力学竞赛知识点(理论力学)

1、理论力学力学竞赛知识点介绍.1理论力学力学竞赛知识点介绍.2主要内容主要内容l 静力学l 运动学l 动力学l 专题理论力学力学竞赛知识点介绍.3静力学部分静力学部分l 力、力矩、力系l 力偶、力偶矩、力偶系l 主矢、主矩、力系简化l 约束与约束力l 力系平衡l 考虑摩擦的平衡问题理论力学力学竞赛知识点介绍.4考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题理论力学力学竞赛知识点介绍.5(a)(b)定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩擦力

2、。擦力。 滑动摩擦滑动摩擦1. 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力 如图如图(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为所示，在粗糙的水平面上放置一重为P的物的物体，当水平方向无拉力时，显然有体，当水平方向无拉力时，显然有P=FN。现在该物体。现在该物体上作用一大小可变化的水平拉力上作用一大小可变化的水平拉力F，如图，如图(b)所示，当拉所示，当拉力力F由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。理论力学力学竞赛知识点介绍.6(a)(b)由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外

3、还外还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静，因此静摩擦力也是约束力，随着摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不的增大而增大。然而，它并不能随能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为，称为最大静摩擦力，此时物体最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力处于平衡的临界状态。当主动力F大于大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即时，物体将失去平衡而滑动。即maxs0FF理论力学力学

4、竞赛知识点介绍.7实验表明实验表明NsmaxFfF上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。式中式中 fs 称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验来确定。来确定。2. 动滑动摩擦力动滑动摩擦力 当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以以Fd 表示，大小可用下式计算。表示，大小可用下式计算。NddFfF 式中式中 fd 是

5、动摩擦因数，通常情况下，是动摩擦因数，通常情况下， sdff 理论力学力学竞赛知识点介绍.8摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象1. 摩擦角摩擦角 当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和和切向约束力切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力，这两个力的合力称为全约束力FR。SNRFFF它的作用线与接触处的它的作用线与接触处的公法线成一偏角公法线成一偏角j j , ,如图如图所示，当静摩擦力达最所示，当静摩擦力达最大时，大时， j j 也达到最大值也达到最大值j jf ,称称j jf 为摩擦角。为摩擦角。sNmaxftanfFFj理论力学力学竞

6、赛知识点介绍.92. 自锁现象自锁现象 由于全约束力的作用线与接触处公法线的夹角由于全约束力的作用线与接触处公法线的夹角j j不能大不能大于摩擦角，即变化范围为于摩擦角，即变化范围为0 j j j jf ，因此可得：，因此可得： 如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公法线的夹角法线的夹角q q j jf，则无论这个力多么大，物体必保持静，则无论这个力多么大，物体必保持静止，这种现象称为自锁现象。止，这种现象称为自锁现象。 利用摩擦角的概念，利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法测可用简单的试验方法测定摩擦因数。定摩擦因数。 反之如果反之如果q q

7、 j jf ，则则无论这个力多么小，物无论这个力多么小，物体必不能保持平衡。体必不能保持平衡。理论力学力学竞赛知识点介绍.10摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q q , ,即即qjtantanfsf下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。理论力学力学竞赛知识点介绍.11考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题 考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与普通静力学问题基考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与普通静力学问题基本一样。但需指出的是，在受力分析和本一样。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程时要将摩列平衡方程时要将摩擦力

8、考虑在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程擦力考虑在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程 0 Fs fs FN，因此，因此有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为了避免解不等式，往往先考虑了避免解不等式，往往先考虑临界状态（临界状态（ Fs = fs FN），求得），求得结果后再讨论解的平衡范围。应该结果后再讨论解的平衡范围。应该强调强调的是的是摩擦力的方向在摩擦力的方向在临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只只有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向 。

9、 求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解，求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解，下面举例说明下面举例说明理论力学力学竞赛知识点介绍.12, 0 xF0 coss FFq, 0yF0 sinNqFPF 取物块取物块A为研究对象，受为研究对象，受力分析如图。列平衡方程。力分析如图。列平衡方程。解解: :例题例题5-1q qAF F联立求解得联立求解得N 46. 330 cos4sFN 6 . 3 sinsNsmaxqFPfFfF最大静摩擦力最大静摩擦力N 46. 3sF所以作用在物体上的摩擦力为所以作用在物体上的摩擦力为maxsFF 因为因为 小物体小物体A重重P =10 N，放在粗

