mathematics第3讲

1、软 件 介 绍第第3 3讲讲 图图 形形 绘绘 制制2/97 这里的图形是指二维欧氏空间这里的图形是指二维欧氏空间E2，与三维欧氏空间，与三维欧氏空间E3中的图形，即通常所说的平面图形与空间图形。中的图形，即通常所说的平面图形与空间图形。 本章讨论的主要对象是本章讨论的主要对象是E2中的曲线中的曲线(平面曲线平面曲线)、E3中的曲线中的曲线(空间曲线空间曲线)与与E3中的曲面，它们在数学里都中的曲面，它们在数学里都有明确的定义。有明确的定义。 至于有些至于有些Mathematica书里提到的特殊图形，例如书里提到的特殊图形，例如E2中的条形图、扇形图，中的条形图、扇形图，E3中的多棱面中的多棱

2、面(由多张平面拼由多张平面拼装而成的面装而成的面)等，因为用到的方面很窄，为了节省篇等，因为用到的方面很窄，为了节省篇幅，就不介绍了。幅，就不介绍了。3/973.1 曲线与曲面表示法3.2 平面曲线的绘制法3.3 平面图形的可选项3.4 空间曲线的绘制法3.5 曲面的绘制法4/973.1 曲线与曲面表示法3.1.1 平面曲线表示法平面曲线表示法3.1.2 空间曲线表示法空间曲线表示法3.1.3 曲面表示法曲面表示法5/973.1.1 平面曲线表示法平面曲线表示法1. 直角坐标显式直角坐标显式(简称显式简称显式) 通常总是用显式通常总是用显式y = f(x)来表示单值曲线，即在来表示单值曲线，即

3、在f(x)有定义的范围内任给一个有定义的范围内任给一个x值，只有一个值，只有一个y值与之对应值与之对应的曲线。的曲线。 例如：例如：y = e-xsinx，y = 4 + 2x x3等。等。6/972. 直角坐标隐式直角坐标隐式(简称隐式简称隐式) 隐式隐式F(x，y) = 0通常用来表示多值曲线通常用来表示多值曲线(含闭合曲含闭合曲线线)，即在，即在F(x，y) = 0有意义的范围内，任给一个有意义的范围内，任给一个x值，值，总有多个总有多个y值存在的曲线，其中也包括闭合曲线。值存在的曲线，其中也包括闭合曲线。 例如：例如：x2 + y2 = 9(圆圆)，x2/3 + y2/3 = a2/3

4、(星形线星形线)等。等。7/973. 参数式参数式 参数式：参数式：z = x(t)，y = y(t)也常用来表示多值曲线也常用来表示多值曲线(含含闭合曲线闭合曲线)，使得对问题的分析与讨论比隐式更加简，使得对问题的分析与讨论比隐式更加简单方便。单方便。 例如：例如：x = 3cost，y = 3sint(圆圆)；x =acos3t，y = asin3t(星形线星形线)等。等。8/974. 极坐标式极坐标式 极坐标式极坐标式 = ( )用来表示向径用来表示向径 随转角随转角 依某种规依某种规律而变化的那些曲线是十分方便的。律而变化的那些曲线是十分方便的。 例如例如 (螺旋线螺旋线)， = b

5、acos ，a b (蚶线蚶线)等。等。 231e 9/975. 列表式列表式(又称数据形式，或称离散点形式又称数据形式，或称离散点形式) 例如三角函数表，对数函数表，实验数据表等。例如三角函数表，对数函数表，实验数据表等。6. 图形式图形式(画出曲线的图形画出曲线的图形) 例如正弦曲线，对数曲线，实验曲线等。例如正弦曲线，对数曲线，实验曲线等。10/97 平面曲线的上述平面曲线的上述6种表现形式，在一定的条件下是种表现形式，在一定的条件下是可以互相转化的。可以互相转化的。 例如显式例如显式y = f(x)总可以转化为隐式总可以转化为隐式F(x，y) f(x) y = 0，而隐式必须在一定的条

6、件下才能转化为显式等。而隐式必须在一定的条件下才能转化为显式等。 本章的主要任务就是要将形式本章的主要任务就是要将形式(1) - (5)转化为形式转化为形式(6)，也就是在高等数学中所说的已知曲线方程或数据怎样也就是在高等数学中所说的已知曲线方程或数据怎样画出曲线的问题。在那里也讲述曲线画图的若干方法，画出曲线的问题。在那里也讲述曲线画图的若干方法，但通常是一个比较复杂的过程。但通常是一个比较复杂的过程。 Mathematica为我们将这个过程编制为计算机程序，为我们将这个过程编制为计算机程序，给使用者提供了极大的方便。给使用者提供了极大的方便。11/973.1.2 空间曲线表示法空间曲线表示

7、法1. 参数形式参数形式 x = x(t)，y = y(t)，z = z(t) 例如例如x = aetcost，y = betsint，z = cet等。等。2. 交截形式交截形式 这是用两张曲面的交线来表示空间曲线。这是用两张曲面的交线来表示空间曲线。 在理论研究与实际应用中，常常是通过引入参数在理论研究与实际应用中，常常是通过引入参数t将将交截式转化为参数式来讨论问题的。交截式转化为参数式来讨论问题的。 0),(0),(zyxzyxf 12/973.1.3 曲面表示法曲面表示法 (1) 直角坐标显式直角坐标显式(简称显式简称显式)：z = f(x，y) (2) 直角坐标隐式直角坐标隐式(简

