第四讲_复变函数的积分

1、第四讲复变函数的积分复变函数的积分& 3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念& 3.2 3.2 柯西柯西- -古萨基本定理古萨基本定理& 3.3.3 基本定理的推广基本定理的推广& 3.43.4 原函数与不定积分原函数与不定积分& 3.5 3.5 柯西积分公式柯西积分公式& 3.6 3.6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数& 3.7 3.7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分& 1. 有向曲线有向曲线& 2. 积分的定义积分的定义& 3. 积

2、分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法& 4. 积分性质积分性质3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1. 有向曲线有向曲线0)( )( ,)( )( )()()(:22 tytxCtytxttyytxxC且且、设设 )1()()()()(: ttiytxtzC0)( )( tztz连连续续且且.平平面面上上的的一一条条光光滑滑曲曲线线zC 光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲线线约约定定 C:).(因因而而可可求求长长左左边边。的的内内部部一一直直在在观观察察者者的的一一周周前前进进观观察察者者顺顺此此方方向向沿沿正正方方向向闭闭曲曲线线CC,: :的方向规定的方向规定CC

3、A(起点起点)B(终点终点)CC;,: Cabbaba记作记作为负为负则则为正为正若若终点终点指定起点指定起点开曲线开曲线 2. 积分的定义积分的定义BzzzAnABn ,:)3(10小小弧弧段段个个任任意意分分划划成成将将kkkkkzfzz )()4(1 作作乘乘积积max,)()5(1111knkkkkkkknkkknSzzSzzzzfS 的的长长度度为为记记作作和和式式Dzzfw )()1(设设定义定义.)2(的一条光滑有向曲线的一条光滑有向曲线点点内点内点为区域为区域BADCDABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz )2()(lim1)(0Izfnkkkn 若若如如何何取取无无

4、论论如如何何分分割割iC , CdzzfBACzf)(,)()(记记作作的的积积分分从从沿沿曲曲线线为为则则称称)3()(lim)(.,.1 nkkknCzfdzzfei A CdzzfC)()1(记记作作若若闭闭曲曲线线 baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(,:)2(则则取取极极限限求求和和取取乘乘积积分分割割2,)1(22abzdzabdzbaCCC 则则的的任任一一曲曲线线表表示示连连接接点点若若特特例例：0, 0,)2( CCzdzdzC则则表表示示闭闭曲曲线线若若关关。和和的的形形状状还还不不仅仅因因为为一一般般不不能能写写成成存存在在如如果果方方向向有有与与曲曲

5、线线有有关关, ,与与 . ., ,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3( 3. 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法 CdzzfCzfCyxivyxuzf.)(,)(,),(),()(存存在在即即可可积积必必沿沿上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线当当定理定理)4()( CCCudyvdxivdyudxdzzf且且.)(积积分分来来计计算算实实变变函函数数的的可可通通过过二二个个二二元元这这个个定定理理表表明明第第二二型型曲曲线线 CdzzfA Cidydxivu)(记忆记忆kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11

6、令令)5(),(),(),(),(1111 nkkkknkkkknkkkknkkkkyuxviyvxu nkkkkknkkknyixivuzfS11)()( CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxuzfS)(),(),( ),(),()(limlim1 证明证明.0实函数的曲线积分实函数的曲线积分时，均是时，均是当当 !),(),( ),(),( 存存在在、 CCCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxu都都故故上上连连续续在在上上连连续续在在CyxvyxuCzf),(),(,)(A Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),(一一定

7、定存存在在。是是光光滑滑曲曲线线时时，函函数数是是：当当推推论论 cdzzfCzf)(,)(1连连续续线线积积分分来来计计算算。数数的的可可以以通通过过两两个个二二元元实实函函：推推论论 cdzzf)(2 )()()()()( )()()( )(),( )( )(),()( )(),()(终终起起终终起起 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfC dttztzf)( )( dttiytxtytxvitytxu)( )( )(),()(),( :)()()(:ttiytxtzzC设设光光滑滑曲曲线线由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得)6()( )()(

8、dttztzfdzzfC nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分分段段光光滑滑曲曲线线.)()()()(,)5估估值值定定理理上上满满足足在在函函数数的的长长度度为为设设 MLdszfdzzfMzfCzfLCCC 4. 积分性质积分性质 CCdzzfdzzf)()() 1 CCdzzfkdzzkf)()()2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3由积分定义得：由积分定义得：)10(43: ttytxOAzdzC计计算算例例1 10)43()43(dtitizdzC2102)43(21)43(itdti 解解 CCidydxiyxzdz)(,无无关关右右

