第一讲,数的发展

1、第一讲 数的发展一，自然数的产生1.1 数的起源恩格斯指出：“数学是以人的需要产生的。”数是原始人类根据生活的直接需要，在长期的实践中逐步形成的。在采集、狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树、之间存在着某种共通的东西，即它们的单位性。同样，人们会注意到其他特定的物群，例如成双的事物，相互间也可以构成一一对应。这种为一定物群所共有的抽象性质，就是数。数的概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用。当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导

2、致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的。最早可能是手指计数，一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，不超过10个元素集合就有办法表示。正如亚里士多德早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。因此，虽然在历史上手指计数即用5或10的计数实践比二或三的计数出现要晚，但五进制和十进制却几乎一律地取代了二进制、三进制等。1.2数的表示方法（1）结绳与书契当指头不敷运用时，就出现了结绳记数和刻痕记数。结绳记数成为人类早期表示记数的方法图1.1：台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲

3、“结绳而治”。 图1.2：日本琉球群岛的结绳“书契”，就是刻划。“书”是划痕，“契”是刻痕。例如，在青海，1974年至1978年出土一批带刻痕的骨片，是新石器时代末期用于记事、记数的实物。（2）文字记数新石器时代中晚期的遗址（西安半坡、山东城子崖等都出现了数字符号。例如，在西安半坡人的遗址（距今约50006000年）中，发现陶器上刻的符号中有数字符号：（五）、（六）、（七）、（八）、（十）、（二十）。商代的甲骨文 “金文”的十进制。个、十、百、千、万 五个十进制的数字（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误地给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符号表示法的基础上又创造了百、

4、千、万等数字名称。表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过程，一直到1522年所谓阿拉伯数码才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到20世纪才采用现代写法。（3），位值制记数法十进制的位值记数法，它不仅采用十进制，而且在不同位置上的数码，表示这个数码与10的某个幂次的乘积。即用位置来表示数。不完全的定位制“累加制”，它是同一单位用同一符号累加，达到较高单位时才换一个新符号。如罗马数字采用五进累加制，它用大写拉丁字母表示数的单位：I（1）,V（5）, X（10）, L（50）, C（100）, D（500）, M（1000）。在表示其它数时，大单位在左

5、，小单位在右，表示累加，如V(7); 若大单位在右、小单位在左，表示减法，如IV(4)。（4），干支记数法干支记数法是一种特有的60进制的记数方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥 图1.3： 甲骨文中的干支表拓片如图1.3，这些干支表尽管都有些残损

6、，但从排列上看，全是由上到下竖行排列，而且都是甲起头，10对一行，排列整齐，说明商代人已有了序数的概念。二，有理数的建立2.1 分数的产生人们有了自然数的概念之后，可以解决生产和生活中的一些问题，但由于人类实践的发展，认识的深化，就感到只有自然数是不够的。例如，人们在建筑房屋，制造工具和丈量土地等实践中遇到大量的测量问题。 而在测量中又往往出现事先规定的单位长度不能正好量完的情况。此时，只有自然数概念就显得不够用了，便产生了分数的概念。石器时代的人还用不到分数，但随着更先进的青铜文化的崛起，分数概念与分数记号也应运而生。埃及象形文字用一种特殊记号来表示单位分数即分子为1的分数：在整数上方简单地

7、画一个椭圆，就表示该整数的倒数。单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。埃及人将所有的真分数都表示为一些单位分数的和。为了使这种分解过程做起来更为容易，莱茵德纸草书在阿姆士的前言之后给出了一张形如（k为从5到101的奇数）的分数分解为单位分数之和的表。其中等价于加；被写成加；最后一项是将分解为、和之和。利用这张表，可以把例如这样一个分数表示成单位分数之和：埃及人为什么对单位分数情有独钟，原因尚不清楚。但无论如何，利用单位分数，分数的四则运算就可以进行，尽管做起来十分麻烦。我国古代数学名著九章算术中，不仅记载了分数概念。而且还系统地叙述了分数的算法。在世界数学历史上占有极其重要的地位

8、。图1.3：九章算术刻本2.2, “零”的产生“零”概念的产生，与采用十进位制记数法有着密切的关系。在使用记数法，当某一位上一个单位也没有时，由于不能用1，2，3， ，9等数字符号来表示，因而出现了“空位”，为表示这样的“空位”，古代人想了许多办法。印度人大约在六世纪时，曾用“”表示“空位”，到了九世纪将“ ”改为“0”。我国早在北宋之后，在用算筹计数时，就用“”来表示“空位”，以后又改用“0”。这样，“零”的概念便形成了。2.3，负数的引入负数概念的引入。自然数、分数和零统称为算术数。人们用它可以解决一些简单的实际问题，但是随着人们认识的发展，又发现有些实际问题仅用算术数是解决不了的。比如一

