电路 第八章 全部

1、第八章 相量法1. 1. 复数的表示形式复数的表示形式FbReImao |F|代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式 8. 1 复数复数|(cossin )FFj2. 复数运算复数运算A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算代数形式代数形式(2) 乘除运算乘除运算指数形式或极坐标形式指数形式或极坐标形式)(212121AAAA)j(21j2j1212121eAAeAeAAA)j(21j2j1212121eAAeAeAAA)(212121AAAAjjej2sin2cos2 jjej)2sin()2cos()2( 1)sin()cos()( jej+j ,

2、 j , - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。3. 旋转因子旋转因子复数复数 ejy y = 1y y A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度y y ，模不变，模不变Aejy y称为旋转因子称为旋转因子 特特殊殊旋旋转转因因子子3. 复数相等的运算复数相等的运算如果如果F1=F2则则 a1=a2，且，且b1=b2或或作业：作业：8-2 （1）、）、8-3、8-48.2 8.2 正弦量正弦量1. 1. 正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(w w t+y y)ti0Tl周期周期T T 和频率和频率f f频率频率f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周

3、期周期T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：赫(兹)Hz单位：秒s正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT T )波形l正弦电流电路正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路1.1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。l研究正弦电路的意义研究正弦电路的意义正弦函数是周期函数，其加、减、求导、正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容

4、易产生、传送和使用。特特点点二二. 正弦量的三要素：正弦量的三要素：i(t)=Imcos(w w t +y y )i+_u(1) 幅值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大值最大值) Im(2) (2) 角频率角频率(angular frequency) w w(3) 初相位初相位(initial phase angle) y yy yImw w ti(t)=Imsin(w w t+y y)i波形图波形图t一般一般 |y y | iy y0y y = = /2/20y y =-=- /2/20iy y0y y =0=00初相位初相位 y y三、同频率正弦量的相位差三、同频率正弦量的

5、相位差 (phase difference)。设设 u(t)=Umsin(w w t+y y u) i(t)=Imsin(w w t+y y i)相位差相位差 j = (w w t +y y u) - - (w w t +y y i) = y y u- -y y ij j 0， u 领先领先(超前超前)i ，或，或i 落后落后(滞后滞后) uw w tu, iu iy yuy yij j0j j 0， i 领先领先(超前超前) u，或，或u 落后落后(滞后滞后) i一般一般 | j j | j j = 0， 同相：同相：j j = ( 180o ) ，反相：，反相：特殊相位关系：特殊相位关系：

6、w w tu, i u i0w w tu, iu i0w w tu, iu i0j j = 90 正交正交 u 领先领先 i 90 或或 i 落后落后 u 90 1. 定义定义有效值也称有效值也称方均根值方均根值(root-meen-square，简记为，简记为 rms。)四四. 有效值有效值(effective value)电压有效值电压有效值2. 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imsin(w w t + y y )ttITITd ) (sin1022m y yw wTtttttTTT2121d2)(2cos1d ) (sin 0002 y yw wy yw w

7、IIIITITI2 707. 0221 mmm2m ) sin(2) sin()(my yw wy yw w tItIti注意注意:只适用正弦量只适用正弦量注意 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。耐压值指的是最大值。交流测量仪表的电压、电流读数一般为有效值。交流测量仪表的电压、电流读数一般为有效值。区分瞬时值、最大值、有效值的符号。区分瞬时值、最大值、有效值的符号。UUuIIi, ,mm掌握内容：掌握内容：1.正弦量的初相位（正弦量的初相

8、位（ ）2.相位差的计算（相位差的计算（ | j j | ）3.有效值的计算有效值的计算y8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础1. 1. 问题的提出问题的提出电路方程：电路方程：)(dddd2tuutuRCtuLCCCC2cos( )uUtwyRLC+- -uCiLu+- -数学运算较复杂数学运算较复杂j( )( )2t F tUewRe ( )2 cos( )( )F tUtu tw 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。的复数函数。j( )2 cos( ) ( )2t uUtF tUeww2 cos( )j 2 sin( )UtUtww2.

9、 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示结论结论F(t) 还可以写成还可以写成jj( )2tF tUe eywj( )( )2t F tUewj( )2tF tUewjUUey定义正弦量定义正弦量u对应的对应的相量相量为为F(t) 则可以写成则可以写成相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位j2 cos( ) uUtUUew例例1 1试用相量表示试用相量表示 i, u . .)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oouti解解V60220 A,30100oo UI例例2试写出电流的瞬时值表达式。试

10、写出电流的瞬时值表达式。解解A )15314cos(250ti. 50Hz A,1550 fI已知已知注意注意统一采用统一采用cos函数表示正弦量函数表示正弦量正弦量正弦量u包含了三要素：包含了三要素：U、 、w w，相量相量U包含了两个要素：包含了两个要素：U , 。j2 cos( ) uUtUUew相量与正弦量不相等，但是一一对应相量与正弦量不相等，但是一一对应任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量例例3o14.14sin(1060 )Ait 试用相量表示试用相量表示 i解：统一采用解：统一采用cos函数表示正弦量函数表示正弦量因此电流因此电流

