直角坐标系伸缩变换(最终)

1、学习必备欢迎下载课前案知识梳理：( 一 ) 、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，在变换x 'x(0):y'y(0)的作用下，点P(x,y) 对应 P(x ,y称).为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（ 1）0,01xx'例 2、在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换3后的曲线方程是 4x'29 y'236 ，1y'y2求曲线 C 的方程。x '3x例 3. （1）在同一平面直角坐标系中，曲线 C

2、经过伸缩变换后的曲线方程是y 'y29 y '2x '9，求曲线 C的方程。（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。（ 2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2 变成直线 2 x' y '4 的伸缩变换课中案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（ 1）、已知点（ x,y ）经过伸缩变换x'3x(3 , 4) ，则 x=， y= .y'后的点的坐标是2y1 xx'例 4. 曲线 C经过伸缩变

3、换3后的曲线方程是4x'29y'236 ，求曲线 C的方程。11y'y（ 2）、已知点 (x,y) 经过伸缩变换x'x 后的点的坐标是（-2 ， 6），则 x=， y=22；y'3y学习必备课后案1将点（ 2， 3）变成点（ 3， 2）的伸缩变换是（）x'2x'3xxx'yx'x1A.3B.2C.D.3 y2 yy'xy'y1y'y'232.将点 P ( x , y ) 的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标压缩为原来的1 ，得到点 P 的坐标为3x, 3y)yyx（）A.(2B. (2x,3)

4、C. (3x,2)D. ( 3 , 2y)xxlog2 (x 2)3.曲线 C 经过伸缩变换y1 y 后得到曲线 C 的方程为 y,则曲线 C 的3方程为（）A.1B.y3 log 2 ( x2)y3 log 2 ( x2)C. y1D. ylog2 (3x2)log 2 ( 3 x2 )4. 把函数 ysin 2x 的图像作怎样的变换能得到ysin(2 x) 的图像（）3A向左平移B向右平移C向左平移3D向右平移6635. 将 yf ( x) 的图像横坐标伸长到原来的3 倍，纵坐标缩短到原来的1，则所得函数的解析式为3（）A y 3 f (3x)B.y1 f (3 x)C.y3 f ( 1

5、x)D.y1 f ( 1 x)3333点经过伸缩变换x'1后的点的坐标是（-2， 6），则 x， y；(x, y)x62y'3y7将直线 x2 y2 变成直线 2x'y'4 的伸缩变换是.8为了得到函数 yx), xR 的图像，只需将函数 y2 s i nx, xR 的图像上所有的点2sin(36欢迎下载A. 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）3B. 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）3C. 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）D. 向右平移6个

6、单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）9. 曲线 ys i nx(x'3x) 经过伸缩变换后的曲线方程是；6y'2y10. 曲线 x2y 22x0变成曲线 x'216 y' 24x' 0 的伸缩变换是.x'1 x11. 曲线 9x 24 y236 经过伸缩变换2后的曲线方程是.y'1y312. 将直线 x2 y2变成直线 2x' y'4 的伸缩变换是.13. 函数 y123s i nx c o sx1, xR .2c o s x2（ 1）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（ 2）该函数的

7、图像可由y s i nx( x R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?（）学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载3在伸缩变换x'2 xx'2 xy 21 分别变成什么图形？y'与y'的作用下，单位圆 x2y2y4. 函数 yxy1，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数？3x 1x1点 ( x, y) 经过伸缩变换x'3x4) ，则 x， y.y'后的点的坐标是 (3 ,2 y2将直线 x2y2 变成直线2x'y' 4 的伸缩变换是.3为得到函数 y2 sin( x6), xR 的图像，需将 y2 sin x, x R 的图像上所

8、有的点（）31 倍（纵坐标不变）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）64曲线 y sin( x) 经过伸缩变换x'3xy'后的曲线方程是；62 y5将曲线 x 2y 22x 0变成曲线 x'216 y'2 4x' 0的伸缩变换是.6. 函数 f ( x) 的图像是将函数log 2 ( x1)