10、糙的水平固定面上，它，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数与固定面之间的静摩擦因数 fs=0.3。今在小物体。今在小物体A上施上施加加F=4 N的力，的力， q q =30，试求作用在物体上的摩擦力。，试求作用在物体上的摩擦力。yAxq qPF FFNFs理论力学力学竞赛知识点介绍.13(a) 构件构件A及及B用楔块用楔块C联结，如图联结，如图(a)所示，楔块自重不所示，楔块自重不计，计， 。已知楔块与构件间的摩擦系数。已知楔块与构件间的摩擦系数 fs= 0.1, 求能求能自锁的倾斜角自锁的倾斜角q q 。解解：(1) 解析法解析法 研究楔块研究楔块C，受力如，受力如图图(b)，

11、考虑临界平衡，考虑临界平衡0sincos , 0N2s1N1FFFqqxF例题例题5-20cossin , 0s2s1N1FFFqqyF 再考虑补充方程再考虑补充方程 ,N2ss2N1ss1FfFFfF联立解之得联立解之得11.42 ,2tan12tanf2ssqjqff(b)21FF 理论力学力学竞赛知识点介绍.14(c)fff2 ,jqjjq(2) 几何法几何法 仍考虑临界平衡状态仍考虑临界平衡状态,在此情况在此情况下下,楔块楔块C 两端所受的全约束力必大两端所受的全约束力必大小相等小相等,方向相反且作用线在一条直方向相反且作用线在一条直线上线上;与作用点处的法线的夹角均等与作用点处的法线

12、的夹角均等于摩擦角于摩擦角j jf 如图如图(c) 所示。所示。由几何关系不难得由几何关系不难得 42.11271. 51 . 0tg ,1 . 0 tgf1fsfjqjjf以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得时能自锁当 42.1120 fjq例题例题5-2理论力学力学竞赛知识点介绍.15例题例题5-3FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx, 0 xF0NNBAFF, 0yF0FFFBA平衡方程为平衡方程为, 0)(FOM0)(2NxFFFdhFBAA取支架为研究对象取支架为研究对象, ,受力分析如图。受力分析如图。（1）解析法解

13、析法解解: :一活动支架套在固定圆柱的外表面，且一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h = = 20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数数 fs = = 0.25。问作用于支架的主动力。问作用于支架的主动力F 的的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。不致下滑（支架自重不计）。理论力学力学竞赛知识点介绍.16联立求解联立求解得得,2NNFFFBAcm 40 xBBAAFfFFfFNsNs , 补充方程补充方程例题例题5-321hhhff tan)2( tan)2(jjdxdx解得解得cm 40 tan2f

14、jhx（2 2）几何法）几何法 由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。支架受力分析如图所示。支架受力分析如图所示。由几何关系得由几何关系得理论力学力学竞赛知识点介绍.17hCabFP 宽宽a，高，高b的矩形柜放的矩形柜放置在水平面上，柜重置在水平面上，柜重P，重，重心心C 在其几何中心，柜与在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是地面间的静摩擦因数是 fs，

15、在柜的侧面施加水平向右在柜的侧面施加水平向右的力的力F，求柜发生运动时，求柜发生运动时所需推力所需推力F 的最小值。的最小值。例题例题5-4理论力学力学竞赛知识点介绍.18yABCxFPFBFAFNBFNA1 . .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。解解: :取矩形柜为研究对象取矩形柜为研究对象, ,受力分析如图。受力分析如图。联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力s1minPfFFBBAAFfFFfFNsNs , 补充方程补充方程0BAFFF0NNPFFBA, 0 xF, 0yF列平衡方程列平衡方程例题例题5-4理论力学

16、力学竞赛知识点介绍.192. .假设矩形柜不滑动但将绕假设矩形柜不滑动但将绕 B B 翻倒。翻倒。柜绕柜绕 B 翻倒条件：翻倒条件： FNA=0bPaFF2 min2使柜翻倒的最小推力为使柜翻倒的最小推力为, 0BM02NaFFhaPA列平衡方程列平衡方程ABCxFPFBFAFNBFNA解得解得hPaF2 例题例题5-4综上所述使柜发生运动所需的最小推力为综上所述使柜发生运动所需的最小推力为),min(2min1minFF理论力学力学竞赛知识点介绍.20 长为长为l的梯子的梯子AB一端靠在墙壁上，一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是

