【0402数学课】31不等关系与不等式2

1、实数的大小顺序与运算性质：实数的大小顺序与运算性质：复复 习：习：利用比较实数的方法，利用比较实数的方法， 可以推出不等式的性质可以推出不等式的性质 . 0;0;0 babababababa在推证不等式的性质之前，我们先明确一下同向在推证不等式的性质之前，我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念不等式与异向不等式的概念. 同向不等式：同向不等式：两个不等号方向相同的不等式两个不等号方向相同的不等式 . 例如：例如：是同向不等式是同向不等式 .aaaa2531222 ，异向不等式：异向不等式：两个不等号方向相反的不等式两个不等号方向相反的不等式 .例如：例如：是异向不等式是异向不等式 . 52

2、322 aaaa，不等式的性质：不等式的性质：性质性质1ba ab （对称性）（对称性）性质性质2cbba 且且ca （传递性）（传递性）abbc 且且或或ac 性质性质3ba cbca （同加性）（同加性）性质性质40 cba且且bcac （乘法法则）（乘法法则）性质性质600 dcba且且bdac 性质性质70 bannba ），且，且（1 nNn性质性质80 bannba ），且，且（2 nNn0 cba且且bcac （乘方法则）（乘方法则）（开方法则）（开方法则）性质性质5dcba 且且dbca （同向可加性）（同向可加性）（同向可乘性）（同向可乘性）性质性质 1ba ab （对称性）

3、（对称性）证明：证明：ba )1(0 ba，得，得由正数的相反数是负数由正数的相反数是负数，0)( ba，即即0 abab ab )2(0 ab，得，得由负数的相反数是正数由负数的相反数是正数，0)( ab，即即0 baba ba 故故ab 性质性质 2cbba 且且ca （传递性）（传递性）abbc 且且或或ac 证明：证明：，cbba .00 cbba，数，得数，得由两个正数的和仍是正由两个正数的和仍是正，0)()( cbba，即即0 ca.ca abbc 且且.ac 根据性质根据性质1，性质，性质2还可以表示为：还可以表示为：性质性质 3ba cbca （同加性）（同加性）证明：证明：)

4、()(cbca ba ba 而而0 ba0)()( cbca即即cbca 想一想：想一想：ba ?cbca ，得，得根据性质根据性质1ba cbca (2) 由性质由性质3可以得出：可以得出：cba .bca 即说，不等式中任何一项改变符号后，即说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。可以把它从一边移到另一边。说明：说明： (1) 性质性质3反过来也反过来也成立；成立；性质性质40 cba且且bcac （乘法法则）（乘法法则）0 cba且且bcac 证明：证明：bcac .)(cba ，ba 0 ba号相乘得负，得号相乘得负，得根据同号相乘得正，异根据同号相乘得正，异，时时当

5、当0 c即即，0)( cba；bcac ，时时当当0 c即即，0)( cba.bcac 性质性质5：dcba 且且dbca 证明：证明：，ba )1(.cbca ，dc )2(.dbcb 得得、由由)2()1(dbca 说明：说明： 此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 .即说，两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式即说，两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。与原不等式同向。（同向可加性）（同向可加性）性质性质600 dcba且且bdac 证明：证明：0 cba且且)1(bcac 0 bdc且且)2(bdbc

6、得得、由由)2()1(bdac 说明：说明： 此推论可以推广到有限个两边都是正数的同向不等式两此推论可以推广到有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘边分别相乘 .即说，两个或更多个两边都是正数的同向即说，两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。性质性质70 bannba ）且且（1, nNn由此可得：由此可得：（乘方法则）（乘方法则）（同向可乘性）（同向可乘性）性质性质80 bannba ）且且（2, nNn证明：证明：，不不成成立立假假设设nnba nnba 即即时，时，当当nnba ，得，得和定理和定理由

7、推论由推论12；ba 时，时，当当nnba .ba 有有.0矛盾矛盾这些都同已知条件这些都同已知条件 bannba ），且，且（1 nNn（开方法则）（开方法则）不等式的性质：不等式的性质：性质性质1ba ab （对称性）（对称性）性质性质2cbba 且且ca （传递性）（传递性）abbc 且且或或ac 性质性质3ba cbca （同加性）（同加性）性质性质40 cba且且bcac （乘法法则）（乘法法则）性质性质600 dcba且且bdac 性质性质70 bannba ），且，且（1 nNn性质性质80 bannba ），且，且（2 nNn0 cba且且bcac （乘方法则）（乘方法则）（开

8、方法则）（开方法则）性质性质5dcba 且且dbca （同向可加性）（同向可加性）（同向可乘性）（同向可乘性）：证法证法2.00bcaccba 求证：求证：，已知已知，0 ba，两边同乘以正数两边同乘以正数ab1，得得ab11 .11ba 即即，又又0 c.bcac ：证法证法1 bcacababc)( ，由已知由已知00 cba，得得000 cabab0)( ababcbcac.bcac 例例1证明：证明： ba11abab ,0 abba，0 ab，0 abab，即即011 ba.11ba （倒数法则）（倒数法则）；那么那么，如果如果baabba11,0)2( 证明证明2：,0 abba，

9、,01 ab,11babaab ,11ab .11ba （依据性质（依据性质 4）（依据性质（依据性质 1）例例2 已知已知.,求证求证:bdacdcba ，求求证证：，已已知知003例例：证法证法10 cba，bcac 0 bdc，又又bdbc 由不等式的传递性，得由不等式的传递性，得.bdac bdac)()( ：证法证法2，0 dc，0 dc，又又0 badbca 即即.bdac 4例解：.36156012的取值范围的取值范围及及，求求，已知已知babababa 36156012 ba9627 ba15366012 ba4524 baba15603612 ba36601512 ba15603612 ba431 ba又解：解：，3151 baba，80 baba.40 a即即，又又1351 abba，62 abba.31 b即即，由由3140 ba，得得2261640 ba.18246 ba错解：错解：例例5. 已知已知，3151 baba.24的取值范围的取值范围求求ba 解：解：)()(24设bab