9、些相反的量，盈利与亏损，增加与减少，前进与后退等等。只有算术数是无法解决的。因此人们又引入了负数的概念。在中国传统数学中，较早形成负数和相关运算法则。大约在西汉时期就用赤筹表示正、用黑筹表示负。刘徽（约225-295）在九章算术注中明确指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”。西方数学家更多地是探究负数存在的合理性16、17世纪的法国数学家帕斯卡（16231662年）认为从0减去4是纯粹的胡说，帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数，他说如果(1)：1 = 1：(1)，那么较小数与较大数的比怎么等于较大数与较小数的比呢？ 古希腊数学家丢番图（Diophantus,约246-330）就曾

10、把方程的负数解说成是“荒唐的东西”而加以舍弃。十二世纪，印度数学家巴斯卡拉在解方程时求负根，但以“不合宜”为由不予承认。法国数学家韦达（F.Viete 1540-1603）也不取负根。英国著名代数学家德·摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁,其子29岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍？”他列方程56 + x = 2（29 + x），开解得x = 2。他称此解是荒唐的。当然，欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正确立。同时，在实践的推动下，负数作为正数的补充。解方程时出现负根的情况，也逐渐

11、得到人们的公认。正整数、负整数、正分数、负分数和零，统称为有理数。三、实数的形成3.1无理数的引入无理数的引入。在实际度量中，人们原来认为，只要单位取得充分小，总可以把两个量同时量尽。或令一个量为单位，则另一个量总可表示成两个正整数m与n之比（既某个有理量）。在几何上相当于说：对于任何两条线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两线段划分为整数段，希腊人称为这样两条给定线段为“可公度量”。然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可公度的，即存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明，最早出现在亚里斯多德的著作中：根据勾股定理，若正方

12、形对角线与其一边之比为，则有。这里为偶数，则也必为偶数，设，于是 ，即，为偶数，则也必为偶数，这与互素的假设相矛盾，因此正方形对角线与其一边不可公度。这一证明与我们今天证明为无理数的方法相同。亚里士多德声明这来源于毕达哥拉斯学派。不过由于毕达哥拉斯学派有严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派的秘密，因此我们对毕达哥拉斯学派的介绍，很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区分开来。有关不可公度量的发现，情形也是如此。一个传说是学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）首先发现了不可公度性，当时毕氏学派正在海上泛舟集会，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成员将他

13、抛进了大海（另一说法是希帕苏斯因泄露了不可公度量的秘密而遭厄运）。由上面的讨论可知，某量与另一被取做单位的量之比，如果用数来表示，其结果则会出现两种情况，第一，当他们是可公度时，其结果是整数或分数，而此时分数可表示为有限小数或无限循环小数；第二，当它们是不可公度时，其结果是无限不循环小数，人们把整数，有限小数和无限循环小数称为“有理数”，而把无限不循环小数称为“无理数”。这样便引入了“无理数”的概念。无理数的引入曾经历了相当长的历史时期。人们在很早以前就认识了 ，等这样的无理数，但直到十九世纪中叶之后，关于实数的理论才得以完整地建立起来，从而，对无理数的认识从理论上得以解决。作为整个数学的重要

14、奠基石之一的实数理论，澄清了不少昔日的混乱状况，但这并不等于有关无理数的一切实际问题都已解决了。例如，19世纪尚不清楚它是什么数，至今还不清楚它是不是超越无理数。又如，著名的欧拉常数 其近似值为0.57721566490153286060651，并且用计算机算出到一千位以上，但它是不是无理数也还不知道。任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表示一个无理数。3.2两个重要的性质（1）任何两个不同的正无理数之间都存在一个有理数。证明：设和表示两个正无理数，且它们的小数表达

15、式为，这里。因为，所以存在一个整数，使得。我们取。那么是a和b之间的一个有理数。（2）任何两个不同的正有理数之间都存在一个无理数。证明：设和表示两个正有理数，且它们的小数表达式为，这里，（注：对于有限小数，我们都可以将它转化为无限小数，例如, 这里）。因为，所以存在一个整数，使得。（1） 如果存在一个正整数，使得，我们取那么是一个无理数，并且，同时。 （2）如果，我们取那么是一个无理数，并且，同时。（3）如果存在一个正整数，使得。那么，存在一个正整数，使得，此时，我们取，那么是一个无理数，并且，同时。四，复数的确立4.1复数的引入有了实数概念，人们解决了不可公度和开方不尽等矛盾。但随着生产实践

