用高斯消元法求解线性代数方程组.(优选)

1、精品Word.用高斯消元法求解线性代数方程组-11154"13'-2823113-2104X、15J3-217儿19_1x*= 111（X*是方程组的精确解）1高斯消去法1.1基本思想及计算过程高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消 元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得 原方程组的解。为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。2xl + 3x2 + 4x3 = 6（I）< 3x1 +5x2 +2x3 = 5 （II）4X + 3x2 + 30x3 = 32 （I

2、II）把方程 乘（Y）后加到方程（id上去，把方程 乘（Y）后加到方程（ni）上22去，即可消去方程（H）、（III）中的X”得同解方程组2% + 3x2 + 4K3 = 6(I)0.5x2 - 4x3 = -4(n)一 3x2 + 22工3 = 20(III)将方程（ID乘（Q后加于方程（山），得同解方程组:2X + 3x2 + 4工3 = 6(I)0.5*2 - 4X3 = 4(n)-2x3 =-4(III)由回代公式（3.5）得不=2,应=8,制=-13©下而考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将历写成见,/=1, 2,.noaX + a2X2 + a3X3 + 4

3、工 =6.+(1-1)a2lX + a22X2 + a23X3 + + a2nXn = °2 .+1%内+勺2%2 + 3 = °如果“uhO,将第一个方程中m的系数化为1,得玉+“；工+端工=4'其中端）=J=l,.,n+ 1 (记4°'=与，i=l,2,j=l,2,+1)9 / 7从其它个方程中消打，使它变成如下形式。觊+ 4IX =引3(1-2)：此+。以=婕3其中* =4厂啊姆）i = 2,”，町由方程（1-1）至IJ（1-2）的过程中，元素起着重要的作用，特别地，把。”称为主元素。如果（1-2）中。义工0,则以公;）为主元素，又可以把方程

4、组（1-2）化为:x】+*X+ +“；工=。娼工+哈.(D 2. ”+1(1-3)v 一 Xt 一3+1z/2).斗一an3 X3 + 十 ann Xn -针对（1-3）继续消元，重复同样的手段，第k步所要加工的方程组是:X| +；、2 +4；马+x2 +a x3+丫 一 十 Un Xn - " J?*+ ' 2)Y _ ' °>+ - ”2.“+1V. +&Tr+ + /t)y = 骁-D Xk- + ak-l Xk +C" 4_ “+"T)丫冬4,鼠T=廉T) Clkk Xk + ann L - 怎.+l姨X +公3工=

5、姆嘉设4针、0,第步先使上述方程组中第k个方程中a的系数化为1：+联;+因+或:工=。然然后再从其它d)个方程中消XA，消元公式为:储1)4；' =j=J + l,-,/? + 1咪=诵尸喈/ = k + 1,， + 1，=k + L(1-4)按照上述步骤进行次后，将原方程组加工成下列形式：A1 +W*2 +。：枭3 T CllnXn =x2 + H 卜 a；?x" ="；二3 r+ 5T)K STaI十 UnnX”X- gXn- ".什1回代公式为：Y =W人“.+】z =4% -乞喈勺 攵="1,-7(1-5)综上所述，高斯消去法分为消元过程

6、与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角 形方程组，再经回代过程求解。由于计算时不涉及M i = 1, 2,所以在存贮时可将方程组AX = b,写成增广矩阵(A. b)存贮。下而，我们统计一下高斯消去法的工作量：在(1-4)第一个式子中，每执行一次需要九一(一6次除法，在(1-5)第二个式子中,每执行一次需要一(攵-幻次除法。因此在消元过程中，共需要寸5 -攵 +1) X 5 - k) + ( -攵 +1) A=l“1=Z(-攵 + 1)2 = - ( + 1)(2 + 1)女=16次乘作法。此外，回代过程共有£2次乘法。汇总在一起，高斯消去法的计算量为：/ 2 c_ ( + 3

7、 - 1) = + n 333次乘除法。1.2 基于VC的C语言程序#include<stdio.h>#define n 4/*n为方程组系数矩阵的阶数*/int Gauss(float ann,float bn)int i,j,k,flag=l;float t;for(i=0;i<n-l;i+)(if(aii=0)(flag=0;break;elsefor(j=i+l:j<n;j+)/* 消元过程*/(t=-aji/aii;bj=bj+t*bi;for(k=i;k<n;k+)ajk=ajk+t*aik；)rcturn(flag);)void zg_matric(

8、float ann,float bn)户输出增广矩阵*/int i j;for(i=0;i<n;i+)(for(j=0;j<n:j+)printf(n%10f',aiU);printfe%10f;bi);printf(HnM);)printf(Hn,r);)void main()static float ann= 11,1,5,4,28,2,3,3,-2,10,4,13-2,17;float bn= 13J1J5J9;float xn=0,0,0.0;zg_matric(a,b);flag=Gauss(a,b);/*无解*/zg_matric(a,b);if(flag=O)printf(HGauss method dose not run.");else产回带过程开始写xn-1 =bn-1 /an-1 n-1 ;for(i=n-2;i>=0;i)for(j=i+l