电磁场理论第四章__时变电磁场

1、第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论第四章第四章 时变电磁场时变电磁场第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件DBtBEtDJH0tJ出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEBHJE12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )nSet 第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论分类分析求解电磁问题分类分析求解电磁问题静态电磁场静态电磁场0t0t电磁波电磁波按时间变化情况按时间变化情况第第3章章第第4、5、6、7、8章章第4章 时变电磁场

2、电磁场理论电磁场理论分类分析时变电磁场问题分类分析时变电磁场问题第第4章章电磁波的电磁波的典型代表典型代表电磁波的电磁波的传输传输共性问题共性问题个性问题个性问题电磁波的电磁波的辐射辐射第第5、6章章第第7章章第第8章章均匀平面波均匀平面波波导波导天线天线0tjt第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论面对的问题？分析方法？关联的一般性物理问题？典型问题的应用？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 时变电场和磁场满足的方程时变电场和磁场满足的方程波动方程波动方程 时变电磁场的辅助函数时变电磁场的辅助函数标量电位和矢量磁位标量电位和矢量磁位 时变电磁场的能量守恒定律时变电磁场的能量守恒定律 正弦

3、规律变化的时变场正弦规律变化的时变场时谐电磁场时谐电磁场 本章主要内容：本章主要内容：第四章第四章 时变电磁场时变电磁场第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论面对的问题：l 存在什么源？l 在何媒质环境中？分析方法？关联的一般性物理问题？典型问题的应用？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论DBtBEtDJH0tJMaxwell方程组方程组单一媒质空间单一媒质空间DEBHJE第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论4.1 波动方程波动方程 波动方程的建立（无源区）波动方程的建立（无源区） 无源空间中电荷和电流处处为零，麦克斯韦方程为无源空间中电荷和电流处处为零，麦克斯韦方程为 00DHtBEtB

4、D 2220HHt2220EEt无源区电场无源区电场波动方程波动方程无源区磁场无源区磁场波动方程波动方程波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量的波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量的空间分布规律空间分布规律。第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论电场电场波动方程的推导：波动方程的推导：BEt ()EHt 222()EEEt Dt222()EEEt 无源区电场无源区电场波动方程波动方程2220EEt同理，可以推得无源区磁场波动方程为：同理，可以推得无源区磁场波动方程为：2220HHt第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论面对的问题l 单一媒质环境！单一媒质环境！l 波动方程的求解！

5、波动方程的求解！分析方法：l 利用时变电磁场特性利用时变电磁场特性关联的一般性物理问题？典型问题的应用？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论问题：问题：u在静电场中是通过何途径在静电场中是通过何途径 间接表现其特性的？间接表现其特性的？u在静态磁场中呢？在静态磁场中呢？u在时变电磁场中能否采用在时变电磁场中能否采用 相同途径？相同途径？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数时变电磁场为时变电磁场为统一整体统一整体位函数同时包括位函数同时包括标量位标量位和和矢量位矢量位 矢量位和标量位的引入矢量位和标量位的引入()EAt ()0AEt0BBA BEt 令：令

6、： ，可得，可得()AEt ()AEt 故：故：()AEtBA ( , ):( , ):A r tr t动态矢量位动态标量位第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 动态位函数的方程动态位函数的方程222()AAJAtt 2()At 不利点：不利点：磁矢位与电位函数磁矢位与电位函数不能不能分离！分离！推导推导第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 洛仑兹规范条件洛仑兹规范条件库仑规范：库仑规范：0A（静态场）（静态场）必须引入规范条件的原因必须引入规范条件的原因：未规定：未规定 的散度。的散度。AAt 洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件对时变场问题：对时变场问题：222222tAAJt 引入洛伦兹规范