17、完全光滑的，梯梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦子与地板之间有摩擦，其静摩擦因因数数为为fs。梯子的重量略去不计。今有一。梯子的重量略去不计。今有一重为重为P的人沿梯子向上爬，如果保证的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角与墙壁的夹角q q 。 q qlaABP例题例题5-5理论力学力学竞赛知识点介绍.21 以梯子以梯子AB为研究对象，人的位置用距离为研究对象，人的位置用距离 a 表示，梯子的受力如图。表示，梯子的受力如图。解：解：使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程

18、：, 0 xF0sNFFB, 0yF0N PFA , 0FAM0 cos sinNqqlFPaByq qlaABxFsFNAPFNBAFfFNss 同时满足物理条件同时满足物理条件s tanflaq例题例题5-5联立解之得联立解之得因因 0al， 当当 a = l 时，上式左边达到最大值。时，上式左边达到最大值。所以所以fstan tanjq f或或f jq即为所求即为所求理论力学力学竞赛知识点介绍.22 重为重为P =100 N的匀质滚轮的匀质滚轮夹在无重杆夹在无重杆AB和水平面之间，和水平面之间，在杆端在杆端B作用一垂直于作用一垂直于AB的力的力FB ，其大小为，其大小为FB = 50 N

19、。A为为光滑铰链，轮与杆间的摩擦光滑铰链，轮与杆间的摩擦因因数为数为 fs1=0.4。轮半径为。轮半径为r，杆长，杆长为为 l，当，当 q q = 60 时，时，AC = CB = 0.5l ，如图所示。如要维持系，如图所示。如要维持系统平衡，（统平衡，（1） 若若D处静摩擦处静摩擦因因数数 fs2 = 0.3，求此时作用于轮心，求此时作用于轮心O处水平推力处水平推力 F 的最小值的最小值;（2）若若fs2=0.15 ,此时此时F 的最小值又为的最小值又为多少？多少？ABCDOrq qPFFB例题例题5-6理论力学力学竞赛知识点介绍.23解：解： 此题在此题在C，D两处都有摩擦，两个摩两处都有

20、摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。即处于临界状态。假设假设C处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。例题例题5-6ABCFAxFAyFCFNCFBq q1. .以杆以杆AB为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。N 40,N 100NCCFF解得解得 02, 0NlFlFMBCAF列平衡方程列平衡方程 N1smaxCCCFfFF补充方程补充方程理论力学力学竞赛知识点介绍.24例题例题5-62.以轮为研究对象，列平衡方程。以轮为研究对象，列平衡方程。 0 , 0 060

21、sin60 cos , 0 060 cos60 sin , 0NNNrFrFMFFPFFFFFFFDCODCCyDCCxFDOCFNDFDPFCFCFNq qN 39.55N2smaxDDFfF当当 fs2= 0.3时，时，D处最大摩擦力为处最大摩擦力为 ,maxDDFF 由于由于故故D处无滑动处无滑动所以维持系统平衡的最小水平推力为所以维持系统平衡的最小水平推力为F =26.6 N。代入上面各式解得代入上面各式解得 F =26.6 N，FND=184.6 NN 40 ,N 100NNCCCCFFFF将将N 40DF理论力学力学竞赛知识点介绍.25解方程得解方程得DDCFfFFN2sN 86.

22、2560 sin160 cos2sN2sfGFfFFCCD最小水平推力为最小水平推力为N 81.4760 cos160 sinNDCFFFDDDFfFFN2smax受力图不变，补充方程应改为受力图不变，补充方程应改为N 40N1smaxCCFfF此时此时C处最大摩擦力为处最大摩擦力为因此当因此当 fs2= 0.15 时，维持系统平衡的最小水平推力改为时，维持系统平衡的最小水平推力改为N 81.47F所以所以C处无滑动。处无滑动。, maxCCFF由于由于 说明前面假定不成立，说明前面假定不成立，D处应先达到临界状态。处应先达到临界状态。maxDDFF3. 当当 fs2= 0.15时时,N 7

