比如无限长柱体电流产生的场

34、：JeJz ，或，或 ，而，而 ，或，或IdlelIdz dVJAd/lIdAd/即矢量位只一个分量，即矢量位只一个分量， zzAeA ，实际上求，实际上求 的问题就是一个标量的问题就是一个标量 A任意横截面柱体产生的任意横截面柱体产生的 计算：求线电流的矢量位计算：求线电流的矢量位加起来加起来( (积分积分) ) A线电流的矢量位与线电荷的电位公式对比得：线电流的矢量位与线电荷的电位公式对比得： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解问题了。问题了。Cl 1ln20CIAz 1ln20AB、都是矢量，但都是矢量，但 的求解比的求解比

35、简单，故先求，再求简单，故先求，再求 AB 磁通由矢量位直接计算：磁通由矢量位直接计算： CSSl dASdASdB BA第35页四、标量磁位四、标量磁位在静磁场中，无自由电流的空间，在静磁场中，无自由电流的空间， ，0 J0 H引入标量函数引入标量函数 ( (标量磁位标量磁位) )： m mH 单位为安单位为安( (A) ) 由由 000 HHB 而而 02 mmmH 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解m m 的微分方程：的微分方程： 02 m 的边界条件与的边界条件与 有相同形式：有相同形式： 静电场：静电场： ，nnDDnn

36、21212121 ttEE静磁场：静磁场： ，nnBBmmnn 221121 2121mmttHH 静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较0,ED0,0HBE mH PP m0M 2P0() 2mm0 m0 n21()SeMM Pn21()SePP m1m2m1m212,nn121212,nn静电位静电位 0 PEDP磁标位磁标位 m 0mHB0M第37页3.3.3 电感电感一、自感和互感一、自感和互感电流回路电流回路C，在空间任意点，在空间任意点 IB 磁通磁通: ，故，故 SdB I 磁链磁链: ，故，故 N I 自磁链自磁链：回路本身电流产生的磁链：回路本身

37、电流产生的磁链自感定义：自感定义： 设回路设回路C中的电流为中的电流为I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路C交链的磁链为交链的磁链为 ，则磁链则磁链 与回路与回路C中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值IL ( (亨，亨，H) ) 称为回路称为回路C的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解( (N - 导线回路匝数导线回路匝数) ) CI 细回路细回路互磁链互磁链：回路：回路C1 ( ( C2) )中中I1( (I2) ) 产生的磁场与产生的磁场与C2 ( (C1) )

38、交链的磁链交链的磁链 互感定义互感定义：对两个彼此邻近的闭合回路：对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路和回路C2 ,当回路当回路C1中通过电流中通过电流 I1时，时，不仅与回路不仅与回路C1 交链的磁链与交链的磁链与I1成正比，成正比，而且与回路而且与回路C2交链的磁链交链的磁链 12也与也与I1成成正比，其比例系数正比，其比例系数 ( (亨，亨，H) ) 11212IM 称为回路对回路的互感系数，简称互感称为回路对回路的互感系数，简称互感同理，回路同理，回路C2对回路对回路C1的互感为的互感为 。22121IM 自感系数或自感：自感系数或自感： 2222222222211111111111IL

39、ILLIILILLI 比例系数比例系数比例系数比例系数互感系数或互感：互感系数或互感：，11212IM 22121IM ，11212IM 22121IM ( (亨，亨，H ) ) C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r第39页二、互感的计算二、互感的计算设设 C1、C2的的 N=1，则，则 2221212121212CSSl dASdASdB C2在在 上的矢量位上的矢量位 2l d 1110124CRdlIA 212110124CCRl dl dI C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r诺伊曼公式诺伊曼公式 21210112124CCRl dl dIM 同理同理 21120221214C

40、CRl dl dIM 而而 1221l dl dl dl d MMM 2112当当 时，时， ，则，则 ，故，故 1 N12212 N RdlINA101124 21NNM 第40页互感的特点：互感的特点： 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关磁介质有关，而与电流无关； 满足互易关系，即满足互易关系，即M12 = M21； 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感 系数系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M

41、 为负值。为负值。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。与电流无关。自感的特点：自感的特点：第41页三、自感的计算三、自感的计算 自感的计算也用诺伊曼公式，这时自感的计算也用诺伊曼公式，这时C1、 C2变成一个回路，但是变成一个回路，但是这时不能把这时不能把 C1、 C2看成线回路，必须考虑导线的横截面为有限值。看成线回路，必须考虑导线的横截面为有限值。 设设 =外磁通外磁通+内磁通内磁通 内内外外LLL =外自感外自感+内

42、自感内自感 212104CCRl dl dIL 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解IL 外外 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 外外 ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 内内。 内内CI 外外粗回路粗回路第42页电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解IL