7、条件，电位方程为引入洛伦兹规范条件，电位方程为达朗贝尔方程达朗贝尔方程l 磁矢位与电位函数磁矢位与电位函数分离分离l 磁矢位磁矢位只依赖于只依赖于电流电流l 电位函数电位函数只依赖于只依赖于电荷电荷第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论电磁场的波动方程电磁场的波动方程222JHHt 222J1EEtt222AAJt 1At 位函数方程位函数方程AEt BA 结论：结论：l 无源区两种方法一样简单无源区两种方法一样简单l 有源区位函数方程更简单有源区位函数方程更简单第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论面对的问题！分析方法：l 求解区无源，用场的波动方程l 求解区有源，用位函数方程关联的一般性物

8、理问题？典型问题的应用？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论面对的问题！分析方法！关联的一般性物理问题：l 能量？典型问题的应用？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容讨论内容 坡印廷定理坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量坡印廷矢量第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 进入进入体积体积V的能量体积的能量体积V内内增加增加的能量体积的能量体积V内内损耗损耗的能量的能量 电磁能量守恒关系电磁能量守恒关系ddWtVS问题：数学表示？问题：数学表示？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 电磁场能量分布描述电磁场能量分布描

9、述电磁场的电磁场的能量密度能量密度： 单位体积中电磁场的能量单位体积中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和，为电场能量和磁场能量之和1( )( )2ewD rE r21( )2E r22111( )( )( )( )222mwB rH rH rB r2212emwwwEH电场能量密度：电场能量密度：磁场能量密度：磁场能量密度：电磁场能量密度：电磁场能量密度：体积体积V内总能量：内总能量：11d()d22VVWw VE DH BV 启示：围绕体积内储能随时间启示：围绕体积内储能随时间 的变化来描述能量关系的变化来描述能量关系第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 能量守恒关系的数学描述能量守恒

10、关系的数学描述坡应廷定理坡应廷定理积分形式积分形式（瞬时功率关系）（瞬时功率关系） ：11()()22SVVdEHdSE DH B dVE JdVdt 11()()22EHE DHtBE J -微分形式（瞬时功率密度关系）：微分形式（瞬时功率密度关系）：体积体积V V 内增加内增加的电磁功率的电磁功率体积体积V V内损耗内损耗的电磁功率的电磁功率流入体积流入体积V V 的的电磁功率电磁功率（新物理量新物理量）d dPWPt入耗推导推导 坡印廷定理坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积物理意义：单位时间内流入体积V V内的电磁能量等于内的电磁能量等于体积体积V V内增加的电磁能量与体积内增加的电

11、磁能量与体积V V内损耗的电磁能量之和。内损耗的电磁能量之和。第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 坡应廷矢量坡应廷矢量定义：定义：S瞬时坡印廷矢量瞬时坡印廷矢量( )( )( )S tE tH t H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O物理意义：物理意义： 大小：通过垂直于能量传输方向大小：通过垂直于能量传输方向 单位面积的电磁功率单位面积的电磁功率(功率流密度功率流密度） 方向：电磁能量传输方向方向：电磁能量传输方向 描述时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性描述时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 平均坡应廷矢量平均坡应廷矢量 对某些时变场，用

12、对某些时变场，用周期内周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。磁能量的传递情况。 平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT注：注： 与与时间时间t t无关无关。avSavS第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论面对的问题！分析方法！关联的一般性物理问题：l 坡印廷定理l 坡印廷矢量典型问题的应用？第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论面对的问题！分析方法！关联的一般性物理问题！典型问题的应用：l 时谐电

13、磁场问题第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论4. 5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念0( , )cos( )A r tAtr0( , )sin( )A r tAtr 物理量物理量随时间随时间按按正弦规律正弦规律变化的问题，因此也叫变化的问题，因此也叫正弦电磁场正弦电磁场问题问题第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 时谐电