16、的深入又产生了新的矛盾，如负数开平方是什么？在实数的范围内，任何一个正数或负数的平方都是正数，因此，负数开平方已超出了实数的范围。人们把这样的数称之为“虚数”，以示“不存在”、“虚无”的意思。后来，人们经过长期实践逐步认识到“虚数”并不虚无，还把虚数与实数的复合形式称复数，于是在数的概念中，又引进了复数概念，数的系统得到了再一次的扩展。虚数在16世纪正式诞生之后，从16世纪到18世纪的漫长岁月里，对虚数的认识并未取得重大进展。尽管虚数已经出现在人们面前，而且无法避开它，但许多数学家仍感到茫然。微积分的创立者之一莱布尼兹也研究过虚数，并且运用虚数解决过有理函数的积分问题，但是他认为“这是神的干预

17、”，他认为“虚数是神灵美妙与惊奇的避难所，它几乎是又存在又不存在的两栖物”。这是惊叹与赞美兼而有之的声音。数学家达朗贝尔则“用明智的沉默绕过它们”（即指虚数）。4.2复数的指数表示18世纪最杰出的数学家欧拉首次用i来表示虚数单位，并且建立了复数的指数表示及其与三角表示的联系：这是十分富于想象力的创造。经由这一表示，他把0，1，i,和e这五个最为典型而又似乎毫不相关的数统一在一个美妙的式子之中欧拉的指数表示法对推动复数理论的建立和完善起了巨大的作用，但是他的观念并未跳出实数的观念。他说：“所有可以想象的数都或者比0大,或者比0小，或者等于0，所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的数中”。4.3

18、复数的几何表示英国数学家瓦里士（1685年）用几何直观表示实数系二次方程复根的方法：画一条数轴，将根的实部在数轴上表示为一点，在此点处做一线段垂直于数轴，其长度等于根的虚部。丹麦数学家韦塞尔（1788年）做了改进：在已有的数轴上，作与之垂直的虚轴，并以1为单位，这样就建立了复平面。对于每个复数a+bi，都对应着一个由坐标原点出发的向量。韦塞尔用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算，这些定义在现今的教材中也仍保留着。高斯在（1811年）提出a+bi可用点（a, b）表示，并于1831年阐述了复数的几何加法与乘法。同时他指出，在这个几何表示中人们可以看到复数的直观意义已完全建立起来。复数的几何表

19、示促使人们改变了对虚数的神秘印象，成为直观上可以接受的数学对象。4.4，复数运算的公理化定义1837年爱尔兰数学家哈密顿指出，复数a+bi可用实数的有序偶（a,b）来表示，i在复平面上可表示为（0，1），用有序偶给出四则运算的定义，在这种定义下，通常的结合律、交换律及分配律，都能用实数的有序偶推导出来。具体如下：设是两个复数。定义复数的加法与乘法均满足结合律与交换律，乘法对加法满足分配律。证明：仅证乘法结合律和乘法对加法的分配律。设是三个复数。那么所以。同理可证，。4.5，复数的一个应用一元三次方程求解一元三次方程的一般形式为 （*）将（*）除以，并作代换，得 （*）。方程（*）的三个根为 ，

20、这里。所以，方程（*）的三个根为。五，超复数的引入在一段时间里，人们认为数的概念扩展到复数，就算达到完善的程度，以后的发展只能表现在已演变，扩展出的系列之内的变化上。然而，事实恰恰相反，随着社会实践的发展，人们对现实世界的认识在不断深化，而数的概念又是反映现实世界量侧面认识的重要方面，因此，数的概念也必然会打破原有范畴，继续向前发展。超复数的引入，就说明了这一点。所谓超复数，就是象过去由两个实数数组建立复数那样，由三个以上实数数组所组成的“多元数”。人们研究和应用比较多的是“四元数”。5.1，三元数的不存在性证明：假设两个三元数与相乘得到一个新的三元数，即，这里。那么可设。下证。如果，那么 ，

21、同时，于是，这样 ，矛盾。同理可证，如果 ，那么。因此 ，矛盾。5.2，四元数的发现经过长期努力之后，哈密顿发现他所要找的新数应包含四个量，而且必须放弃乘法的交换性，他把这种新数命名为四元数。形如的数称为四元数，其中为实数，满足 ，。现定义四元数的加法：，和乘法：加法满足交换律和结合律；乘法满足结合律；乘法对加法满足左，右分配律。证明：仅证乘法结合律。为此，将四元数改写如下：，这里是复数。那么四元数的加法和乘法变成：，这里表示复数，和分别表示和的共轭复数。现设是三个四元数，那么所以。但乘法不满足交换律。例如，那么，可见。对于四元数，令，那么，于是。在四元数中， 如果， 那么我们可得到复数。因此