23、.27Ns2maxDDFfF例题例题5-6理论力学力学竞赛知识点介绍.26 由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的力学模型来分析就存在问题。即无论水平力力学模型来分析就存在问题。即无论水平力F F 多么小，此物体均多么小，此物体均不能平衡，因对点不能平衡，因对点A A的矩的平衡方程不满足，即的矩的平衡方程不满足，即 0)(FAM5-4 5-4 滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念 出现这种现象的原因是，实际接触面出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，有一个接触面

24、，如图所示。一些变形，有一个接触面，如图所示。这是与实际情况不符的，说明此这是与实际情况不符的，说明此力学模型有缺陷，需要修正。力学模型有缺陷，需要修正。理论力学力学竞赛知识点介绍.27此力系向此力系向A点简化点简化 与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩Mf 随主动力随主动力 F的增的增大而增大；但有一个最大值大而增大；但有一个最大值 Mmax ,即即或或maxf0MM NmaxFM且最大滑动摩阻力偶矩且最大滑动摩阻力偶矩上式即是滚动摩阻定律，上式即是滚动摩阻定律， 称为滚动摩阻系数，具有长度称为滚动摩阻系数，具有长度的量纲的量纲 ，单位一般用，单位一般用mm。

25、与滚子和支承面的材料的硬度。与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关。与滚子的半径无关。和湿度等有关。与滚子的半径无关。理论力学力学竞赛知识点介绍.28滚阻系数的物理意义如下滚阻系数的物理意义如下由力的平移定理由力的平移定理 ,NNNmaxFF FMd与与Nmax FM比较得比较得d 一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。理论力学力学竞赛知识点介绍.29取轮子为研究对象取轮子为研究对象, ,受力分析如图。由平衡方程受力分析如图。由平衡方程解解:

26、 :例题例题5-7匀质轮子的重量匀质轮子的重量P = 3 kN，半径，半径 r = 0.3 m；今在轮；今在轮中心施加平行于斜面的拉力中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面，使轮子沿与水平面成成q q = =30的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数面的滚阻系数= 0.05 cm，试求力，试求力FH的大小。的大小。, 0yF0 cosNqPF, 0AM0sinHmaxrFrPMq联立求解联立求解qq cos sinHrPFkN 504 1HFNmax FM补充方程补充方程q qFHArOq qFHAOq qMmaxPFsFNyx理论力学力学

27、竞赛知识点介绍.30 如图所示，总重为如图所示，总重为P的拖车在牵引力的拖车在牵引力F作用下要作用下要爬上倾角为爬上倾角为 的斜坡。设车轮半径为的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面，轮胎与路面的滚动摩阻系数为的滚动摩阻系数为，其它尺寸如图所示。求拖车所，其它尺寸如图所示。求拖车所需的牵引力。需的牵引力。 例题例题5-8aCxybh2h1FPAO理论力学力学竞赛知识点介绍.31 拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的滚动摩阻力偶的力偶矩滚

28、动摩阻力偶的力偶矩 M1, max 和和 M2 max 都达到最大值。都达到最大值。解：解：, 0)(FAM0)( sin cosmax2max111N2MMFhbaFPhbPqq, 0 xF0 sin21qPFFF, 0yF0 cos2N1NqPFF由平衡方程由平衡方程首先取整个拖车为研究对象，首先取整个拖车为研究对象， 受力分析如图。受力分析如图。例题例题5-8aCxybh2h1FPAF2F1FN2FN1M1maxOM2,max理论力学力学竞赛知识点介绍.32再取前轮为研究对象，受力分析如图。再取前轮为研究对象，受力分析如图。同样由后轮得同样由后轮得02max2rFM2Nmax21Nmax

29、1 ,FMFM轮子滚动临界时的补充方程轮子滚动临界时的补充方程kN 6 .10 cos sinqqrPF解方程可得解方程可得, 0)(FMO01max1rFM列平衡方程列平衡方程FN1FxFyF1M1maxOyx例题例题5-8理论力学力学竞赛知识点介绍.33运动学部分运动学部分l 矢量法、直角坐标法、自然坐标法（轨迹、速度、加速度）l 平动、定轴转动（各点速度与加速度）l 点的复合运动（速度与加速度）l 刚体平面运动 （瞬心、各点速度与加速度）理论力学力学竞赛知识点介绍.34动力学部分动力学部分l 质点运动微分方程l 转动惯量、惯量积、惯性主轴l 动量、动量矩、动能、冲量、功、势能l 动力学普

