第四章方阵的特征值和特征向量的计算

1、第四章第四章 方阵的特征值和方阵的特征值和特征向量特征向量 定义定义4.14.1 对于对于n阶方阵阶方阵A，若存在常数，若存在常数 和和n维非零向量维非零向量x，满足满足 Ax= x则称则称 为为A的一个的一个特征值，称特征值，称x为为A的对应于的对应于特征值特征值 的特征的特征向量。向量。 1注注1 1 若若 是是A的的特征值，则有特征值，则有det()0IA称之为矩阵称之为矩阵A的的特征方程，所以特征值也称为特征根。特征方程，所以特征值也称为特征根。注注2 2 特征向量不唯一，若特征向量不唯一，若x是特征向量，是特征向量，则对任意非零则对任意非零实数实数k, kx也是特征向量。但特征值是唯

2、一的。也是特征向量。但特征值是唯一的。定理定理4.1 4.1 若若 是是A的特征值，的特征值， 是是 的某的某一多项式，则矩阵一多项式，则矩阵 的特征值为的特征值为12,n( )p xx( )p A12(), (), ()nppp特别特别1212112 (1) ,; (2)0111kkkknnnAAA 的特征值为若 可逆，则是的特征值，且相应的特征向量不变。， ， ，定理定理4.24.2 若若A为实对称矩阵，则为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，不的所有特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量正交。同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵且存在正交矩阵Q Q，使，使12(,)TnQ AQ

3、diag 其中其中Q 的第的第 j 列是列是 所对应的特征向量，且所对应的特征向量，且j 2定理定理4.3 4.3 若若| |P| | 0 0，B=P-1AP，称称A，B相似，相似，相似矩阵具有相似矩阵具有相同的特征值。相同的特征值。TQ QI 31 1 乘幂法乘幂法定理定理4.44.4 设矩阵设矩阵A具有具有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量x1,x2,xn，其相应的特征值其相应的特征值 1, 2, , n满足满足123| | |n一、乘幂法一、乘幂法 乘幂法用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。乘幂法用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。则对任取的一初始非零向量则对任取

4、的一初始非零向量 v0 0 由由10 1,2,= kkkkvAvA v产生的向量序列产生的向量序列 满足满足 kv11111(1) lim()(2) lim()kkkkmkkmva xvv 11()kmkxvvm其中 是所对应的特征向量, 表示的第个分量。01 1221 (0)nnva xa xa xa证证由于由于x1 1, ,x2 2, , ,xn n线性无关，故线性无关，故n维向量维向量v0 0必可由它们必可由它们线性表示线性表示, ,设设211011221 1122211 122 ( )( )nkkkkknnkkknnnkkknnvA va A xa A xa A xaxaxaxa xa

5、xax 4设设1 10 0，当，当k充分大时有充分大时有211|1, |1n 51112111111121()limlim lim ()nkkiiiikkkkknkiiikia xaxva xaxa x 1111121111121111111111()()limlim()()()() ()()nkkiiimikmnkkkkikmiimimmmma xaxvva xaxa xxa xx 注注1 1 收敛速度由比值收敛速度由比值 确定，比值越小收敛速度就越确定，比值越小收敛速度就越快，比值接近与快，比值接近与1 1，收敛速度就越慢。，收敛速度就越慢。21|注注2 2 当矩阵的按模最大特征值是重根时

6、，定理的结论仍然成立。当矩阵的按模最大特征值是重根时，定理的结论仍然成立。111210111 | | ( )jrrrnrnkkkkiijjij rrvA va xax 设为 重根， 且1111111()limlimrnjkkiijjrij rkiikkkkia xaxva x 111111111111111()()limlim()()rnrjkkiijjmii mij rkmirrnkkjkkkmii miijjmiij ra xaxa xvva xa xax 6注注3 3 当当| |1 1|1|1时，迭代向量时，迭代向量 vk 的各个分量将随着的各个分量将随着|1 1| |k变变得很大而使计

7、算机得很大而使计算机“上溢上溢”。当当|1 1|1|1时，迭代向量时，迭代向量 vk 的的各个分量将随着各个分量将随着|1 1| |k变得很小变得很小vk 成为零向量成为零向量。 7 为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了改进的乘幂法。改进的乘幂法。二、改进的乘幂法二、改进的乘幂法设设 v 为非零向量，将其规范化得到向量为非零向量，将其规范化得到向量max( )vuv其中其中 max(max(v) ) 表示向量表示向量 v 的绝对值（或模）为最大的分量，的绝对值（或模）为最大的分量，因此有计算公式。因此有计算公式。000max()v