22、，四元数包含了复数，而复数包含了实数。四元数是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系，它对代数学的发展来说是革命性的，从此数学家们可以更加自由地构造新的数系，通过减弱、放弃或替换代数中的不同定律和公理（如交换律、结合律等等），就为众多代数系统的研究开辟了道路。但四元数的产生之初也不被人们理解。如爱尔兰物理学家汤姆生说：“哈密顿做了确实非常出色的工作，从而诞生了四元数；虽然美妙而富有创造性，但对于以任何方式接触过它的人来说，这实在是个纯粹的邪念”。关于四元数的发现，哈密顿本人后来曾作过这样一个生动的描述：“明天是四元数的第十五个生日，1843年10月16日，当我和太太步行去都柏林途中勃洛翰桥的

23、时候，它们就来到了人世间，或者说出生了，发育成熟了。这就是说，此时此地我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是之间的基本方程，恰恰就是我后来使用它们的那个样子。我当场抽出笔记本（它还保存着），将这些思想记录下来。与此同时，我感到也许值得花上未来的至少10年或许15年的劳动。但当时已完全可以说，我感到一个问题就在那一刻已经解决了，它已经纠缠着我至少15年了。”四元数的研究有力地推动了向量代数的发展，四元数的发展引导初等代数向着抽象的高等代数发展。哈密顿的学生，英国著名物理学家麦克斯韦尔在掌握了四元数理论之后，利用向量分析等数学理论建立起了影响深远的电磁理论。5.3超复数域的发展（1），“八元

24、数”，这是一种包含四元数的新数，不能满足乘法结合律。（2），利用公理化方法构造数系 “2n元数”，并且可证： n = 4且满足“模法则”的数是不存在的（1848年）。(3), 能满足除乘法交换律之外的一切代数基本性质的超复数域，只有四元数一种（弗罗宾纽斯，1878年）.(4), 能施行加、减、乘、除的数系只有四种，他们分别是一维的实数域、二维的复数域、四维的四元数域及八维的八元数域（1958年）.六， 从有穷数到超穷数人们从记数开始即接触到自然数，由自然数逐渐扩展到有理数，实数，复数，乃至超复数. 这是数的发展的线索之一。数的发展还有另一条线索。每一个自然数都是有穷数，而全体自然数却有无穷多个

25、，那么全体自然数的平方数有多少个呢？我们可能马上也能回答：有无穷多个。奇数的全体是多少个？偶数的全体是多少个？都是无穷多个！虽然都是无穷多个，它们彼此之间有没有差异？能不能比较一下多少？奇数的全体、偶数的全体、平方数的全体可能被认为比自然数全体少，因为它们都只是自然数全体的一部分。但是，三百多年前，伽利略提出了一个奇怪的问题，他说平方数既不比自然数多，但平方数也不比自然数少。他的理由是平方数全体和自然数全体可以一个对一个的对应起来，所以彼此一样多。当时，这个结论十分令人惊奇，因为平方数只是自然数的一部分，而“整体大于部分”是一条写在欧几里得公理系统中的一条公理。伽利略竟然提出了一条与公理相矛盾

26、的结论。人们对此无法理解，于是就称之为伽利略悖论。伽利略显然是利用一一对应的观点来进行比较的。按照这个观点，奇数全体、偶数全体与自然数全体的个数也是一样多的，因为在奇数全体、偶数全体与自然数全体之间很容易建立一个一一对应关系。以上问题涉及到集合论。集合论为德国数学家康托所最先建立起来，这已是在伽利略之后的两百多年了。自然数集合可算是最简单的无穷集合了。好比所有的数都从1出发那样，集合论就从自然数集合出发了。如果画一条实数轴，那么自然数在这条数轴上对应的点只是一些孤立、稀疏的点。然而有理数集在这条数轴上对应的点就密密麻麻了，以致任何两个有理点之间都还有无穷多个有理点。康托第一个了不起的发现就是：

27、如此密密麻麻的有理数集和如此稀稀疏疏的自然数集竟然在元素个数上也一样多！进一步，康托又猜想，实数全体与自然数全体的元素也可能一样多。但是，几个星期之后他就发现自己的这一猜想错了。然而，这却导致了一个更重要的发现：实数集的元素比自然数集的元素要多！准确地说，就是他证明了自然数集只能与实数集的真子集一一对应。而不能与实数集自身建立一一对应。实数集的个数是无穷的，自然数集的个数也是无穷的，但这两个无穷之间是有差异的。记自然数集的“个数”为a，记实数集的“个数”为c，那么康托证明了：ca。从此，“个数”的观念由有穷扩展到了无穷。“无穷”这个领域里的奥妙被揭示出来。康托就是这样以一一对应的概念为基础建立起了超穷数理论，这是有穷数（自然数）向无穷数的扩张。他引进了基数，引进了序数。这是人类对无穷的认识的又一个突破性进展。a又叫做可数基数。这样，一切与自然数集