两个随机变量的函数及其分布PPT学习教案

1、会计学1两个随机变量的函数及其分布两个随机变量的函数及其分布X与与Y 独立独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即即jiijppp连续连续型型)()(),(yfxfyxfYX对一切对一切 i , j 有有离散型离散型X与与Y 独立独立对任何对任何 x ,y 有有复 习第1页/共21页 在第二章中，我们讨论了一维在第二章中，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，现在我们随机变量的函数的分布，现在我们进一步讨论进一步讨论:当随机变量当随机变量 X, Y 的概率分布已知时，如何求出的概率分布已知时，如何求出它们的函数它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?其中其中 是连续函数是

2、连续函数.( , )zg x y第2页/共21页当( X ,Y )为离散型r.v.时, Z也是离散型的，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2, 1k一、两个离散型一、两个离散型r.v.的函数的概率分布的函数的概率分布例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXYX,的概率分布.第3页/共21页解： 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,

3、-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0第4页/共21页故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 05页/共21页解：依题意 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为于是于是,.2 , 1 , 0,!)(11iieiXPi,.2 , 1 , 0,!)(22jjejYPj

4、12, 12 的泊松分布的泊松分布.0()(,)kiP ZkP Xi Ykikiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21!)(2121kek), 2 , 1 , 0(k1212()()!keP Zkk0(,)kiP Xi Ykiq 设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且相互独立， 则 X + Y B ( n1+n2, p)第6页/共21页方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件 二、两个连续型二、两个连续型r.v.的函数的概率分布的函数的概率分布)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(

5、),(| ),(:zyxgyxDz其中问题 已知r.v.( X ,Y )的密度函数，g(x,y)为已知的连续函数.求 密度函数.),(YXgZ 第7页/共21页1. 和的分布和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则 zzx +y= z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(zdxxzxfzfZ),()(dyyyzfzfZ),()(或) 1 (z) 2 (z即第8页/共21页特别地，若X ,Y 相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzf

6、xfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作) 1 (z) 2 (z) 4 (z称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 zzx +y= z第9页/共21页解法一 从分布函数出发(必须掌握)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z(1)当z 0 时，0)(zFZ1yx1(2)当0 z 1 时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzz( )0Zfz 例3 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ

7、= X + Y ,求 f Z (z)第10页/共21页x+y = z(3)当1 z 2 时，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ 2)(z-11yx1zz) 1()( zzFZ1yx1x+y = z22(4)当2 z 时，1)(zFZ0)(zfZ0,02( ),012,12Zzzfzzzzz或综合上述可得第11页/共21页例3 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法二解法二（图形定限法）（图形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY显然X ,Y

8、 相互独立,且y1x1dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfY第12页/共21页dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10( )()ZYfzfzx dx0,02,zz或01,01,zdxz111,12,zdxzz-1 = xx210,02( ),012,12Zzzfzzzzz或第13页/共21页例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解： 由卷积公式 222212z xxe

9、edx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 第14页/共21页22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).第15页/共21页 正态随机变量的结论正态随机变量的结论q 若X ,Y 相互独立,),(),(222211NYNX则),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2q 若nXXX,21相互独立，则),(1211niiniiniiNX有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.第16页/共

10、21页2. 平方和的分布平方和的分布: Z = X 2+Y 2设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)，则)()(22zYXPzFZ, 0),(, 0, 022zdxdyyxfzzyx, 0,)sin,cos(, 0, 0020zrdrrrfdzz, 0,)sin,cos(21, 0, 0)(20zdzzfzzfZ第17页/共21页例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相互独立， Z = X 2+Y 2 , 则, 0,212121, 0, 0)(202sin2cos22zdeezzfzzZ, 0,21, 0, 0)(2zezzfzZ自由度为2的 2分布称为第18页/共21页已知(X ,Y )的联合d.f. 为f (x,y)，令Z = X / Y , 求 f Z (z).( )()ZFzP Zz3. 商的分布商的分布： Z = X / Y 00( , )( , )yzyzdyf x y dxdyf x