14、磁场问题求解的有利因素时谐电磁场问题求解的有利因素( , )( ) ( )F r tF r T t时-空可以分离求解！即： 可以独立分析物理量的 空间变化和时间变化实现时空分离的方法：实现时空分离的方法： 将场量用将场量用复数形式复数形式来表示来表示第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 时谐场量的数学表示时谐场量的数学表示 时谐场量的实数表示（瞬时表示）时谐场量的实数表示（瞬时表示）0( , )cos( )A r tAtr式中：式中：A A0 0为振幅、为振幅、 为角频率，为角频率， 为初始相位，与坐标有关。为初始相位，与坐标有关。( )r 2f 由复变函数，知：由复变函数，知： ，则：，则

15、： cos()Re()j tte( )Re( )Re ( )j tjrj tmAr eeA r e( )( )( )jrmA rAr e式中：式中： 时谐场量的复数表示时谐场量的复数表示0( , )cos( )A r tAtr第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 时谐电磁场场量的复数表示时谐电磁场场量的复数表示( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )xxmxyymyzzmzEx y z tEx y ztx y zEx y z tEx y ztx y zE x y z tEx y

16、 ztx y z 在直角坐标系下，时谐电场瞬时形式为：在直角坐标系下，时谐电场瞬时形式为：xxyyzzEe Ee Ee ERe()Re()Re()Re()Re()Re()xyzjtj txxmxmjtj tyymymjtj tzzmzmEE eE eEE eE eEE eE exyzjxmxmjymymjzmzmEE eEE eEE e 表示为复数形式：表示为复数形式：第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论xxyyzzEe Ee Ee ERe()Re()Re()jwtjwtjwtxxmyymzzmeE eeE eeE eRe()jwtxxmyymzzme Ee Ee EeRejwtmE emx

17、xmyymzzmEe Ee Ee E 由于所有场量表达式都有取实部运算，并都含有由于所有场量表达式都有取实部运算，并都含有 项，为简化，项，为简化，以上两项作为以上两项作为缺省项缺省项，均不写。故电场的复数表达式为：，均不写。故电场的复数表达式为：j teyxzjjjmxxmyymzzmEe E ee E ee E e0jEE e最简单情形：最简单情形： 时谐电磁场场量的复数表示（续）时谐电磁场场量的复数表示（续）第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论yxzyxzyxzyxzjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjmDe D ee D

18、ee D eHe Hee Hee H eBe B ee B ee B eJe Jee Jee J ee同理同理 时谐电磁场场量的复数表示（续）时谐电磁场场量的复数表示（续）第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量的复数形式：场量的复数形式：0jEE e场量的瞬时形式场量的瞬时形式：0cos()EEt 场量的复数形式转换为实数形式的方法：场量的复数形式转换为实数形式的方法：0jEE etje ()0jtE e取实部0cos()Et第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 例例 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式

19、将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz解：（解：（1 1）由于）由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E所以所以第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 例例 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量mm( )jcos()xxzEze Ek z解：解：jmj()2m( , )Rejcos()eR

20、ecos()etxxztxxzE z te Ek ze Ek zmcos()cos()2xxze Ek zt其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量mcos()sin()xxze Ek zt 第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论例例 已知电场强度为已知电场强度为其中其中E Exmxm和和 k kz z为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。 zjk zxxmE ze jEe 解解： 2,ReRecos2sinzzjk zj txxmjt k zxxmxxmzxxmzE z te jEeee Eee Etk ze Etk

21、 z 第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 麦克斯韦方程的复数表示麦克斯韦方程的复数表示复矢量复矢量MaxwellMaxwell方程方程复数表示中对时间的求导运算复数表示中对时间的求导运算j( , )Re( )etA r tj A rt( )j A r( , )A r ttjtj( , )Re ( )etA r tA r第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论麦克斯韦方程组微分形式麦克斯韦方程组微分形式 麦克斯韦方程的复数表示麦克斯韦方程的复数表示复矢量复矢量MaxwellMaxwell方程方程( (续续) )( , )( , )( , )( , )( , )( , )0( , )( , )r