8、称隐式简称隐式)：F(x，y，z) = 0 (3) 参数形式：参数形式：x = x(u，v)，y = y(u，v)，z = z(u，v) (4) 数据形式：即是将曲面上的点表示为数据形式：即是将曲面上的点表示为 x = xi，y = yj，z = zij (i = 1,2,m；j = 1,2,n)的形式，其中的形式，其中xi与与yj为向量为向量x与与y中的元素，中的元素，zij为矩阵为矩阵z中中的元素。的元素。13/973.1.3 曲面表示法曲面表示法 (5) 图形形式图形形式(画出曲面的图形画出曲面的图形) 曲面表示的上述曲面表示的上述5种形式在一定条件下也是可以互种形式在一定条件下也是可以

9、互相转化的，在实际问题中用得最多的是相转化的，在实际问题中用得最多的是(1)，(3)，(5)三种形式。三种形式。14/973.2 平面曲线的绘制法3.2.1 显式显式3.2.2 参数式参数式3.2.3 隐式隐式3.2.4 极坐标式极坐标式3.2.5 数据形式数据形式15/973.2.1 显式显式 显式显式y = f (x)绘图函数绘图函数Plot的调用格式如下：的调用格式如下：Plotf(x)，x，x1，x2，可选项，可选项Plotf1(x)，f2(x)，x，x1，x2，可选项，可选项 格式格式1是绘制一条平面曲线，格式是绘制一条平面曲线，格式2是绘制是绘制(在同一坐在同一坐标面上的标面上的)

10、多条曲线。多条曲线。 式中式中Plot为平面曲线显式的绘图函数，为平面曲线显式的绘图函数，f(x)，f1(x)，f2(x)，为给定的平面曲线显式为给定的平面曲线显式y = f(x)的右端项，的右端项，x为自变量，为自变量，x1为为x的下限，的下限，x2为为x的上限，即有的上限，即有x1xx2，亦即给定的绘图范围。，亦即给定的绘图范围。16/973.2.1 显式显式 显式显式y = f (x)绘图函数绘图函数Plot的调用格式如下：的调用格式如下：Plotf(x)，x，x1，x2，可选项，可选项Plotf1(x)，f2(x)，x，x1，x2，可选项，可选项 可选项是绘图中进一步考虑问题时需要的一

11、些参数可选项是绘图中进一步考虑问题时需要的一些参数 比如绘图时两坐标轴上的比例，将曲线画成虚线或比如绘图时两坐标轴上的比例，将曲线画成虚线或者实线，取什么颜色等等。者实线，取什么颜色等等。 在绘图时使用者可以选用可选项，也可不选用，或在绘图时使用者可以选用可选项，也可不选用，或者部分选用。者部分选用。 如果不选用，那么如果不选用，那么Plot函数就会自动地取一组内部函数就会自动地取一组内部默认值以后，正常地画出曲线来。默认值以后，正常地画出曲线来。17/973.2.1 显式显式 显式显式y = f (x)绘图函数绘图函数Plot的调用格式如下：的调用格式如下：Plotf(x)，x，x1，x2，

12、可选项，可选项Plotf1(x)，f2(x)，x，x1，x2，可选项，可选项 可选项是绘图中进一步考虑问题时需要的一些参数可选项是绘图中进一步考虑问题时需要的一些参数 比如绘图时两坐标轴上的比例，将曲线画成虚线或比如绘图时两坐标轴上的比例，将曲线画成虚线或者实线，取什么颜色等等。者实线，取什么颜色等等。 在绘图时使用者可以选用可选项，也可不选用，或在绘图时使用者可以选用可选项，也可不选用，或者部分选用。者部分选用。 如果选用或部分选用，我们将留待稍后再作介绍。如果选用或部分选用，我们将留待稍后再作介绍。 18/97 显式画图的具体步骤举例如下：显式画图的具体步骤举例如下：【例【例2-1】绘制函

13、数】绘制函数 在区间在区间-2 x 2上的上的图形。图形。Plotx SinPi/x, x, -2, 2 (*未用可选项，系统自动取默认未用可选项，系统自动取默认值值*) 运行后可得图形和字运行后可得图形和字符串如图所示，其中符串如图所示，其中Graphics表明图形的表表明图形的表达式已经生成。达式已经生成。xxy sin -2-112-0.50.511.5219/97【例【例2-2】已知】已知 ，y2 = x，y3 = - x，指定区，指定区间为间为-2，2，试在同一坐标平面上画出这，试在同一坐标平面上画出这3条曲线。条曲线。Plotx SinPi/x, x, -x, x, -2, 2 运

14、行后输出结果如图所示。运行后输出结果如图所示。xxy sin1 20/973.2.2 参数式参数式 参数式：参数式：x = x(t)，y = y(t)绘图函数的调用格式如下：绘图函数的调用格式如下：ParametricPlotx(t), y(t), t, t1, t2, 可选项可选项ParametricPlotx1(t)，yl(t)，x2(t)，y2(t)，t，t1，t2，可选项，可选项 ParametricPlot是参数曲线的绘制函数是参数曲线的绘制函数 格式格式1绘制一条参数曲线，格式绘制一条参数曲线，格式2绘制多条参数曲线绘制多条参数曲线 x(t)，y(t)是曲线参数方程是曲线参数方程