8、uv0011010102200221220200110 , max()max( )max() , max()max()max() , max()kkkkAvAvvvAuuvvAvA vA vvvAuuAvvA vA vvAuAv00max()max()kkkkkvA vuvA v因此有因此有11 1211111 121()limlimmax()max()nkkiiiiknkkkkiiiia xaxxuxa xax 811 1211 111111 1211()limlimmax()max() limmax()nkkiiiiknkkkkiiiikka xaxxvxa xaxv注注4 4 在定理的证

9、明中，我们假设在定理的证明中，我们假设1 10 0，在选择，在选择v0 0时虽然无法时虽然无法判断，但这并不影响由乘幂法产生的向量序列的收敛性。因为判断，但这并不影响由乘幂法产生的向量序列的收敛性。因为若选择的若选择的v0 0, ,即使有即使有1 1=0=0，由于计算误差的影响，将会使在迭，由于计算误差的影响，将会使在迭代在某一步会产生的代在某一步会产生的vk，它在，它在x1 1方向上的分量不为零，这时以方向上的分量不为零，这时以后的迭代仍会收敛。后的迭代仍会收敛。注注5 5 在定理的证明中，我们假设了在定理的证明中，我们假设了A具有具有n个线性无关的特征个线性无关的特征向量，当向量，当A不具

10、有不具有n个线性无关的特征向量时，乘幂法不适用个线性无关的特征向量时，乘幂法不适用, ,但事前无法判断这一点。所以在应用乘幂法时，发现不收敛或但事前无法判断这一点。所以在应用乘幂法时，发现不收敛或收敛很慢情况，就要考虑可能出现了此种情况，需改变初始值收敛很慢情况，就要考虑可能出现了此种情况，需改变初始值重新计算。重新计算。 9例例4.24.2 求矩阵求矩阵246391541636A解解 计算结果见下表计算结果见下表 10按模最大的特征值和相应的特征向量按模最大的特征值和相应的特征向量 k vk uk 0 1 1 1 1 1 1 1 12.00 27.00 56.00 0.2143 0.4821

11、 1 2 8.357 19.98 44.57 0.1875 0.4483 1 3 8.168 19.60 43.92 0.1860 0.4463 1 4 8.157 19.57 43.88 0.1859 0.4460 1 5 8.157 19.57 43.88 0.1859 0.4460 1三、三、 反幂法反幂法只要求出只要求出A-1-1的按模最大的特征值，也就求出了的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的的按模最小的特征值，及其相应的特征向量。特征值，及其相应的特征向量。121| | |nn 反幂法用来求矩阵反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。的按模最小特征值及其相应的

12、特征向量。设设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为是非奇异矩阵，其特征值的次序为相应的特征向量为相应的特征向量为12,nx xx则则A A-1-1的特征值满足的特征值满足11111|nn 11任取初始非零向量向量任取初始非零向量向量v0，构造向量序列，构造向量序列000max()vuv110,1,2, , max()kkkkkkvvA uuv1lim, limmax()max()nkkkknnxuvx注注kv可用解方程组可用解方程组1kkAvu来完成，该方程组是同一个系数矩阵的一系列方程组，为来完成，该方程组是同一个系数矩阵的一系列方程组，为节约计算工作量，可采用三角分解法来求解。节约计算工作量，

13、可采用三角分解法来求解。 反幂法也可用来计算矩阵反幂法也可用来计算矩阵A对应于一个给定对应于一个给定的近似特征的近似特征值的特征向量。设值的特征向量。设 是矩阵是矩阵A A 的特征值的特征值 的一个近的一个近似值。满足似值。满足i| | ijij设矩阵设矩阵 是非奇异矩阵，对矩阵是非奇异矩阵，对矩阵 利用反幂利用反幂法求出其按模最小特征值法求出其按模最小特征值 ，和相应的特征向量，和相应的特征向量 。()AI()AI1iix2 Jacobi2 Jacobi方法方法 Jacobi Jacobi方法用来求实对称矩阵的所有特征值和相应的特方法用来求实对称矩阵的所有特征值和相应的特征向量。若征向量。若