43、内内a 时的磁感应线包围的电流是时的磁感应线包围的电流是I 的小数倍，由安培环定律，有的小数倍，由安培环定律，有 20iB IaaIi2222 202 aIB 面元上的磁通为面元上的磁通为 daIdBd2021 第43页面元包围的电流为面元包围的电流为 ，即包围的匝数为，即包围的匝数为 ，故，故 Ia22 22a daIdaIad430202222 这就是把磁通理解为磁感应线包围的匝数，因而磁链为这就是把磁通理解为磁感应线包围的匝数，因而磁链为 aaIaIdaI0004404308422 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 80 I

44、L内内( (亨亨) )单位长度的内自感单位长度的内自感 第44页当当 ： 时，电源给一个回路的能量，即时，电源给一个回路的能量，即 1i10I磁场能量磁场能量 21101111211ILdiiLWI 两个回路磁场能量两个回路磁场能量 222212121122112121ILIIMILWWWWm 回路回路C1的自有能，回路的自有能，回路C2的自有能，的自有能， C1和和C2的互能的互能 jiijjkkjiiimIIMILW)(21212122121 jkkjMM 212121kjjkkjIIM当当 时，时， jk jjjLM 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解

45、静态电磁场及其边值问题的解3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，全部转化成磁场能量。全部转化成磁场能量。 212211)(21kkkkkIIMIIM)(212222211212211111IIMIIMIIMIIM 第45页N 个载流回路个载流回路磁场能量磁场能量 NkNjjkkjmIIMW1121( (J，焦耳，焦耳) ) VmdVAJW21对于体分布电流对于体分布电流 磁场能量用场量表示磁场能量用场量表示 dVBHWm 21积分是对整个空间取的，凡是场不等于零的空间对积分都有

46、贡献积分是对整个空间取的，凡是场不等于零的空间对积分都有贡献磁能密度磁能密度 22212121HBHBwm 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电、磁场能量对应：电、磁场能量对应： 22222121212121212121HHBwdVwdVHdVHBWEEDwdVwdVEdVEDWmVmVVmeVeVVe 第46页3.3.5 磁场力磁场力( (略略) )恒定磁场解题恒定磁场解题一、求解磁场分布一、求解磁场分布 直接用磁感应计算公式直接用磁感应计算公式 用安培环路定理用安培环路定理 由矢量磁位由矢量磁位 由标量磁位由标量磁位电磁场与电磁

47、波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解二、电流的计算二、电流的计算 已知磁场或矢量磁位分布，由已知磁场或矢量磁位分布，由 或或 计算计算 由边界条件由边界条件 计算计算 SttJHH 21三、求电感三、求电感 假设回路假设回路 C 中流过的电流中流过的电流 I，则，则 LBHI 利用诺伊曼公式利用诺伊曼公式 计算互感计算互感 212104CCRl dl dM 利用磁场能量利用磁场能量 计算自感计算自感221LIWm HJ AJ2)1( 第47页第四节第四节 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理边值问题：在给定边界条件下求

48、解拉普拉斯方程或泊松方程边值问题：在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程边界条件：在有限空间的边界上已知的条件边界条件：在有限空间的边界上已知的条件l 周期边界条件周期边界条件 l 自然边界条件自然边界条件 ( (无界空间无界空间) )电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解2rS有限值rrlim(2)l 衔接条件衔接条件不同媒质分界面不同媒质分界面上的边界条件上的边界条件1212121212,nn物理电子学院 周俊第48页3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型（括号内是导体为边界的情况括号内是导体为边界的情况）1. 狄利克莱问题狄

49、利克莱问题：已知整个边界上的电位函数，求：已知整个边界上的电位函数，求 2 ( (已知表面电位函数已知表面电位函数) ) 2. 诺伊曼问题诺伊曼问题：已知整个边界上的电位法向导数，求已知整个边界上的电位法向导数，求 ( (已知导体总电量，因为已知导体总电量，因为 ) ) nS 03. 混合问题：混合问题：已知边界上一部分电位和另一部分电位的已知边界上一部分电位和另一部分电位的 法向导数，求法向导数，求 ( (已知一部分导体电位已知一部分导体电位；另一部分导体电量另一部分导体电量) )电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 2 2 222

50、20 xy例：例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第49页3.4.2 惟一性定理惟一性定理 在场域在场域V的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的值，则泊松方程或拉普拉斯的值，则泊松方程或拉普拉斯 方程在场域方程在场域V 具有惟一值具有惟一值 n 用反证法证明拉普拉

51、斯方程，即用反证法证明拉普拉斯方程，即 的解的惟一性定理的解的惟一性定理 02 设有两个解设有两个解, , 满足满足 和给定的边界条件，因和给定的边界条件，因为拉普拉斯方程是线性的，故为拉普拉斯方程是线性的，故 也是拉普拉斯方程的解，也是拉普拉斯方程的解， 02 即即 02 ；对第一类边值问题，在对第一类边值问题，在 S上，上， ，则，则 ； 0 对第二类边值问题，在对第二类边值问题，在 S上，上， 给定值，则给定值，则 。 nn 0 n 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解惟一性定理的表述：惟一性定理的表述： 在给定的边界条件下在给