15、t，t1，t2是参数是参数t的指定范围的指定范围t1 t t221/97【例【例2-3】绘制】绘制x = a sinmt，y = a cosnt在在0 t 2 上上的图形，式中可取的图形，式中可取a = 8，m = 2，n = 5。ParametricPlot8 Sin2 t, 8 Cos5t , t, 0, 2 Pi 运行后可得输出结运行后可得输出结果如图所示。果如图所示。 作为练习，读者不妨改动式中的作为练习，读者不妨改动式中的m与与n值，比如取值，比如取(m，n) = (2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，5)，(3，7)，(4，5)，(4，7)，(14，15)等，可以生成多种有趣的

16、曲线。等，可以生成多种有趣的曲线。-7.5-5-2.52.557.5-7.5-5-2.52.557.522/973.2.3 隐式隐式 隐式隐式F(x，y) = 0绘图函数的调用格式如下：绘图函数的调用格式如下：ImplicitPlotFx，y = 0，x，x1，x2，可选项，可选项 式中式中ImplicitPlot为隐式绘图函数为隐式绘图函数 = =为相等的为相等的Mathematica书写法书写法 列表列表x,x1,x2的含义是的含义是x1xx2，而，而x为自变量。为自变量。23/973.2.3 隐式隐式 在在Mathematica里，对于某些使用频率不高的绘图里，对于某些使用频率不高的绘图

17、函数，例如隐式绘图函数，极坐标绘图函数等，没有函数，例如隐式绘图函数，极坐标绘图函数等，没有将它们放入系统的内部函数中，而是将它们放置于外将它们放入系统的内部函数中，而是将它们放置于外部函数的图形扩展程序包中部函数的图形扩展程序包中 使用时必须先打开这个程序包使用时必须先打开这个程序包Graphics Graphics或者或者Graphics然后才能调用其中的绘图函数，请看下面的例子。然后才能调用其中的绘图函数，请看下面的例子。24/97【例【例2-4】绘制隐函数】绘制隐函数x4 + y4 18(x2 + y2) + 14 = 0在在区间区间 6 x 6上的图形。上的图形。 GraphicsI

18、mplicitPlotx4 + y4 18 (x2 + y2) + 14 =0, x, -6, 6运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。-4-224-4-224 25/97【例【例2-5】绘制隐函数】绘制隐函数(x2 + y2)3 - 16(x4 + y4) + 4 = 0在在区间区间6x6上的图形。上的图形。 GraphicsImplicitPlot(x2 + y2)3 16 (x4 + y4) + 4 =0, x, -6, 6运行后可得输出结果如图运行后可得输出结果如图2-4所示。所示。-4-224-4-22426/973.2.4 极坐标式极坐标式 极坐标式极坐标式 =

19、( )绘图函数的调用格式如下：绘图函数的调用格式如下：PolarPlot ( )， ， 1， 2 上面表达式中上面表达式中PolarPlot为极坐标式绘图函数为极坐标式绘图函数 ( )为为 = ( )的右端表达式的右端表达式 列表列表 ， 1， 2表示表示 1 2。27/97 极坐标式绘图的具体步骤举例如下：极坐标式绘图的具体步骤举例如下：【例【例2-6】绘制函数】绘制函数 =1 2cos 在区间在区间0 2 上的上的图形。图形。 GraphicsPolarPlot1 2 Cost, t, 0, 2 Pi运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。-3-2.5-2-1.5-1-0.

20、5-1.5-1-0.50.511.528/97【例【例2-7】绘制函数】绘制函数 = 2cos3 在区间在区间0 3 上的图上的图形。形。True运行后可得输出结果如图所示运行后可得输出结果如图所示234567846810234567846810 31/97 作为练习，读者可以利用曲线表示法之间的互相转作为练习，读者可以利用曲线表示法之间的互相转化来绘制一些图形化来绘制一些图形 例如可以将极坐标线例如可以将极坐标线 = ( )转化为参数式转化为参数式x = ( )cos ，y = ( )sin 来绘出来绘出 = 1 2cos 的图形等。的图形等。32/97 再者可以将隐函数再者可以将隐函数f(

21、x, y)=0图形看作是曲面图形看作是曲面z= f(x, y)上的等高线上的等高线 ，然后利用后面然后利用后面2.5.7节要讲的等高线画法来画出节要讲的等高线画法来画出x4 + y4 18(x2 + y2) + 14 = 0的图形等。的图形等。 这些练习可以帮助读者对各种形式曲线画法的理解，这些练习可以帮助读者对各种形式曲线画法的理解，并能提高绘制图形的灵活性与举一反三的能力，有兴并能提高绘制图形的灵活性与举一反三的能力，有兴趣的读者不妨试一试。趣的读者不妨试一试。 0),(00zzyxf33/973.3 平面图形的可选项 前一节所举各例中均没有直接使用可选项，而是让前一节所举各例中均没有直接

22、使用可选项，而是让系统将可选项自动取默认值来画出图形的系统将可选项自动取默认值来画出图形的 然而在有些情况下这样做难于达到预期的结果，需然而在有些情况下这样做难于达到预期的结果，需要对某些默认值进行必要的修改之后，才能得到理想要对某些默认值进行必要的修改之后，才能得到理想的图形。的图形。 在在Mathematica各种绘图函数里，设置的可选项内各种绘图函数里，设置的可选项内容很多，本书无法作全面介绍容很多，本书无法作全面介绍 按照既实用又节省的原则，我们挑选其中一部分较按照既实用又节省的原则，我们挑选其中一部分较常用的内容在本节里作简要说明，没有纳入的部分如常用的内容在本节里作简要说明，没有纳