9、的图像上各点的横坐标变为原来的1 ，纵坐标变为原来的 1 而得到的，则与3f ( x) 的图像关于原点对称的图像的解析式是。21点 (x'2x,1) 经过伸缩变换后的点的坐标是；2y'3 y学习必备欢迎下载x'1x2问题一：（ 1）点（ 2，-3 ）经过伸缩变换后的点的坐标是；1y'y3解：变式1（ 1， -1 ）；1（ 2）点 (x, y) 经过伸缩变换x'2x 后的点的坐标是（-2 ， 6），则 x， y；y'3 y解：变式 2 x4, y2x'1 x问题二：（ 1）曲线 9x24y236经过伸缩变换2后的曲线方程是' 2y&

10、#39;21.1xy'y3x'1 x（ 2）曲线C 经过伸缩变换3后的曲线方程是4 x'29 y'236 ，则曲线C 的方程是1 yy'2x'2 y'21.1点 ( ,1)x'2x(,3) ；经过伸缩变换后的点的坐标是；2y'3 yx'2xx'2 xy 21 分别变成什么图形？3在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆 x2y'yy'2yx'2xx'2y' 21x'2x解：在的作用下，单位圆变成椭圆；在的作用下，单位圆变成圆y'y4y'2 yx，经

11、过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数14. 函数 yy？3x 1x解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、（先伸缩，再平移）y 伸长到原来的 3 倍：1 yx1得 y3x133x3x3(1 x)x11x 伸长到原来的3 倍： y31得 y11x11x13(1xx)3向左平移1 个单位，再向下平移1 个单位：( y1)111(x1)得 y。1x方法二、 (先平移，再伸缩 )1x11111向左平移个单位 : y3得 y3139 x39x3(x)131 个单位： ( y1111再向下平移)得 y3339x9xx 伸长到原来的9 倍： y119(1x

12、x)9方法三、（平移与伸缩的交替运用）1 x1 xx1x 伸长到原来的3 倍： y33得 3 y13(11x1x1x1x)3向左平移1 个单位： 3y1111( x 1)1xy 伸长到原来的3 倍： 3( 1 y)11得 y1131x1x向下平移1 个单位： y 11得 yxx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。x'2y'24 ；学习必备欢迎下载,五，作业x'3x(3 , 4) ，则 xx，1点 (x, y) 经过伸缩变换后的点的坐标是y'2 yyy 2 .2将直线 x 2 y 2 变成直线 2x' y'4x'x的伸缩变换是.y'

13、;4 y3为了得到函数y2sin( x), xR 的图像， 只需将函数y2 sin x, xR 的图像上所有的点36（ C ）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）64曲线 ysin(xx'3xy' 2 sin( x')；) 经过伸缩变换后的曲线方程是6y'2 y365将曲线 x2y

14、 22x 0变成曲线 x' 2 16 y'2 4x' 0 的伸缩变换是x'2xy'.1 y26. 函数 f ( x) 的图像是将函数log 2 (x 1) 的图像上各点的横坐标变为原来的1，纵坐标变为原来的 1而得到的，则与f ( x) 的图像关于原点对称的图像的解析式是。2解：y log 2 ( x1)以3x , 2y分别代x, y得2 y l o g x( 31 )2y1 log 2 (3x1)有 f ( x)1 log 2 (3 x1) ，它的图像关于原点对称的图像的解析式是22y1 log 2 (13x)2典例剖析【例 1】：求下列点经过横坐标变

15、为原来的2 倍，纵坐标变为原来的3 倍后的点的坐标：（ 1） （1，2）；（2） （-2 ，-1 ）.【例 1】解：（ 1）（ 2， 6）；（ 2）（ -4 ，-3 ） .【变式与拓展1】x'2x【例 2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形：y'3y（ 1） 2 x 3 y 0 ；（ 2） x2y 21.【例 2】解：（ 1） x' y' 0；（ 2） x'2y'21493学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载坐标压缩变换：设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来1/

16、2，得到x '1 x点 P(x ,y坐标).对应关系为：y'2y 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。思考 2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。设 P(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来3 倍，x'x得到点 P(x ,y坐标).对应关系为：y'3y 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。思考 3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，在变换x'x, (0):'y, (