9、边边两两个个积积分分都都与与路路径径容容易易验验证证2)43(21)(:idzzfCOAC ，其其上上积积分分的的曲曲线线连连接接 CCxdyydxiydyxdx又解又解Aoxy.,)(010为为整整数数为为半半径径的的正正向向圆圆周周为为中中心心表表示示以以这这里里计计算算nrzCzzdzCn 例例2 20:0 irezzC解解oxy irezz 0 z0zrC 00)sin(cos02202020ndninrinididerininn Cnzzdz10)( 20)1(1derirenini 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn .,0应应记记住住以以后后经经常常用用

10、到到, ,这这个个结结果果无无关关及及这这个个结结果果与与半半径径zrA oxyiz 101C2C3C)()2)13201见见图图的的值值计计算算CCCOzCCdzzC 例例310)1(:)11 ttizC解解12)1)(1010 tdtdtiittdzzC101:10:)232 titzCttzC 32CCCdzzdzzdzziiidtittdt 1)21(21)1(1010.1;,1,2121向向的的下下半半圆圆周周，逆逆时时针针方方是是单单位位圆圆顺顺时时针针方方向向的的上上半半圆圆周周是是单单位位圆圆其其中中的的值值计计算算 zCzCdzzdzzCC.0 ,:)11 iezC解解:id

11、tidieedzziiC 001. 0,:)22 iezCidtidieedzziiC 002例例4分析分析1的积分例子的积分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC )()()(,)(1与路径无关，即与路径无关，即即，即，的积分值相同，的积分值相同，任意任意它沿连接起点及终点的它沿连接起点及终点的在全平面解析在全平面解析中中例例解解析析。的的非非单单连连通通区区域域内内处处处处但但在在除除去去即即不不解解析析的的点点为为奇奇点点中中例例000,02120zzzzidzzzrzz 3.2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理.,)(3有有关关的的值值与与积积分分路路径径在在复复平

12、平面面上上处处处处不不解解析析中中例例CdzzzzfC 由此猜想由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨先将条件加强些，作初步的探讨)( ,)(内内连连续续在在且且内内处处处处解解析析在在单单连连通通设设DzfDivuzf yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并满满足足都都是是连连续续的的内内在在以以及及它它们们的的偏偏导导数数和和, CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又又 Dyxc

13、DyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公公式式由由 cdzzf0)(yyxxiuvivuzf )( .)( ,1900这一条件去掉了这一条件去掉了连续连续将将且且定理的新证明定理的新证明给出了给出了年年zfCauchyGoursat0)()(1825 cdzzfCDzfDCauchy的的积积分分内内沿沿任任一一条条闭闭曲曲线线在在处处处处解解析析的的内内单单连连通通区区域域给给出出了了年年.,)( 内内连连续续且且在在存存在在当当时时解解析析的的定定义义为为Dzf.1851简简单单证证明明定定理理的的上上述述给给出出了了年年CauchyRiemannCa

14、uchy 定理定理)( :,内内存存在在在在改改为为从从此此解解析析函函数数的的定定义义修修定定理理这这就就产产生生了了著著名名的的DzfGoursatCauchy 定理仍成立.定理仍成立.连续,连续,在在内解析内解析在在的边界的边界为为若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf内任一条闭曲线内任一条闭曲线为为内解析内解析平面上单连通区域平面上单连通区域在在设设Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：.,)(,)1(定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的边界的边界为为若若BCBzfBC A BC也称也称Cauchy定理定理(3)定理中曲线定

15、理中曲线C不必是简单的！如下图。不必是简单的！如下图。BBC推论推论 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0, z1B, 积分积分c f (z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，的曲线，即积分与路径无关即积分与路径无关。C 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf见上图见上图z1z0C1C2C1C2z0z1.,),(,:21顺顺时时针针是是逆逆时时针针及及每每一一条条曲曲线线互互不不包包含含也也不不相相交交闭闭曲曲线线的的内内部部的的简简单单是是在在闭闭其其中中 iinCCCCCCCDC)2()()()1(

16、0)(,)(,.121 niccnidzzfdzzfdzzfDzfDBCCCCB或或则则内内解解析析在在且且有有界界多多连连通通区区域域所所围围成成的的是是由由设设复合闭路定理：复合闭路定理：3.3 基本定理推广基本定理推广复合闭路定理复合闭路定理 221121)()(LLLLcccdzzfdzzf证明证明0)()( HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzf 21CCC设设DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGHidzzzzCC 2100 有有：内内的的正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在包包含含如如：对对任任意意说明说明 kkCCCCCC21:,)1(三三者者之之间间的的关关系系.,:

17、,)2(按按顺顺时时针针方方向向按按逆逆时时针针方方向向的的特特点点与与曲曲线线的的正正向向kkCCCC kkcccccccdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()()(0)3(121 kcccdzzfdzzfdzzf)()()(1A 1)()(ccdzzfdzzf此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过的的f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C1.1:12 2任任意意正正向向简简单单闭闭