23、入的部分如果用到，可以到系统里查询。果用到，可以到系统里查询。34/973.3 平面图形的可选项3.3.1 可选项列表可选项列表3.3.2 可选项举例可选项举例3.3.3 平面图形的重现与组合平面图形的重现与组合35/973.3.1 可选项列表可选项列表可选项名称可选项名称系统默认值系统默认值含义含义PlotRangeAutomatic，即系统根据情况自，即系统根据情况自定定作图的范围，可取作图的范围，可取x1，x2，也可取，也可取y1，y2，以，以及及x1，x2，y1，y2，若取，若取All，则表示画出函，则表示画出函数值的全部图形数值的全部图形AspectRatio1/GoldenRati

24、o，即，即y:x = 1:1.6180图形的高宽比，可以为图形的高宽比，可以为AspectRatio指定一个任何指定一个任何其他的数。其他的数。GoldenRatio = 1.6180AxesAutomatic，表示要画坐标轴，表示要画坐标轴，并且自动确定坐标中心位置并且自动确定坐标中心位置是否画坐标轴，以及坐标轴的中心放在什么位置是否画坐标轴，以及坐标轴的中心放在什么位置PlotLabelNone,表示不做标记表示不做标记在图形上方居中位置增加标记在图形上方居中位置增加标记AxesLabelNone,表示不做标记表示不做标记在坐标轴上增加标记在坐标轴上增加标记TicksAutomatica自

25、动确定坐标轴刻度自动确定坐标轴刻度规定坐标轴上刻度的位置，如果用规定坐标轴上刻度的位置，如果用None则不标刻则不标刻度度FrameFalse是否画边框是否画边框GridLinesNone是否加网格线是否加网格线PlotPoints25画图时基本的最少取点数画图时基本的最少取点数MaxBend10相邻两段曲线之间的最大扭转角，以度为单位相邻两段曲线之间的最大扭转角，以度为单位PlotDivision20画图时在基本最少点数上增加的细分点数画图时在基本最少点数上增加的细分点数PlotStyleAutomatic自动用黑色实线作图自动用黑色实线作图选用什么颜色、线型作图选用什么颜色、线型作图(具体

26、内容见注具体内容见注)36/97注：注：PlotStyle-GrayLeveli，i为灰度比值，为灰度比值，0i1，0为黑色，为黑色，1为白色；为白色；RGBColorr,g,b，红，绿，蓝三色强度，红，绿，蓝三色强度，0r,g,b1；Thicknesst，t为线条宽度，以占整个图的宽度比来量度；为线条宽度，以占整个图的宽度比来量度；Dashingd1，d2，用实虚线段序列画图，实虚线的长依次为用实虚线段序列画图，实虚线的长依次为d1，d2，37/97 上述可选项按照其功能可分为两类：上述可选项按照其功能可分为两类： 第一类第一类(1-8)，用于说明如何把一个构造好的图形显，用于说明如何把一个

27、构造好的图形显示出来，包括若干附加的东西，比如坐标轴，边框，示出来，包括若干附加的东西，比如坐标轴，边框，网格线等；网格线等； 第二类第二类(9-12)，用于生成图形的基本元素，比如计，用于生成图形的基本元素，比如计算基本样点，将样点连接成一条折线等。算基本样点，将样点连接成一条折线等。38/97 在使用可选项时，一方面要根据图形的需要，另一在使用可选项时，一方面要根据图形的需要，另一方面要注意可选项上述功能的特征。方面要注意可选项上述功能的特征。 每一可选项都有一个名字，使用时必须给它们指定每一可选项都有一个名字，使用时必须给它们指定适当的值，其使用形式是：适当的值，其使用形式是：可选项名可

28、选项名 - 可选项值可选项值39/973.3.2 可选项举例可选项举例 为了进一步弄清可选项的内容和用法，再举例如下为了进一步弄清可选项的内容和用法，再举例如下【例【例3-1】绘制参数圆】绘制参数圆x = acost，y = asint，a = 3，0t2 的图形。的图形。ParametricPlot3 Cost, 3 Sint, t, 0, 2 Pi 运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。-3-2-1123-3-2-112340/97图形有些略扁，不像圆而像椭圆，原因是图形可选项图形有些略扁，不像圆而像椭圆，原因是图形可选项中的高宽比中的高宽比AspectRatio(y/x

29、)采用了默认值采用了默认值1/1.6180，如果将高宽比改为如果将高宽比改为1/1，即：，即：ParametricPlot3 Cost, 3 Sint, t, 0, 2 Pi, AspectRatio - 1/1 运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。 这样得到的图形便是一个正常的圆了，读者不妨将这样得到的图形便是一个正常的圆了，读者不妨将高宽比再改为高宽比再改为21与与12，看看结果如何，看看结果如何?-3-2-1123-3-2-112341/97【例【例3-2】绘制参数圆】绘制参数圆x = 8sin2t，y = 8cos5t，0t2 ，在曲线上不画坐标轴，但要加上边框，并