17、 y的作用下， 点 P(x,y)y0)对应 P(x ,y ). 称为平面直角坐标系中的伸缩变换。【典型例题】在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。将直线 x2 y2 变成直线 2xy4 ，分析：设变换为xx,(0),y 4 ，与 x 2 y2 比yy, (可将其代入第二个方程，得 2 x0),较，将其变成 2x4 y4, 比较系数得1,4.xx2 y 2图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4 倍【解】 (1)，直线 xy4 y可得到直线 2xy4 。达标检测1A2 点 ( x, y) 经过伸缩变换x'2x 后的点的坐标是（-2， 6），则 x， y；y'3

18、yA4将直线 x2 y2 变成直线 2x' y'4 的伸缩变换是.x'2xB6. 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形：y'3y（ 1） 2x3y0 ；（ 2） x2y 21 .老城高中高二数学选修4-4 导学案编号：极坐标系的的概念情境 2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（ 1）他向东偏 60°方向走 120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（ 2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题 2：如何刻画这些点的位置？M(,)二、

19、新课导学Ox学习必备欢迎下载探究新知 （预习教材 P P ，找出疑惑之处）8101、如右图，在平面内取一个O ，叫做；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做；再选定一个，一个（通常取）及其（通常取方向），这样就建立了一个。2、设 M 是平面内一点， 极点 O 与 M 的距离 | OM |叫做点 M 的，记为；以极轴 Ox为 始边， 射线 OM 为 终边 的角 x O M叫 做点 M的，记为。有序数对叫做点 M的，记作。3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？_.应用示例例题 1： (1)写出图中 A，B， C，D，E， F，G各点的极坐标 (0,02) .（ 2）：思考下列问题，给出解答。平面上

20、一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？本题点 G 的极坐标统一表达式。答：反馈练习在下面的极坐标系里描出下列各点A(3,0)B(6, 2)C(3, )24)E(3,5F (4,)D (5,)365)G(6,3O小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个X坐标表示， 一个直角坐标对应个点。 极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应个点。三、总结提升2.有关曲线伸缩变换的一般性结论：一般地， 由yx x，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着 y 轴的伸缩变换 ( 当 >1y时，表示伸长；当<1 时，表示压

21、缩 ) ，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍( 这里 P(x, y)是变换前的点，P ( x , y ) 是变换后的点 ). 同理，由 xx，所确定的伸yy缩变换， 是按伸缩系数为向着 x 轴的伸缩变换 ( 当>1 时，表示伸长； 当<1 时，表示压缩 ) ，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 ( 这里 P( x, y) 是变换前的点，P (x , y ) 是变换后的点 ). 由xx ，所确定的伸缩变换， 是按伸缩系数向着 x 轴和按yy伸缩系数向着 y 轴的伸缩变换 ( 当1时，表示伸长，1时，表示压缩；当1时，表示伸长， 当<1 时，表示压缩 )

22、，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的倍和倍 ( 这里 P(x, y) 是变换前的点，P (x , y ) 是变换后的点 ).x'1 x问题一：（ 1）求点（ 2， -3 ）经过伸缩变换2后的点的坐标；1 yy'3x'1 x-2 ， 6），求点 ( x, y)（ 2）点 (x, y) 经过伸缩变换2后的点的坐标是（y'3y学习必备欢迎下载x'1x222问题二：（ 1）求曲线 9 x4 y36 经过伸缩变换后的曲线方程；1y'y3x'1 x（ 2）曲线 C 经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29 y'236 ，求曲线

23、 C 的方程。1y'y21一般地，由kx = x' ，所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着 y 轴的伸缩变换。y = y'当 k > 1 时，表示伸长；当 k < 1 时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。这里 P（x， y)是变换前的点， P'(x' ， y') 是变换后的点。2同样由x = x' ，所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着 x 轴的伸缩变换。ky = y'4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1点 (,1) 经过伸缩变换x&#