14、A A为实对称矩阵，则为实对称矩阵，则A A的所有特征值均为实数，的所有特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵不同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵Q Q，使，使 1312(,)TnQ AQdiag 其中其中Q 的第的第 j 列是列是 所对应的特征向量，且所对应的特征向量，且jTQ QI一一. .平面旋转矩阵平面旋转矩阵例例4.34.3 将双曲线将双曲线 转化为标准形式。转化为标准形式。1xy解解进行坐标轴旋转，取进行坐标轴旋转，取4444cossinsincosuxvy 14222244224422222cossin sincos 1 ( 2)xuvxuyvyuv

15、xyuv 二二 n 阶实对称矩阵的对角化阶实对称矩阵的对角化JacobiJacobi方法就是寻找一系列正交矩阵方法就是寻找一系列正交矩阵 ，使，使kS12limkkS SSQ这样就有这样就有121121112 (,)TTTTTkkkkkkkknTS SS S AS SSSS TSdiag Tk 是相似矩阵序列，分别用是相似矩阵序列，分别用( )( ),kkijijkktsTS表示和的元素。定义定义4.24.2( )2( )21111() , () 1,2,nnnnkkkijkijijijj ivtwtk选择矩阵序列选择矩阵序列 Tk 的准则为的准则为1112 (1) , (2) lim0lim

16、(,)kkkkkkkknkwwvvkvTTdiag 若满足以上两个条件，则有 所以所以Tk的的选择取决于矩阵选择取决于矩阵Sk的选择，现选择平面旋转矩阵的选择，现选择平面旋转矩阵Sk= =S( (p,q),),它的几何意义是由它的几何意义是由S( (p,q) )定义的线性变换，使定义的线性变换，使n维维空间的第空间的第p个坐标轴和第个坐标轴和第q个坐标轴所构成的坐标平面旋转了个坐标轴所构成的坐标平面旋转了 的角度。的角度。k 15(, )1cossinsincos1pqkpkkSS p qqkk列列行行 16S S( (p p, ,q q) )是正交矩阵，且变换是正交矩阵，且变换S S( (p

17、 p, ,q q) )TA S S( (p p, ,q q) )只改变了矩阵只改变了矩阵A的第的第p p行、第行、第q q 行和第行和第p p列、第列、第q q 列的元素，而矩阵列的元素，而矩阵A的其它元的其它元素保持不变。素保持不变。 也称也称S S( (p p, ,q q) )为为GivensGivens矩阵。矩阵。 17由由 有计算公式有计算公式 1TkkkkTS TS( )(1)(1)( )(1)(1)( )(1)(1)( )(1)(1)( )(1)2cossinsincos ,cossinsincos ,coskkkpjpjkqjkkkkqjpjkqjkkkkipipkiqkkkki

18、qipkiqkkkppppkqttttttjp qttttttip qttt(1)2(1)( )(1)2(1)2(1)( )( )(1)(1)(1)( )(1)sin2sincossincos2sincos1()sin2cos22 , ; ,kkqkpqkkkkkkqqppkqqkpqkkkkkkkpqqpppqqkpqkkkijijttttttttttttip qjp q 18适当的选择适当的选择 使使 ，只须取，只须取k( )0kpqt(1)(1)(1)2222 cot2, 2222tantan2tancot210 2101 01 1 1kkqqppkkkpqkkkkttatttataaa

19、taa 设由恒等式，得2 001 0|1aaaaa 当时取当时取+取取 19就有就有21cos, sincos1kkktt 定理定理4.5 4.5 按上述计算公式构造的线性变换满足按上述计算公式构造的线性变换满足1112 , lim(,)kkkkknkwwvvTdiag 且三三 经典的经典的JacobiJacobi方法方法 经典的经典的JacobiJacobi方法的特点是每次变换将绝对值最大的非方法的特点是每次变换将绝对值最大的非对角元素化为零。按前述的计算公式做一次计算，可将矩对角元素化为零。按前述的计算公式做一次计算，可将矩阵阵A A中的一对非主对角元素中的一对非主对角元素 和和 化为零，

20、但在下一化为零，但在下一次计算中，前面已经化为零的元素，又可能变为非零元素。次计算中，前面已经化为零的元素，又可能变为非零元素。所以需要多次循环计算才能达到预定精度。所以需要多次循环计算才能达到预定精度。pqaqpa计算步骤为计算步骤为（1 1）首先在）首先在A中选择绝对值最大的非对角线元素，设中选择绝对值最大的非对角线元素，设1 1| max | 0i jijijta选择平面旋转矩阵选择平面旋转矩阵 使使 的非对角的非对角线元素线元素111( ,)SS ij111TTS AS1 111(1)(1)0i jj itt（2）再在）再在 T1 中选择绝对值最大的非对角线元素，设中选择绝对值最大的非