30、遍定理的综合应用l 平面运动刚体动力学方程及其应用l 惯性力及惯性力系简化、动静法、静平衡与动平衡的概念理论力学力学竞赛知识点介绍.35专题部分专题部分l 机械振动（单自由度振动的周期、频率、振幅、临界转速和隔振的概念）l 第二类拉格朗日方程（广义力的概念与计算，第二类拉格朗日方程的应用）理论力学力学竞赛知识点介绍.36专题部分专题部分l 质点系虚位移原理应用（虚位移、虚功、自由度、广义坐标）l 碰撞问题（碰撞问题特征及其简化条件，恢复因数、对心碰撞及定轴转动刚体和平面运动刚体的碰撞问题）理论力学力学竞赛知识点介绍.37机械振动基础机械振动基础理论力学力学竞赛知识点介绍.38 振动是日常生活和

31、工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利利：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。3. 研究振动的目的研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 2. 振动的利弊振动的利弊：1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。理论力学力学竞赛知识点介绍.39 4. 振动的分类振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动

32、弹性体的振动 按振动产生的原因分类按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。理论力学力学竞赛知识点介绍.40 单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 一、自由振动的概念一、自由振动的概念：理论力学力学竞赛知识点介绍.41 理论力学力学竞赛知识点介绍.42 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 )/( 0 , )/( 0 , )/

33、( 0 , 2222222JmgamgaJlgmglmlmkxxkxxmnnnnnnjjjjjjjj 质量质量弹簧系统：弹簧系统： 单摆：单摆： 复摆：复摆：理论力学力学竞赛知识点介绍.43二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：0eeqkqm ke, me是与系统的物理参数有关的常数。令ee2n/mk则自由振动的微分方程的标准形式：则自由振动的微分方程的标准形式：02nqq 解解为：)sin(nqtAq理论力学力学竞赛知识点介绍.44 00n2

34、n2020arctg , qqqqAq设 t = 0 时， 则可求得：00 , qqqq 或：tCtCqn2n1sincosC1，C2由初始条件决定为n02 01/ ,q CqCtqtqqnn0n0sincos 理论力学力学竞赛知识点介绍.45 三、自由振动的特点三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + q相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 q初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。 n2

35、Tn理论力学力学竞赛知识点介绍.46 无阻尼自由振动的特点是无阻尼自由振动的特点是： (2) 振幅A和初相位q 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1) 振动规律为简谐振动；四、其它四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。 理论力学力学竞赛知识点介绍.47 2. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度21eq21stst21212211st , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkF并联2121eq21eqst21212stst1st )11()11( kkkkkkkmgkmgkkmg

36、kmgkmg串联并联串联理论力学力学竞赛知识点介绍.481. 由系统的振动微分方程的标准形式由系统的振动微分方程的标准形式2. 能量法能量法： 19-2 求系统固有频率的方法求系统固有频率的方法02nqq n由Tmax=Vmax , 求出理论力学力学竞赛知识点介绍.49 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAAkV)(212st2stmax2maxst21 kAVmgk222max2121nmAxmT如：理论力学力学

37、竞赛知识点介绍.50 mkkAmAVTn22n2maxmax 2121 由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。 例例2 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为m1，重物质量 m2 ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。理论力学力学竞赛知识点介绍.51解解1：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点）RkgRmm2)(st21gkmm221st则任意位置x 时：kxgmmxkFst2

38、2)2(21静平衡时：理论力学力学竞赛知识点介绍.52 应用动量矩定理：kxRRFgRmmMxRmmRxRmRxmRxmLAA42)()()23( 2121212112F由 ， 有)(ddFAAMtLkxRxRmm4)23(21 振动微分方程：固有频率：21212380238mmkxmmkxn A理论力学力学竞赛知识点介绍.53 解解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）2212222121)23(21 21)(22121xmmxmRxRmxmT 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2xgxmmxkkxgxmmxkV)(22 )()2(221st2

39、212st2st因平衡时gxmmxkt)(221s22kxV 理论力学力学竞赛知识点介绍.54 由 T+V= 有：constconst2)23(212221kxxmm04)23(21kxxmm 21n212380238mmkxmmkx 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得x 理论力学力学竞赛知识点介绍.55 如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳，轮连一铅直弹簧，轮挂一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度为k。重物质量为m，求此系统的固有频率。例例3 xRxxr理论力学力学竞赛知识点介绍.56理论力学力学竞赛知识点介绍.57解：解：22)(21221rxJ