52、定的边界条件下( (上述三类条件之一上述三类条件之一) ), 泊松方程或拉普拉斯泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的方程的解是惟一的、02 第50页第51页在格林第一恒等式中，令在格林第一恒等式中，令 , ,则恒等式为则恒等式为 dSndVVS )(2而而 ( (在在 S上上) ),故对两类边值问题都有故对两类边值问题都有 0, 02 n 0)(2 dVV 因为因为 非负，非负， ，即，即 常数。常数。 2)( 0 对于第一类边值问题，对于第一类边值问题， 在在S上为零，故上为零，故 , 即解是唯一的即解是唯一的； 对于第二类边值问题，对于第二类边值问题， 常数，即常数，即 只差一个常数，只差一

53、个常数， 与与解也是唯一的解也是唯一的； 对于混合边值问题，只要把第一格林恒等式右边闭合面积分写对于混合边值问题，只要把第一格林恒等式右边闭合面积分写成各部分表面积分之和，对每部分表面用如上结论，便可得证成各部分表面积分之和，对每部分表面用如上结论，便可得证， 对于泊松方程解唯一性的证明类似。对于泊松方程解唯一性的证明类似。惟一性定理意义：惟一性定理意义：只要解满足边界条件，这个解就是正确的只要解满足边界条件，这个解就是正确的 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第52页电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问

54、题的解静态电磁场及其边值问题的解惟一性定理说明：惟一性定理说明： 静电场的边值问题能够用解析法直接求解的不多；静电场的边值问题能够用解析法直接求解的不多； 满足边界条件的解就是正确的；满足边界条件的解就是正确的； 不能在同一点出既给定电位值又给定电荷分布；不能在同一点出既给定电位值又给定电荷分布； 两个边值问题在给定的场域内有相同的电荷分布两个边值问题在给定的场域内有相同的电荷分布 和相同的边界条件，则场域内的场分布一定相同，和相同的边界条件，则场域内的场分布一定相同， 而不管场域外的电荷分布如何，这是镜像法的基本原理；而不管场域外的电荷分布如何，这是镜像法的基本原理； 第二类边值问题第二类边

55、值问题( (诺伊曼问题诺伊曼问题) )的解可以相差一个常数的解可以相差一个常数 ( (但若指定电位的参考点，则解是唯一的但若指定电位的参考点，则解是唯一的) )第53页边值问题的求解方法：边值问题的求解方法：解析法和数值法解析法和数值法解解 析析 法：法： 分离变量法分离变量法 镜象法镜象法 复变函数法复变函数法 格林函数法格林函数法数字方法：数字方法：有限差分法有限差分法 有限单元法有限单元法电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供

56、了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理意义：惟一性定理意义：只要解满足边界条件，这个解就是正确的只要解满足边界条件，这个解就是正确的 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代可以用等效电荷的电位替代问题的提出问题的提出几个实例几个实例接地导体

57、板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。一个点电荷，如图所示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷第五节第五节 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第54页 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效 电荷为线电荷。电荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应

58、电荷qq等效电荷等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第55页第56页3.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像一、点电荷对无限大接地导体平面的镜像一、点电荷对无限大接地导体平面的镜像例例有一无限大导体平面，在距平面有一无限大导体平面，在距平面 z=h 处有一电荷处有一电荷q ，导体表面，导体表

59、面 ，求上半空间的场。求上半空间的场。 0 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解q qh第57页解解：镜像电荷的个数、位置、电量大小的确定镜像电荷的个数、位置、电量大小的确定 ； hhqq ，假设导体平面不存在，假设导体平面不存在，+q与与-q 产生的场使产生的场使z=0平面为等位面，平面为等位面， 上半空间的场就是上半空间的场就是+q与与-q 产生的电场的迭加，可以得出产生的电场的迭加，可以得出 RqRq 0044 ( (只适用于只适用于 z 0的空间的空间) )， 式中，式中，222)(hzyxR ；222)(hzyxR q qh

60、有效区域有效区域RR q qhhq 验证验证：z=0 时，时， 00z RR满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的物理电子学院 周俊第58页 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解二、线电荷对无限大接地导体平面的镜像二、线电荷对无限大接地导体平面的镜像 如果导体平面上方是线电荷，也可放置等值异号的线电荷如果导体平面上方是线电荷，也可放置等值异号的线电荷作为镜像来求解场作为镜像来求解场( (例例3.5.2) )。 自学自学例例3.5.1-导体平面的例子；导体平面的例子；3.5.2 hhl 有效区域