11、i的表达式应为的表达式应为3oo14.14cos(106090 )Ait 3o14.14cos(10150 )At o10 30 AI3o14.14cos(1030 )At相量在复平面上表示的图形相量在复平面上表示的图形UUtUtu) cos(2)(wl 相量图相量图 U+1+jU三三. 相量运算相量运算(1) 同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减j1111()2cos( ) Re( 2)tu tUtU eww y12( ) ( )( )u tu tu tU21UUU 得：得：)2(R)2Re(j2j1tteUeeUww)22Re( j2j1tteUeUww)(2Re(j21teUUwj222

12、2()2cos( ) Re( 2)tu tUtU eww y这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域时域时域：以时间为自变量分析电路。以时间为自变量分析电路。频域频域：以频率为自变量分析电路。以频率为自变量分析电路。相量法相量法：将正弦时间函数将正弦时间函数 “变换变换” 为相量后为相量后再进行分析再进行分析, 属于频域分析。属于频域分析。i1 i2 = i3321 III时域时域频域频域例例 V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttuoo126 30 V 4 60 VUU V )9 .41314cos(267.

13、9)()()(o21ttututu60430621 UUU464. 323196. 5jj 464. 6196. 7j V 9 .4167. 9o 采用相量法求采用相量法求 12( )( )( )u tu tu t解：解： 采用相量图表示同频正弦量的加、减运算采用相量图表示同频正弦量的加、减运算ReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU602U（2 2）正弦量的微分、积分运算）正弦量的微分、积分运算2 cos( ) iiiItIIwyy j j ddRe2 Re2j ddttiIeIettwwwj j dRe2 d Re2jttIi tIetewww微分运算 积分运算2

14、jddiIItiyww2 jdiIItiyww例例( )2 cos( ) ii tItwyd1( )d diu tRiLi ttC用相量运算：用相量运算：j jIURILICwwRi(t)u(t)L+- -C【注注】：相量法只适用于激励为：相量法只适用于激励为同频同频正弦量正弦量的的非非时变线性时变线性电路。电路。N线性线性N线性线性w w1w w2非非线性线性w w不适用不适用掌握内容：掌握内容：1.用相量表示正弦量，并会画相量图用相量表示正弦量，并会画相量图2.采用相量法进行正弦量的计算采用相量法进行正弦量的计算作业：作业：8-8 （1）（）（2） 8-9一一. 基尔霍夫定律的相量形式基尔

15、霍夫定律的相量形式二二. 电路元件的相量关系电路元件的相量关系 8. 4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式1. 1. 电阻电阻时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+-URu时域模型时域模型相量图相量图R+-相量关系：相量关系：有效值关系有效值关系相位关系相位关系UR=RIu=i时域形式：时域形式：相量模型相量模型2. 2. 电感电感有效值：有效值： U=w w L I相位：相位： u= i +90i(t)uL(t)L+-时域模型时域模型jw w L+-d ( )( )2sin( )d 2 cos( )2Liii tutLLIttLItwwww 相量形

16、式：相量形式：相量关系：相量关系：感抗的性质感抗的性质(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) (2) 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。wXLXL=wL=2fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )BL=-1/w wL，感纳感纳 感抗和感纳感抗和感纳U=w w L I时域形式：时域形式：iC(t)u(t)C+-3. 3. 电容电容有效值：有效值： IC=w w CU 相位：相位： i= u+90 时域模型时域模型相量模型相量模型+-相量形式：相量形式：相量关系：相量关系：XC=-1/w C，称为容抗，单位为，称为容抗，单位为 (欧姆欧姆)BC=w C

17、 ，容纳，容纳w0， |XC| 直流开路直流开路( (隔直隔直) )w w ，|XC|0 0 高频短路高频短路w w|XC|容抗和容纳容抗和容纳容抗的性质容抗的性质(2) 容抗的绝对值和频率成反比。容抗的绝对值和频率成反比。(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；例例试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。IL三三. 电路的相量模型电路的相量模型 (phasor model )时域列写微分方程时域列写微分方程相量形式代数方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+- -时域电路时域电路jw w L1/jw w CR+- -相量模型相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复

18、数阻抗或导纳。相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。四四. 相量图相量图1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；2. 选定一个参考相量选定一个参考相量(设初相位为零。设初相位为零。)选选 R为参考相量为参考相量jw w L1/jw w CR+- -+- -+- - -例例1 1解解相量相量模型模型+_15u4H0.02Fi+_15-j10j20+_15-j10j20例例2 2解解+_5 uS0.2 Fi相量模型相量模型+_5 -j5 6o(t)50cos(10 t 30 )suA例3? ,V78 ,V50 BCACABUUU：问问已知已知IIIIU50)40()30(22ABV40 ,V30 ,A1RLUUI2BC2AC)40()30(78UUV3240)30()78(22BCUI40jI30BCUABUACUj40jXL30CBA 小小 结结 1. 1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。将该问题转化为求解复数代数方程问题。2. 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程