30、，在曲线上不画坐标轴，但要加上边框，并在曲线上方加上标记。在曲线上方加上标记。ParametricPlot8 Sin2 t, 8 Cos5 t, t, 0, 2 Pi, Axes -None, Frame - True, PlotLabel-x = 8 Sin2t, y = 8 Cos5t 运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。-7.5-5-2.502.557.5-7.5-5-2.502.557.5x=8Sin2t ,y=8 Cos5t42/97【例【例3-3】绘制隐函数】绘制隐函数(x2 + y2)3 16(x4 + y4) + 14 = 0在在- 6x6上的图形，加上边框

31、，并加网格线。上的图形，加上边框，并加网格线。True, GridLines-Automatic 运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。-4-2024-4-202443/97【例【例3-4】绘制隐函数】绘制隐函数x4 y4 + xy = 0在在-1x1上的上的图形，要求加上坐标轴标记。图形，要求加上坐标轴标记。 xAxes,x4-y4+x*y=0 运行后可得输出结果如图所示运行后可得输出结果如图所示-1-0.50.51xAxes-1-0.50.51x4-y4+x*y=044/97【例【例3-5】给定函数】给定函数y1=sinx与与y2=cosx及区间及区间0 x 2 要求：要

32、求： (1) 在在0 x2 上用彩色线画出上用彩色线画出y1 = sinx的图形；的图形； (2) 在在0 x2 上用实虚线画出上用实虚线画出y2 = cosx的图形；的图形； (3) 在在0 x2 上，将上述两曲线画在同一坐标平上，将上述两曲线画在同一坐标平面内。面内。PlotSinx, x, 0, 2 Pi, PlotStyle-RGBColor1, 0, 1PlotCosx, x, 0, 2 Pi, PlotStyle-Dashing0.07, 0.03PlotSinx, Cosx, x, 0, 2 Pi, PlotStyle-RGBColor1, 0, 1, Dashing0.07,

33、0.03 123456-1-0.50.51123456-1-0.50.51123456-1-0.50.51 45/97 附注：附注： RGBColorr，g，b中的中的3个参数个参数r、g、b分别代表红、绿、蓝分别代表红、绿、蓝3种颜色，其取值范围均在种颜色，其取值范围均在0，1之间，即之间，即0r，g，b1，值的大小表示色彩的强度。，值的大小表示色彩的强度。 Dashingd1，d2，中的参数中的参数d1，d2代表实代表实虚线的分段方式，交替地以长度虚线的分段方式，交替地以长度d1，黑色实线段，长，黑色实线段，长度度d2空白虚线段等画实虚线，参数的取值范围均小于空白虚线段等画实虚线，参数的取

34、值范围均小于1，即有，即有0d1，d21。46/97 奇异点奇异点 y1 = tanx在在x= /2处为无穷型间断点，处为无穷型间断点， y2 = sin(1/x)在在x = 0处为无穷次振荡点，处为无穷次振荡点， y3 = sintanx tansinx在在x = /2处也为无穷次振荡处也为无穷次振荡点点 y4 = xlogx在在x = 0处，函数值不确定处，函数值不确定(为为0 )等等，等等， 这些点可以统称为函数的奇异点或非正常点。这些点可以统称为函数的奇异点或非正常点。 对于带有上述奇异点的函数，对于带有上述奇异点的函数，Mathematica经过适经过适当的处理后，仍能画出它们的图形

35、。当的处理后，仍能画出它们的图形。47/97 比如遇有无穷型间断点时，系统将会自动截取它的比如遇有无穷型间断点时，系统将会自动截取它的有限部分；有限部分； 遇有剧烈振荡值点时，系统会自动加密画图时的点遇有剧烈振荡值点时，系统会自动加密画图时的点数；数； 遇有不确定值点时，将会用极限值代替函数值以确遇有不确定值点时，将会用极限值代替函数值以确定其值等等。定其值等等。 这些地方都显示了这些地方都显示了Mathematica系统考虑的周密与系统考虑的周密与设计的完善，给使用者提供了极大的方便。设计的完善，给使用者提供了极大的方便。48/97【例【例3-6】已知】已知y3 = sintanx tans

36、inx，试观察，试观察y3在在区间区间- ， ，1，2及及1.5，1.6上的图形。上的图形。y3 = SinTanx - TanSinx;Ploty3, x, -Pi, PiPloty3, x, 1, 2Ploty3, x, 1.5, 1.6 -3-2-1123-2-1121.21.41.61.82-2.5-2-1.5-1-0.51.521.541.561.581.6-2.5-1.5-1-0.5 49/973.3.3 平面图形的重现与组合平面图形的重现与组合 用用Mathematica系统绘制图形的过程大致可分为两系统绘制图形的过程大致可分为两步步: 第一步是构造图形的基本元素，比如计算图形上

37、的第一步是构造图形的基本元素，比如计算图形上的基本样点，把样点连接成折线等；基本样点，把样点连接成折线等； 第二步是将构造好的图形显示出来，同时包含若干第二步是将构造好的图形显示出来，同时包含若干附加的东西，比如加上坐标轴、网格线、边框等。附加的东西，比如加上坐标轴、网格线、边框等。 每次图形绘制完毕之后，图形的全部信息都将被保每次图形绘制完毕之后，图形的全部信息都将被保存下来，当用户需要再次画出这些图形时，只需调用存下来，当用户需要再次画出这些图形时，只需调用重现函数重现函数Show即可，不必再重复原来的第一和第二步。即可，不必再重复原来的第一和第二步。50/973.3.3 平面图形的重现与