21、对角线元素，设2 2(1)(1)| max | 0i jijijtt又选择平面旋转矩阵又选择平面旋转矩阵 使使 的非对角的非对角线元素线元素222( ,)SS ij2212TTS TS2 22 2(2)(2)0i jj itt1 111(2)(2)i jj itt此时的此时的 又可能变换成了非零元素。又可能变换成了非零元素。 20（3 3）重复以上过程，直到满足预定精度为止。）重复以上过程，直到满足预定精度为止。 例例4.44.4 用用JacobiJacobi方法计算矩阵方法计算矩阵1.01.00.501.01.00.25 ,0.50 0.251.0A的所有特征值和的所有特征值和特征向量，精确

22、到特征向量，精确到0.00050.0005。 解解 （1 1）先将矩阵）先将矩阵 A 中的中的 化为化为0 01221,aa221111121111 0 122 cossin420.707110.707110 0.707110.707110001aaataS 21(1)(1)332222(1)2322222212 0 122 cossin42100 00.707110.7071100.707110.7071100.125000.125000.125001.469700.1250002.TttattSTS T S5304 111000.17678020.530380.176780.530382T

23、TS AS （2 2）将矩阵）将矩阵 T1 中的中的 化为化为0 0(1)(1)2332,tt 22(2)(2)221133(2)212333323333231 5.8788 25.87881 ( 5.8788)1 cos0.99645, sincos0.08414510.996450.841450 0.841450.996450001 TttattttSTS T S 0.01055600.1245601.48020.0105180.124560.0105182.5304 （3 3）将矩阵）将矩阵 T2 中的中的 化为化为0 0(2)(2)1221,tt继续以上计算过程有继续以上计算过程有 2

24、35123450.0166470.0004090.000005 0.0004091.480100.00000502.53360.721350.444040.535840.686160.562340.461470.0938440.697570.71033TQS S S S S 由此得由此得A的精确到的精确到0.0005的三个特征值的三个特征值 1=-0.016647 ， 2=1.4801， 3=2.5366。同时也求出了以下三个同时也求出了以下三个精确到精确到0.00050.0005的特征向量的特征向量1230.721350.444040.535840.68616,0.56234,0.46147

25、0.0938440.697570.71033xxx 24四、四、JacobiJacobi过关法过关法 经典的经典的JacobiJacobi方法每次选取的是矩阵中绝对值最大的非对方法每次选取的是矩阵中绝对值最大的非对角元素作为消去对象，需要在所有的非对角线元素中进行比较角元素作为消去对象，需要在所有的非对角线元素中进行比较选择，计算工作量相当大。选择，计算工作量相当大。JacobiJacobi过关法也称为过关法也称为“阀阀“JacobiJacobi方法，是一种改进方法。方法，是一种改进方法。2011nnijijjiva 计算计算（1 1）设置阀值，也称为）设置阀值，也称为“关关”2111nnij

26、ijjiavn 扫描矩阵所有非对角线元素，对绝对值小于阀扫描矩阵所有非对角线元素，对绝对值小于阀值值 v1 的元素，就的元素，就让其过让其过“关关”，暂不作处理。对绝对值大于等于阀值，暂不作处理。对绝对值大于等于阀值v1的元素，就的元素，就 25 26构造平面旋转矩阵，并利用旋转变换将其变为零。多次扫描非对构造平面旋转矩阵，并利用旋转变换将其变为零。多次扫描非对角元素，直到所有的非对角线元素的绝对值都小于阀值角元素，直到所有的非对角线元素的绝对值都小于阀值v1为止。为止。（2 2）缩小阀值）缩小阀值211122nnijijj iavvnn 多次扫描矩阵从（多次扫描矩阵从（1 1）所得矩阵的非对

27、角线元素，并做相）所得矩阵的非对角线元素，并做相应的平面旋转变换。直到所有的非对角线元素的绝对值都小于应的平面旋转变换。直到所有的非对角线元素的绝对值都小于阈值阈值v2为止。为止。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（k）设置阀值）设置阀值vk21110nnijijj ikkkkavvvnnn其中其中为给定的误差精度。多次扫描矩阵从（为给定的误差精度。多次扫描矩阵从（k-1-1）步变换所）步变换所得矩阵的非对角线元素，并做