40、xmT 系统平衡处弹簧虽有拉长，但如前所述，从平衡位置起计算弹性变形，可以不再计入重力。由几何关系，当重物位于x处，弹簧由平衡位置计算的变形量也是x，则系统的势能为221kxV 以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。重物于任意坐标x处，速度为x的导数，两塔轮的角速度皆为 。系统动能为rx xRxxr理论力学力学竞赛知识点介绍.58不计摩擦，系统的机械能守恒，有常数22222121kxxrJxmVT两端对时间取一阶导数，得0)2(2kxxrJm 上式为自由振动微分方程，系统固有频率为Jmrkr2220 xRxxr理论力学力学竞赛知识点介绍.59 如图所示表示以质量为m，半径是r的圆柱体，在一

41、半径是R的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近做微小振动的固有频率。例例4 理论力学力学竞赛知识点介绍.60解：解：用能量法求解这个问题。q)(1rRvO 设在振动过程中，圆柱体中心与圆槽中心的连线OO1与铅直线OA的夹角为q。圆柱体中心O1的线速度为由运动学知，当圆柱体做纯滚动时，其角速度为rrRq)(22222121)()2(21)(212121rrRmrrRmJmvTOOqq因此系统的动能为理论力学力学竞赛知识点介绍.61整理后得22)(43qrRmT 系统的势能即重力势能，圆柱在最低处平衡，取该处圆心位置C为零势能点，则系统的势能为2 sin)(2) cos1)(2qqrRm

42、grRmgV22 sinqq当圆柱体作微振动时，可认为因此势能可改写成2)(21qrRmgV理论力学力学竞赛知识点介绍.62设系统做自由振动时q的变化规律为)( sin0qtA则系统的最大动能2202max)(43ArRmT2max)(21ArRmgV由机械能守恒定律，有Tmax=Vmax，解得系统的固有频率为)( 320rRg系统的最大势能理论力学力学竞赛知识点介绍.63 例例5 鼓轮：质量m1，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m2, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21 , kk 解解：取静平衡位置O为坐标原

43、点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：理论力学力学竞赛知识点介绍.64 ) )()( ( )(21 )(21212st2max21max22st2stmax21maxRkkrRgmxkkxRrRgmxkkV2max2222122max22max212max1max 21 )(21 )(21)(21xr)(Rm)R(mRxRrRmRxmxmT系统的最大势能为：系统的最大动能为：理论力学力学竞赛知识点介绍.65 设 则有)sin(nq Axnmaxmax , AxAx )(21 2)()(221max22n222221maxAkkVARrRmRmT根据Tmax=Vmax , 解得22

44、221221n)()()(rRmRmRkk理论力学力学竞赛知识点介绍.66 19-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vFc投影式：xcFc c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。理论力学力学竞赛知识点介绍.67 二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量弹簧系统存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 2n2nxxnx mcnmk 则令有阻尼自由振动微分

45、方程的标准形式。理论力学力学竞赛知识点介绍.68 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcn2 )(n)sin(dqtAexnt22ndn有阻尼自由振动的圆频率则时设 , , , 0 00 xxxxt0022n0122n20020tan ; )(nxxnxnnxxxAq理论力学力学竞赛知识点介绍.69 衰减振动的特点：(1) 振动周期变大，振动周期变大， 频率减小频率减小。mkcnnT212 22n2n22ndd阻尼比有阻尼自由振动：当 时，可以认为nn1TT dnd 2nd2d2d111ffTT理论力学力学竞赛知识点介绍.70 (2) 振幅按几何级数衰减振幅按几何级数衰减 对

46、数减缩率212lnln2d1dnTeAAnTii2、临界阻尼情形、临界阻尼情形 临界阻尼系数) 1 , (nnmkc2c)(000tnxxxexnt) , , 0(00 xxxxt 时dd)(1nTTtnntiieAeeAAAii相邻两次振幅之比理论力学力学竞赛知识点介绍.71 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。 )(2n22n221 tn tnnteCeCex代入初始条件) , , 0(00 xxxxt 时2n2002n222n202n2012)( ; 2)(nxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、过阻尼（大阻尼）情形、过阻尼（大阻尼）情