22、 tr tr ttr tr ttr tr tr t DHJBEBD( , )( , )r tJ r tt ( )( )j( )( )j( )( )( )( )0H rJ rD rE rB rD rrB r ( )( )J rjr 第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 复介电常数复介电常数HEjE 当介质的电导率为当介质的电导率为不为零的有限值不为零的有限值，此时介质存在，此时介质存在欧姆损耗欧姆损耗。()cjEjEj 式中：式中：cj等效复介等效复介电常数电常数 等效复介电常数等效复介电常数表征欧姆表征欧姆损耗损耗第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 介质损耗角介质损耗角 复介电常数（续）

23、复介电常数（续）等效复介电常数等效复介电常数虚部虚部与实部的与实部的比比, ,称为称为损耗角正切损耗角正切。对。对导电媒质：导电媒质：tan介质损耗角介质损耗角tan()a1 弱导电媒质和良绝缘体弱导电媒质和良绝缘体1 普通导电媒质普通导电媒质1 良导体良导体导电媒导电媒质分类质分类媒质媒质导电性导电性的强弱与的强弱与频率有关频率有关第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论例例 海水电导率海水电导率 ，相对介电常数，相对介电常数 。求海水。求海水在在 和和 时的等效复介电常数。时的等效复介电常数。4/S m 解：解：81 r r1fkHzfGHz1当当 时时1fkHz03481210cjj46.

24、37 10/jF m 当当 时时1fGHz09481210cjj10107.16 106.37 10/jF m第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程波动方程的波动方程的复数形式复数形式即为亥姆霍兹方程。即为亥姆霍兹方程。22222200EEtHHt222200EEHH 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 令：令： ，则亥姆霍兹方程变为，则亥姆霍兹方程变为22k 222200Ek EHk H瞬时形式瞬时形式222t jt 复数形式复数形式有耗媒质中：有耗媒质中：c改为第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 时谐场的位函数时谐场的位函数jt()AEtBA 1EjAHA 洛伦兹规范条

25、件变为：洛伦兹规范条件变为：Aj 达朗贝尔方程变为：达朗贝尔方程变为：2222kAk AJ 22k 第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论为对场量为对场量 取复数共轭运算。取复数共轭运算。 时谐场的平均能流密度时谐场的平均能流密度0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT2T 对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：1Re2avSEH式中：式中： 、 为场量的为场量的复数表达式复数表达式；EHHH 平均能流密度：平均能流密度：第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论( )( )( )S tE tH tRe R

26、ej tj tEeHe01( )TavSS t dtT时谐场平均坡印廷矢量的证明时谐场平均坡印廷矢量的证明211Re()Re()22jtEHEHe代入第一式，代入第一式，20111Re()Re()22TjtavSEHEHedtT1Re()2EH11() () 22j tj tj tj tEeEeHeHe2214jtjtEHeEHEHEH e得证！得证！第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论 利用利用 ，可由，可由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说 关于关于 和和 的几点说明的几点说明 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他具有普遍意义，不仅适用

27、于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。 ( , ) tS rav( )Sr 在在 中，中， 和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；在某一个瞬时的取值； 在在 中，中， 和和 都是复矢量，与都是复矢量，与 时间无关，所以时间无关，所以 也与时间无关，反映的是能流密度在一个也与时间无关，反映的是能流密度在一个 时间周期内的平均取值。时间周期内的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( , )

28、tH r( , ) tE r( , ) tS rav1( )Re( )( )2SrE rHr( )E r( )H rav( )Srav01( )( , )dTttTSrS r( , ) tS rav( )Srav( )Sr( , ) tS rjav( , )Re( )ettS rSr( , ) tS rav( )Sr第4章 时变电磁场电磁场理论电磁场理论例例 已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为0cos() (/)yEe EtkzV m求：求：(1)(1)磁场强度；（磁场强度；（2 2）瞬时坡印廷矢量；（）瞬时坡印廷矢量；（3 3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量解：解：(1)(1)BEt 0sin()yyzxxEEBeee kEtxztkz 000()1xkEBHdtec stkzto000cos()()yxe EtkzkEcostkze0220cos ()ztzkEek(2)(2)( )( )( )