28、相应的平面旋转变换。直到所有得矩阵的非对角线元素，并做相应的平面旋转变换。直到所有的非对角线元素的绝对值都小于阀值的非对角线元素的绝对值都小于阀值vk为止。为止。 经过以上的计算过程，得到一个近似的对角矩阵经过以上的计算过程，得到一个近似的对角矩阵, ,其主对其主对角线元素就是所求矩阵特征值的近似值，所有平面旋转变换角线元素就是所求矩阵特征值的近似值，所有平面旋转变换矩阵的乘积所得矩阵的列向量就是所求矩阵特征向量的近矩阵的乘积所得矩阵的列向量就是所求矩阵特征向量的近似值。似值。 273 3 QR方法方法QR方法可以用来求一般矩阵所有特征值。方法可以用来求一般矩阵所有特征值。一、一、Househ

29、olderHouseholder变换变换定义定义4.34.3 设设v是是n维向量维向量, ,且且vTv=1,=1,称称 H=I-2vvT为为HouseholderHouseholder矩阵，也称为镜像变换矩阵矩阵，也称为镜像变换矩阵H是对称的正交矩阵。是对称的正交矩阵。(2)2()2 (2)(2) 44 ()TTTTTTTTTTTTTHIvvIvvIvvHHHHIvvIvvIvvv v v vIH作为线性变换是一种镜像变换作为线性变换是一种镜像变换, , 不改变向量不改变向量x的长度的长度, , 只改只改变其方向。变其方向。 28注注1 1注注2 2 考查以考查以v为法向量的过原点的超平面为法

30、向量的过原点的超平面S: 0TSv x 对任一对任一n维向量维向量w, ,都可以表示为都可以表示为 , , ()wxyxS ySHxxHyyHwH xyxyHw wSH其中于是有即是 在平面 上的镜面反射所以常称为镜像矩阵 ， 29定理定理4.6 4.6 对对n维向量维向量x,y, ,若若 ，则一定存在镜像，则一定存在镜像矩阵矩阵H , ,使得使得22|xyyHx 30 31证证 当当 时，取时，取xyHI当当 时，取时，取xy2|xyvxy定理定理4.7 4.7 对对n 维向量维向量 总存在镜像矩阵总存在镜像矩阵 H , ,使使 H H x 的后的后 n- -r 个分量为个分量为0 0，第，

31、第 r 个分量为个分量为(1(1 r n) )12( ,)Tnxx xx且且 Hx 的前面的前面 r-1 -1 个分量与个分量与 x 的前的前 r-1 -1 个分量相同。个分量相同。122()()nrii rHxx 证证 记记122121 ( ,0,0)4.6nii rTrxyx xx 由定理可得结论成立。二、二、 矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解设设A1= = A，可以构造，可以构造Householder Householder 矩阵矩阵H1 1，使，使121100aAH A1232200000aaAH A又可以构造又可以构造Householder Householder 矩阵矩阵H2

32、2，使，使 32作作n-1-1次变换后次变换后, ,A化为上三角阵化为上三角阵An1212211nnnnnaaAHHH H Aaa121, nnQH HHRAAQR记 则因因Q是正交矩阵的乘积，所以也是正交矩阵，是正交矩阵的乘积，所以也是正交矩阵，R是上三角矩阵是上三角矩阵, ,这种分解称为这种分解称为A的正交三角分解。简称的正交三角分解。简称QR分解。分解。三、三、 QR方法方法QR方法是目前求矩阵所有特征值的最有效方法。方法是目前求矩阵所有特征值的最有效方法。 33令令A1=A, ,对对A1作分解作分解 A1=F1R1其中其中F1 1非奇异，反非奇异，反序相乘有序相乘有 A2=R1F1又对又对A2作分解作分解 A2=F2R2其中其中F F2 2非奇异，反序相乘有非奇异，反序相乘有 A3=R2F2则则 这样可产生一个矩阵序列这样可产生一个矩阵序列 Ak11 1,2,kkkkkkAAAF RkAR F容易证明容易证明 Ak是是相似矩阵序列，因此它们具有相同特征值。相似矩阵序列，因此它们具有相同特征值