24、39;2x后的点的坐标是；y'3 y22将点（ 2， 3）变成点（3， 2）的伸缩变换是（）x'2 xx'3 xx'yx'x1A.3B.2D.32C.xy'y1y'y'y'yy233在伸缩变换x'2xx'2xx 2y21 分别变成什么图形？y'与y'2 y的作用下，单位圆y4. 函数 yx，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y1？3x 1x,五，作业1点 ( x, y) 经过伸缩变换x'3x 后的点的坐标是 (3 , 4) ，则 x， y.y'2 y2将直线 x2y2

25、变成直线 2x'y' 4 的伸缩变换是.3为得到函数 y2 sin( x6), xR 的图像，需将 y 2 sin x, x R 的图像上所有的点（）31 倍（纵坐标不变）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）64曲线 y sin( x) 经过伸缩变换x'3xy'后的曲线方程是；62 y5将曲线 x 2

26、y 22x0变成曲线 x'216 y'2 4x' 0 的伸缩变换是.6. 函数 f ( x) 的图像是将函数log 2 ( x1) 的图像上各点的横坐标变为原来的1 ，纵坐标变为原来的 1 而得到的，则与3f ( x) 的图像关于原点对称的图像的解析式是。2x'1x问题一：（ 1）点（ 2， -3 ）经过伸缩变换2后的点的坐标是；1y'y3学习必备欢迎下载解：变式1（ 1， -1 ）；（ 2）点 (x, y) 经过伸缩变换x'1 x-2 ， 6），则 x， y2后的点的坐标是（；y'3 y解：变式 2 x4, y2x'1 x问题二

27、：（ 1）曲线 9x24 y236经过伸缩变换2后的曲线方程是x'2y'21 .1y'y3x'1 x（ 2）曲线C 经过伸缩变换3后的曲线方程是4 x'2 9 y'236 ，则曲线C 的方程是y'1 y2x'2 y'21.1点 (x'2x( ,3)；,1) 经过伸缩变换后的点的坐标是；2y'3y2将点（ 2， 3）变成点（ 3， 2）的伸缩变换是（B）x'2xx'3xA.3B.232y'yy'y23x'yD.x'x1C.xy'y1y'3在伸缩变

28、换x'2 x 与伸缩变换x'2x的作用下，单位圆x 2y 21 分别变成什么图形？y'yy'2 yx'2xx'2y' 21；在x'2x解：在y'y的作用下，单位圆变成椭圆y'的作用下，单位圆变成圆42 yx' 2 y'24 ；4. 函数 yx，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y1 ？1一般地，由kx = x' ，y = y'3x1x解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、（先伸缩，再平移）所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着

29、 y 轴的伸缩变换。当 k > 1 时，表示伸长；当 k < 1 时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。这里 P（ x，y)是变换前的点，P'(x' ， y')是变换后的点。x = x' ，2同样由所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着 x 轴的伸缩变换。ky = y'4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：y 伸长到原来的3 倍：1 yx1得 y3x133x3x3(1 x)x11x 伸长到原来的 3 倍： y31得 y1x1x113(1x 1x)3向左平移1 个单位，再

30、向下平移1 个单位： ( y1)111(x得 y。1) 1x方法二、 (先平移，再伸缩 )1x11111向左平移个单位 :y3得 y3139 x39x3(x1)3学习必备欢迎下载再向下平移1 个单位： ( y1)11得 y13339x9xx 伸长到原来的9 倍： y119(1x)x9方法三、（平移与伸缩的交替运用）1 x1 xx1x 伸长到原来的3 倍： y331x得 3y13(x)11x 1x 13向左平移 1 个单位： 3 y1111( x1)x1y 伸长到原来的3 倍： 3( 1 y)11得 y1131x1x向下平移 1 个单位： y 11x得 yx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。,五，作业x'3x(3 , 4) ，则 xx，1点 (x, y) 经过伸缩变换后的点的坐标是y'2 yyy 2 .x'x2将直线x2 y2 变成直线 2x'y'4 的伸缩变换是.y'4 y3为了得到函数y2sin( x), xR 的图像， 只需将函数y2 sin x, xR 的图像上所有的点36（ C ）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变）63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标