47、形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特性。理论力学力学竞赛知识点介绍.72 19-6 临界转速临界转速 减振与隔振的概念减振与隔振的概念 一、转子的临界转速一、转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。单圆盘转子单圆盘转子： 圆盘：质量m , 质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC= e ，盘和轴共同以匀角速度 转动。 当质心C位于O、A之间 OC= x- e2n2)(11emkexexx , ; , , nn时当时当 当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，圆盘接近于绕质心C

48、旋转，于是转动平稳。 为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。理论力学力学竞赛知识点介绍.75 二、减振与隔振的概念二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。 许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。 减振减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如， 利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。理论力学力学竞赛知识点介绍.76 隔振：隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性 装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。隔振

49、隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。 被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。理论力学力学竞赛知识点介绍.77碰撞问题碰撞问题理论力学力学竞赛知识点介绍.78 在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象碰撞碰撞，两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触、速度发生突然改变的力学现象称为碰撞。物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。碰撞是工程中常见而非常复杂的动力学问题，本章在一定的简化条件下，讨论两个物体间的碰撞过程中的一些基本规律。理论力学力学竞赛知识点介绍.79 17-1碰撞的分类碰撞的分类 碰撞问题的简化

50、碰撞问题的简化 碰撞：碰撞：运动或静止的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为碰撞。1.碰撞的分类碰撞的分类两物体碰撞时，按其相处位置划分，可分为对心碰撞、偏心碰撞与正碰撞、斜碰撞。碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力碰撞力（或称瞬间力）。若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称为对心对心碰撞碰撞，否则称为偏心碰撞偏心碰撞。理论力学力学竞赛知识点介绍.80理论力学力学竞赛知识点介绍.81两物体碰撞时，按其接触处有无摩擦，可分为光滑碰撞与光滑碰撞与非光滑碰撞非光滑碰撞。两物体相碰撞时，按物体碰撞后的恢复程度（或能量有无损失），可分为完全弹性碰撞、

51、弹性碰撞与完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞塑性碰撞。若碰撞时各自质心的速度均沿着公法线，称为正碰撞正碰撞，否则称为斜碰撞斜碰撞。按此分类还有对心正碰撞，偏心正碰对心正碰撞，偏心正碰撞撞。上图中左图所示即为对心正碰撞。理论力学力学竞赛知识点介绍.82 碰撞现象的特点是时间极短，一般为10-310-4s ， 速度改变为有限值，加速度变化巨大，碰撞力极大。 2.对碰撞问题的两点简化对碰撞问题的两点简化 设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间 t =1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块的力的平均值。 以榔头为研究对象，根据动量定理Ivv12mm

52、投影形式为sN 65. 7)65 . 1 (10gI碰撞力的变化如图，平均打击力为N7650/*tIF是榔头重的765倍。理论力学力学竞赛知识点介绍.83 可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。害的一面害的一面： “鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。利的一面利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，

53、而避免其危害。理论力学力学竞赛知识点介绍.842）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限值，物体在碰撞开始和碰撞结束的位置变化很小，因此在碰撞过程中，物体的位移忽略不计。根据碰撞的上述特点，在研究一般碰撞问题时，通常做下面两点简化：1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通力远远不能够与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计；理论力学力学竞赛知识点介绍.85 17-2 用于碰撞过程的基本定理用于碰撞过程的基本定理 由于碰撞力变化复杂，不宜直接用力或者运动微分方程来描述碰撞过程；又由于用力的功难以计算碰撞过程机械能的损失，因此也不宜用动能定理来描述碰撞过程中能量的变化。而对由

54、于碰撞冲量的作用使物体运动速度发生的变化可以用动量定理和动量矩定理的积分形式来研究。理论力学力学竞赛知识点介绍.861、用于碰撞过程的动量定理、用于碰撞过程的动量定理冲量定理。冲量定理。 设质点的质量为 m ， 碰撞开始时的速度v ， 结束瞬时的速度v, 则质点的动量定理为 IFvvttmm0d其中I 为碰撞冲量，普通力冲量忽略 不计。 设Ii(e) 为外碰撞冲量、 Ii(i) 为内碰撞冲量。对质点系中第 i个 受碰撞的质点，有 nimmiiiiii,2 , 1 ) i ()e(IIvv相加后，并考虑Ii(i)=0 ，得)e(iiiiimmIvv理论力学力学竞赛知识点介绍.87上式即为用于碰撞