38、组合平面图形的重现与组合 每次图形绘制完毕之后，图形的全部信息都将被保每次图形绘制完毕之后，图形的全部信息都将被保存下来，当用户需要再次画出这些图形时，只需调用存下来，当用户需要再次画出这些图形时，只需调用重现函数重现函数Show即可，不必再去重复原来的第一步和第即可，不必再去重复原来的第一步和第二步。二步。 如果对原来的图形感到还有些不满意，例如范围不如果对原来的图形感到还有些不满意，例如范围不合适，比例不合适或是坐标轴不合适时，那么只须对合适，比例不合适或是坐标轴不合适时，那么只须对可选项中第一类相应的参数值作些调整即可，不必再可选项中第一类相应的参数值作些调整即可，不必再去重新构造图形的

39、基本元素。这样做可以有效地节省去重新构造图形的基本元素。这样做可以有效地节省系统和用户的时间。系统和用户的时间。51/971. Show函数的功能之一是显示已经做好的图形。函数的功能之一是显示已经做好的图形。【例【例3-7】绘制函数】绘制函数y = sinx在在- x 上的图形。上的图形。PlotSinx, x, -Pi, Pi 或者将图形存放于变量或者将图形存放于变量C1中：中：C1 = PlotSinx, x, -Pi, Pi 运行后可得图形如下。当需要再次画出运行后可得图形如下。当需要再次画出y = sinx在在- x 上的图形时，只须调用一下上的图形时，只须调用一下Show函数即可。函

40、数即可。Show 或者或者 ShowC1如果想要将图形的范围如果想要将图形的范围- x 改为改为0 x2 ，有，有ShowC1, PlotRange-0, 2 Pi-3-2-1123-1-0.50.51-3-2-112312345652/972. Show函数的功能之二是能够将已经做好的多个图形函数的功能之二是能够将已经做好的多个图形显示在同一坐标系里，实现多个图形的组合。显示在同一坐标系里，实现多个图形的组合。【例【例3-8】在同一区间】在同一区间0，2 上给定函数上给定函数y1 = sinx，y2 = sin(x-1)，y3 = sin(x+1)，y4 = sin2x，要求用彩，要求用彩色

41、线（红蓝线）画出色线（红蓝线）画出y1，灰度线（黑白线）画出，灰度线（黑白线）画出y2，用宽条线画出用宽条线画出y3，用实虚线（点划线）画出，用实虚线（点划线）画出y4，然，然后将后将y1，y2，y3，y4组合在同一坐标系里。组合在同一坐标系里。53/97 首先分别画出首先分别画出y1，y2，y3，y4如下：如下：C1 = PlotSinx, x, 0, 2 Pi, PlotStyle- RGBColor1, 0, 1;C2 = PlotSinx 1, x, 0, 2 Pi, PlotStyle- GrayLevel0.6;C3 = PlotSinx + 1, x, 0, 2 Pi, Plot

42、Style- Thickness0.009;C4 = PlotSin2 x, x, 0, 2 Pi, PlotStyle- Dashing0.01, 0.02, 0.04; 略去上面的四条单个曲线不必显示，其组合图形如略去上面的四条单个曲线不必显示，其组合图形如下：下：ShowC1, C2, C3, C4 运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。123456-1-0.50.5154/97 如果想要将图形如果想要将图形C1，C2，C3组成一个行，可以：组成一个行，可以：ShowGraphicsArrayC1, C2, C3 运行后可得输出结果如图运行后可得输出结果如图2-18所示

43、。所示。 如果想要将图形如果想要将图形C1，C2，C3，C4组合成一个阵，组合成一个阵，可以：可以：ShowGraphicsArrayC1, C2, C3, C4 运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。 上述关于上述关于Show函数的功能，我们所举的函数的功能，我们所举的3个例子都个例子都是用于显式平面曲线的，对于隐式、参数式等平面曲是用于显式平面曲线的，对于隐式、参数式等平面曲线，以及空间曲线，还有曲面等几乎所有作图命令的线，以及空间曲线，还有曲面等几乎所有作图命令的重现与组合，重现与组合，Show函数均是适用的。函数均是适用的。1 2 3 4 5 6-1-0.50.511

44、 2 3 4 5 6-1-0.50.511 2 3 4 5 6-1-0.50.51123456-1-0.50.51123456-1-0.50.51123456-1-0.50.51123456-1-0.50.51 55/973.4 空间曲线的绘制法 空间曲线的交截形式很少用到，通常总是以参数形空间曲线的交截形式很少用到，通常总是以参数形式给出，绘制空间曲线自然应取参数形式：式给出，绘制空间曲线自然应取参数形式：x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。 参数形式空间曲线绘图函数的调用格式如下：参数形式空间曲线绘图函数的调用格式如下：ParametricPlot3Dx(t)，y(t)，

45、z(t)，t，t1，t2，可选，可选项项 式中式中ParametricPlot3D为空间参数式绘图函数为空间参数式绘图函数 第一个表第一个表x(t)，y(t)，z(t)为空间曲线参数方程的右为空间曲线参数方程的右端函数端函数 第二个表第二个表t, t1, t2为曲线的参数为曲线的参数t及其下限及其下限t1, 上限上限t256/973.4 空间曲线的绘制法 参数形式空间曲线绘图函数的调用格式如下：参数形式空间曲线绘图函数的调用格式如下：ParametricPlot3Dx(t)，y(t)，z(t)，t，t1，t2，可选，可选项项 式中式中ParametricPlot3D为空间参数式绘图函数为空间参

