相似三角形模型讲解一线三等角问题

1、相似三角形模型分析第一部分一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜 A字型）（蝴蝶型）（平行）（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景一线三直角型:双垂型：A、相似三角形判定的变化模型第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD交 于点O, BE / CD交CA延长线于E.2求证：OCOA例2:已知：如图，DEB ABC.ABC中，点 E在中线 AD上,求证:(1)DB2 DE DA；(2) DCE例3:已知：如图，等腰 ABC中，AB = AC, AD

2、BC于D求证：BE2 EF EG .相关练习:1、如图,已知 AD为4ABC的角平分线,2、已知:交于一点DAC .CADFB FBC的延长线D于 E、F.CG / AB B EF为AD的垂直平分线.求证:AD是RtABC中/A的平分线，/ C=90° , EF是AD的垂直平分线交PDL AB 交边 AC求证：(1) AAMEENMD; (2)ND 2 =NC- NB 3、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CD!AB于 D, E 是 AC上一 点，CF± BE于 F。求证：EB- DF=AE- DB4 .在 ABC中，AB=AC高A® BEX于H,

3、EF BC ,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF娓AH勺中点。求证： GBM 905 .（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在 RtABC中，/ C=90° , BC=2, AC=4, P是斜边 AB上的一个动点,于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且/ EPH/ A.设A P两点的距离为x, 4 8£P勺面积为y.（1）求证：AE=2PE;（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当 BEP与ABCt目似时，求 BEP勺面积.双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60° , BD C

4、E分另是AG AB上的高E.D是BC上动点,/ EDF =60BP 6 ,求线段CQ的长;BC 8,点P、Q分别在射线长为5 (如下图)(2)正 方形 ABCD 的边线CB、DC上，点P、Q分别在直(点P不与点C、点B重合)，且保持 APQ 90 .当CQ 1时，求出线段BP的长.I知在梯形 ABCD中,ADvBC,且 AD = 5,A(1)如图满足/ BPCAD /AB= DC=2.8, P为AD上的=/ A.求证：(1) ABD ACEE (2) ADE ABQ (3)BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高， ABC和 BDE的面积分别是 27和3,

5、 DE=6 42,求：点B到直线AC的距离。共享型相似三角形1、 ABC是等边三角形，D、B C E在一条直线上，/DAE=I20 ,已知BD=1, CE=3，求等边三角形的边 长.2、已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC, / DAE =45°.求证：(1) ABEsacd；(2) BC2 2BE CD .一线三等角型相似三角形例1 :如图，等边 ABC中，边长为6, (1)求证： BDEA CFD(2)当 BD=1, FC=3 时，求 BE例 2： (1)在 ABC 中，AB AC 5点B重合)，且保持 APQ ABC.若点P在线段CB上(如图)，且若BP x, CQ y

6、,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;ABPA dpc求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点 P与点A、D不重合)，且满足/ BPE=/A, PE交直线BC于 点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP=x, CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE= 1时，写出AP的长.例4：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6, AD 3 .点M为边BC的中点，以 M为顶点作 EMF B ,射线ME交腰AB于点E ,射线MF交腰CD于点F ,联结EF .(1)求证： MEF BEM ;(2)若 BEM是以BM为腰

7、的等腰三角形，求 EF的长；(3)若EF CD ,求BE的长.相关练习：1、如图，在 ABC中，AB AC 8, BC 10, D是BC边上的一个动点，点 E在AC边上，且 ADE C .(1)求证： ABDA DCE;(3)当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在 ABC 中， AB=AC=6, BC=5, D 是 AB 上一点，BD=2, 1并作 DEF B ,射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEsECF;(2)当F是线段AC中点时，求线段(3)联结DF,如果 DEF与 DBE相似，求FC的长.3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, A

8、DvBC,且 BC =6, AB=DC=4, 点E是AB的中点.E >/BC1一动联赳DE ,BDCBE的长；A(2)如果BD x, AE y ,求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；A(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C /、重合) EPF = ZC, PF交直线CD于点F,同时交直线 AD于当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=x, DF = 于x的函数解析式，并写出函数的定义域；9一，当SDMF 9 Sbep时，求BP的长4A -D4、如图，已知边长哎3的等边/ABC V F在边BC上，C 为边向右侧作等/ EF/直线EG，FGg方线AC于点IBPC,且满足/d

9、/A点M求那”人/ y ,求 y 关/ /B ECF 1 ,点点射线BA上一飞，以线段EFM,N /BCBP=2 ,求证： BEPA CPD(备用图)(第25题(1)写出图中与 BEF相似的三角形;(2)证明其中一对三角形相似;(3)设BEx，MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围;(4)若AE1，试求GMN的面积.例1、已知矩形ABCD 中，CD=2,AD=3一线三直角型相似三角形，点P是AD上的一个动点，且和点交边AB于点E,设 PD x, AE y,求y关于x的函数关系式，并写出SA,D不例 2、在 ABC 中，C 90o,AC4,BC3,0是AB上的一点，且AOA

10、B一百2, 一 ，八,点P是AC上的一个5备用图动点，PQ 0P交线段BC于点Q,(不与点B,C 重合)，设 AP x, CQy ,试求y关于x的函数关系,并写出定义域。【练习1】在直角ABC 中，C 90o,AB 5, tan B3,点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF 4DE交射线AC于点F(1)、求AC和BC的长(2)、当EFBC时，求BE的长。(3)、连结EF,当 DEF和 ABC相似时，求BE的长。【练习2】在直角三角形ABC中，C90o, AB BC,D 是 AB 边上的一点，E是在AC边上的一个动点,(与A,C不重合)，DFDE,DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时,求证:DEDFt AD(2)、当DB(3)、当 ACBCDE的值DFc AD 16,设DB 2AEx,BFy,求y关于X的函数关系式，并写出定义域【练习4如图，在ABC 中，C903, D是BC边的中点，E为AB边上4的一个动点，作 DEF 90 , EF交射线BC于点(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与 BED相似，求 BED的面积.【