55、过程的质点系动量定理，它不计普通力的冲量，也称冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。质点系的动量也可用总质量与质心速度的乘积计算。则)e(iCCmmIvv2、用于碰撞过程的动量矩定理、用于碰撞过程的动量矩定理冲量矩定理。冲量矩定理。由用于碰撞过程的动量定理nimmiiiiii,2 , 1 ) i ()e(IIvv对上式两边矢积矢径 ri 得nimmiiiiii,2 , 1 )()() i ()e(IIrvvrii上式也称为碰撞时的质心运动定理碰撞时的质心运动定理理论力学力学竞赛知识点介绍.88将n个方程求和 )()() i ()e(iiiiiimmI

56、Irvvrii即)()e(12iOOOIMLL上式中ri Ii(e)为冲量矩，其中不计普通力的冲量矩。该式是用于碰撞过程的动量矩定理，又称冲量矩定理：质点系在碰质点系在碰撞开始和结束时对点撞开始和结束时对点O的动量矩的变化，等于作用于质点系的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。的外碰撞冲量对同一点的主矩。理论力学力学竞赛知识点介绍.89 3、碰撞时的刚体平面运动方程、碰撞时的刚体平面运动方程质点系相对于质心的动量矩定理与对于固定点的动量矩定理具有相同的形式，如此推证相似，可以得到用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理)()e(12iCCCIMLL对平行于其对称面的平面

57、运动刚体，有 CCJL上式成为)()e(12iCCCJJIM )e(iCCmmIvv再结合以上称为刚体平面运动的碰撞方程。刚体平面运动的碰撞方程。理论力学力学竞赛知识点介绍.90 17-3 质点对固定面的碰撞质点对固定面的碰撞 恢复系数恢复系数设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上，如图所示。理论力学力学竞赛知识点介绍.91 第一阶段第一阶段：开始接触至变形达到最大。该阶段中，小球动能减小,变形增大。设碰撞冲量为I1 ，则应用冲量定理在y 轴投影式1)(0Imv 第二阶段第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 I2 ，则

58、：20Ivm12 IIvv该碰撞过程分为两个阶段：该碰撞过程分为两个阶段：理论力学力学竞赛知识点介绍.92 由于碰撞过程有能量损失（发光、发热、发声等），一般v 小于v ， 但牛顿发现，其比值对于材料确定的物体几乎不变。即 常数k 称为恢复因数，且恒取正值 。kIIvv12理论力学力学竞赛知识点介绍.93 恢复因数k一般需实验确定，用待测定恢复因数的材料做成小球和质量很大的平板，如图所示，测定小球下落高度h1和小球弹起高度h2 ，则2122 ghvghv12hhvv k则恢复因数为恢复因数表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物体变形恢复的程度，并且反映出碰撞过程中机械能损失的程度。理论力学力

59、学竞赛知识点介绍.94k=0 为极限情况，物体在碰撞结束后变形丝毫没有恢复，称为非弹性碰撞或塑性碰撞。 一般0k1。物体在弹性碰撞结束时，变形不能够完全恢复，动能有损失。k=1 为 理想情况，物体在碰撞结束后变形完全恢复，动能没有损失，称为完全弹性碰撞；如图斜碰撞，若不计摩擦，两物体只在法线方向发生碰撞，定义恢复因素为nnvv k理论力学力学竞赛知识点介绍.95 又 或ttvv q q tantannnvv vvk q qtantannn所以对实际材料有kq ，在不考虑摩擦的一般情况下，如碰撞前后两个物体都在运动，此时恢复因素定义为nrnrvv k式中 和 分别为碰撞前后两物体接触点沿接触面法

60、线方向的相对速度。nr vnrv 理论力学力学竞赛知识点介绍.96 17-4 碰撞问题举例碰撞问题举例1、正碰撞结束时两质心的速度、正碰撞结束时两质心的速度例如例如：两物体质量分别为m1和 m2，恢复因素为k，产生对心正碰撞，已知碰撞前分析碰撞结束时两质心的速度 和动能损失 。)( , 2121vv vv21 , vv分析：分析：以两物体组成的系统研究对象。由动量定理，得： 0)()(22112211vmvmvmvm碰撞前v1v2 碰撞后v2v1理论力学力学竞赛知识点介绍.97 2112vvvvk列出补充方程： 0)()(22112211vmvmvmvm)()1 ()()1 (21211222