46、数式绘图函数 第一个表第一个表x(t)，y(t)，z(t)为空间曲线参数方程的右为空间曲线参数方程的右端函数端函数 第二个表第二个表t, t1, t2为曲线的参数为曲线的参数t及其下限及其下限t1, 上限上限t257/973.4 空间曲线的绘制法 参数形式空间曲线绘图函数的调用格式如下：参数形式空间曲线绘图函数的调用格式如下：ParametricPlot3Dx(t)，y(t)，z(t)，t，t1，t2，可选，可选项项 式中式中ParametricPlot3D为空间参数式绘图函数为空间参数式绘图函数 第一个表第一个表x(t)，y(t)，z(t)为空间曲线参数方程的右为空间曲线参数方程的右端函数端

47、函数 第二个表第二个表t, t1, t2为曲线的参数为曲线的参数t及其下限及其下限t1, 上限上限t2 可选项的内容与含义同平面曲线的基本相似，不同可选项的内容与含义同平面曲线的基本相似，不同部分将在部分将在2.5.4节再作介绍。节再作介绍。58/97【例【例4-1】绘制柱面螺旋线】绘制柱面螺旋线x = 4cost, y = 4sint, z = 1.5t，在，在0t8 上的图形。上的图形。ParametricPlot3D4 Cost, 4 Sint, 1.5 t, t, 0, 8 Pi 式中的可选项没有出现，而是全部采用系统内部设式中的可选项没有出现，而是全部采用系统内部设定的默认值，运行后

48、可得输出结果如图所示。定的默认值，运行后可得输出结果如图所示。-4-2024-4-20240102030-4-202459/97【例【例4-2】绘制锥面螺旋线】绘制锥面螺旋线x = tcost，y = t sint，z = 1.5t，在，在0t8 上的图形。上的图形。ParametricPlot3Dt Cost, t Sint, 1.5 t, t, 0, 8 Pi 运行后可得输出结果如图运行后可得输出结果如图2-20右所示。右所示。-20-1001020-20-10010200102030-20-1001020-20-100102060/973.5 曲面的绘制法 曲面的表示通常采用显式曲面的表

49、示通常采用显式z = f(x，y)或参数式或参数式x = x(u，v)，y = y(u，v)，z = z(u，v)。 单值曲面一般用显式，多值曲面单值曲面一般用显式，多值曲面(含闭合曲面含闭合曲面)一般一般用参数式用参数式 隐式隐式F(x, y, z) = 0也常用来表示多值曲面，但也常用来表示多值曲面，但Mathematica系统中没有为我们提供有隐式曲面的画系统中没有为我们提供有隐式曲面的画图函数。图函数。61/973.5 曲面的绘制法3.5.1 显式显式3.5.2 参数式参数式3.5.3 数据形式数据形式3.5.4 空间图形的可选项空间图形的可选项3.5.5 空间图形的重现与组合空间图形

50、的重现与组合3.5.6 二曲面相交与空间图形在坐标面上的二曲面相交与空间图形在坐标面上的投影投影3.5.7 等高线及密度图等高线及密度图62/973.5.1 显式显式 显式曲面显式曲面z = f (x，y)绘图函数的调用格式如下：绘图函数的调用格式如下：Plot3Df(x，y)，x，x1，x2，y，y1，y2，可选项，可选项 式中式中Plot3D为空间显式绘图函数，为空间显式绘图函数， f(x, y)为显式曲面的表达式，为显式曲面的表达式， x与与y为自变量，为自变量，x1与与x2为为x的下限和上限，即有的下限和上限，即有x1xx2; y1与与y2为为y的下限和上限，即有的下限和上限，即有yl

51、yy2， 可选项的内容与含义同平面曲线的大致相似，不同可选项的内容与含义同平面曲线的大致相似，不同部分将在部分将在3.5.4节中再作介绍。节中再作介绍。63/97【例【例5-1】绘制函数】绘制函数z = x4 + y4 18(x2 + y2)在区域在区域-4x4，-4y4上的图形。上的图形。Plot3Dx4+y4 18 (x2 + y2), x, -4, 4, y, -4, 4 式中可选项没有出现，全部采用了系统内部的默认式中可选项没有出现，全部采用了系统内部的默认值，运行后可得输出结果如图所示。值，运行后可得输出结果如图所示。 -4-2024-4-2024-150-100-500-4-202

52、4 64/97【例【例5-2】绘制函数】绘制函数 在区域在区域-2x2，-2y2上的图形。上的图形。Plot3DExp-x2-y2, x, -2, 2, y, -2, 2运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。-2-1012-2-101200.250.50.751-2-1012 )(22yxez 65/973.5.2 参数式参数式 参数曲面参数曲面x = x(u，v)，y = y(u，v)，z = z(u，v)绘图绘图函数的调用格式如下：函数的调用格式如下：ParametricPlot3Dx(u，v)，y(u，v)，z(u，v)，u，u1，u2，v，v1，v2，可选项，可选项

53、式中式中ParametricPlot3D为空间参数式绘图函数，为空间参数式绘图函数， x(u，v), y(u，v), z(u，v)为参数式曲面的表达式，为参数式曲面的表达式， u与与v为参变量，变量为参变量，变量u的下限为的下限为u1，上限为，上限为u2，即，即有有u1uu2， 变量变量v的下限为的下限为v1，上限为，上限为v2，即有，即有v1vv2，66/973.5.2 参数式参数式ParametricPlot3Dx(u，v)，y(u，v)，z(u，v)，u，u1，u2，v，v1，v2，可选项，可选项 式中式中ParametricPlot3D为空间参数式绘图函数，为空间参数式绘图函数， x(

54、u，v), y(u，v), z(u，v)为参数式曲面的表达式，为参数式曲面的表达式， u与与v为参变量，变量为参变量，变量u的下限为的下限为u1，上限为，上限为u2，即，即有有u1uu2， 变量变量v的下限为的下限为v1，上限为，上限为v2，即有，即有v1vv2， 可选项的内容与含义同平面曲线的基本相似，不同可选项的内容与含义同平面曲线的基本相似，不同部分将在部分将在3.5.4节中再作介绍。节中再作介绍。67/97【例【例5-3】绘制螺旋面】绘制螺旋面x=ucosv, y=usinv，z= au+bv，在范围在范围-3u3，0v2 上的图形，可取上的图形，可取a=0, b=1。a = 0; b

55、 = 1;xu_, v_ := u Cosv;yu_, v_ := u Sinv;zu_, v_ := a u + b v;ParametricPlot3Dxu, v, yu, v, zu, v, u, -3, 3, v, 0, 2 Pi运行后可得图所示。运行后可得图所示。当当a = 0时，称为正螺面，当时，称为正螺面，当a 0时，称为斜螺面。时，称为斜螺面。-202-2020246-202-20268/97 作为练习，读者不妨在上面式子中将作为练习，读者不妨在上面式子中将a = 0换为换为a = 1.2，看看斜螺面的样子，看看斜螺面的样子， 式中应用了自定义函数符号式中应用了自定义函数符号x

56、u_, v_，yu_, v_，zu_, v_，有关情况请参看第，有关情况请参看第8章中章中8.1.2节的内容。节的内容。69/97【例【例5-4】绘制螺管面】绘制螺管面x=(R+rcosu)cosv, y=(R+rcosu)sinv, z=rsinu+bv，在，在范围范围0u2 ，0v3 上的图形。上的图形。 式中式中R为大圆半径，为大圆半径，r为小圆半径，为小圆半径，b为小圆沿为小圆沿z轴移轴移动的速度。不妨取动的速度。不妨取R = 8，r = 3，b = 3。R = 8; r = 3; b = 3;x = (R + r Cosu) Cosv;y = (R + r Cosu) Sinv;z

57、= r Sinu + b v;ParametricPlot3Dx, y, z, u, 0, 2 Pi, v, 0, 3 Pi运行后可得图所示。运行后可得图所示。如果令如果令b = 0则可得到圆环面，读者不妨一试。则可得到圆环面，读者不妨一试。-10-50510-10-505100102030-10-5051070/97【例【例5-5】绘制高维莫比乌斯曲面：】绘制高维莫比乌斯曲面：在范围在范围0u2 ，0t2 上的图形。上的图形。x = (3 + Cost/2 Sinu Sint/2 Sin2 u) Cost;y = (3 + Cost/2 Sinu Sint/2 Sin2 u) Sint;z

58、= Sint/2 Sinu + Cost/2 Sin2 u;ParametricPlot3Dx, y, z, u, 0, 2 Pi, t, 0, 2 Pi, Boxed-False, Axes-False, PlotPoints-30运行后可得图所示。运行后可得图所示。 ututztututytututx2sin)2/cos(sin)2/sin(sin)2sin)2/sin(sin)2/cos(3(cos)2sin)2/sin(sin)2/cos(3(71/97 在上面例子的可选项中选用了在上面例子的可选项中选用了3项，是为了去掉方项，是为了去掉方框，去掉坐标轴，加密了连线中的点数，让图形更加

59、框，去掉坐标轴，加密了连线中的点数，让图形更加美观一些美观一些 关于曲面的可选项，可参看本章关于曲面的可选项，可参看本章3.5.4节的内容。节的内容。 通过上面的例子，读者不难看到，利用参数方程可通过上面的例子，读者不难看到，利用参数方程可以表达许多十分复杂的曲面，而绘图函数又具有十分以表达许多十分复杂的曲面，而绘图函数又具有十分强大的参数绘图功能，这给我们绘制曲面图形提供了强大的参数绘图功能，这给我们绘制曲面图形提供了极大的方便。极大的方便。72/973.5.3 数据形式数据形式 如果已知某矩形区域如果已知某矩形区域x1xx2，y1yy2，网格点，网格点(i，j)上曲面的高度值上曲面的高度值

60、zij，则可以利用，则可以利用ListPlot3D函数绘制函数绘制出此数据曲面的图形。出此数据曲面的图形。【例【例5-6】已知】已知4 5个个zij值值0, 1, 4, 9, 16，1, 2, 5, 10, 17，2, 3, 6, 11, 18，3, 4, 7, 12, 19，试绘制该曲，试绘制该曲面的图形。面的图形。Ta = 0, 1, 4, 9, 16, 1, 2, 5, 10, 17, 2, 3, 6, 11, 18, 3, 4, 7, 12, 19;ListPlot3DTa运行后可得输出结果如图所示。运行后可得输出结果如图所示。1234512340510151234573/97 其中数