勾股定理综合难题2

1、用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1）所示的正方形图（1）中所以方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（ 3）1 和（ 3） 2 所示的两个形状相同的正方形方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 2）所示的正方形，所以图（2）中在（ 3） 1中，甲的面积 =（大正方形面积）（ 4个直角三角形面积） , 在（3）2 中，乙和丙的面积和 =（大正方形面积）（ 4个直角三角形面积） 所以，甲的面积 =乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（ 4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形所以A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方D练习题1 如图，圆柱的

2、高为 10 cm，底面半径为 2 cm. ，在下底面的 面上与 A 点相对的 B点处，需要爬行的最短路程是多少 ?2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为 2 cm 的正方形 . 体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 ?答案 AB=5点，那么它所行的最短路线的长是3、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B'点沿纸箱爬到 D4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折纸，已知该纸片宽 AB为 8cm，?长 BC?为10cm当小红折叠时，顶点 D落在 BC边上的点 F处（折痕为 AE）想一想，此时 EC有多长？ ?5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 A

3、BCD折叠，使 C点与 A 点重合，则 EB的长是（）C 5A3B 4D56已知：如图，在 ABC中， C=90°， 垂直平分线交 BC于D，垂足为 E，D=4cm 求AC的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6， BC=8， 现将直角边 AC沿直线 AD折叠，使其落在斜边 AB 上，且 与 AE 重合，则 CD的长为8、如图，在矩形 ABCD 中， AB 6, 将矩形 ABCD 折叠，使 点 B与点 D 重合， C 落在 C 处，若 AE：BE 1：2，则折痕 EF 的长为9、如图，已知：点 E是正方形 ABCD的BC边上的点，现将 DCE沿折痕 DE向上翻折，使 D

4、C落 在对角线 DB 上，则 EBCE10、如图， AD 是ABC的中线，2，则 BC ADC45o，把 ADC沿 AD对折，点 C 落在 C的位置，若BCCC题5图1，有一块直角三角形纸片，两直角边11如图折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE重合，则 A.2cm B.3 cm C.4 cmAC6cm， BC8cm，现将直角边 AC沿直线 CD等于（）D.5 cm图1AD12、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm现, 将直角边 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE重合，你能求出AD13、如图，在 ABC中， B=90 ，AB=BC=6，把AC沿 CAB的角平分线E

5、ABC进行折叠，使点 A与点 D重合， BD:DC=1:2，折痕为 EF， 点 E在 AB上，点 F 在 AC上，求 EC的长。14已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使 与点 D 重合，折痕为 EF，则 ABE的面积为（）A、 6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2DB15如图，将矩形 ABCD沿 EF折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB3，AD 9，求 BE的长B16、如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD的面积17、如图，已知：在 ABC 中， ACB 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明 图中阴影

6、部分的面积与直角三角形的面积相等18如图 8，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点 P落在 AD边上（不与 A、D重合），在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD上移动， 直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF与 DC 的延长 线交于点 Q，与 BC交于点 E，能否使 CE 2cm？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由21能.设APx米，由于 BP216+x2

7、，CP216+（10x）2，而在 RtPBC中，有 BP2+ CP2BC2， 即 16+x2+16+（10x）2100，所以 x210x+160，即（x5）29，所以 x5± 3，所以 x 8，x2，即 AP8 或 2，能 .仿照可求得 AP4.19.如图 ABC中，ACB 90 ,AC 12,BC 5,AN AC,BM BC 则 MN= 420、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（ ）（A） d2 S 2dB) d 2 S dC) 2 d2 S 2dD) 2 d2 S dS 解:设两直角边分别为 a ,b ,斜边为 c,则c 2d ,1ab22 2

8、2由勾股定理 ,得 a2 b2 c2.所以 a22b 2 a2 2ab bc2 4S 4d 2 4S所以 a b2 d S.所以 ab c 2 d S 2d .故选( C)21在ABC中, AB AC1,BC 边上有 2006个不同的点 P1,P2,L P2006记 miCE 4,求DE 的长.23、如图，在 ABC中， AB=AC=6，P为 BC上任意一点，请用学过的知识试求 PC·PB+PA2的值24、如图在 RtABC中, C 90 ,AC 4,BC 3，在 RtABC的外部拼接一个合适的直角三角 形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与

9、示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）25如图，A、B 两个村子在河 CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为 AC=1km，BD=3km，CD=3km， 现在河边 CD上建一水厂向 A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元/千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。26已知：如图， ABC中， C = 90，°点 O为ABC的三条角平分线的交点， ODBC，OEAC，OFAB，点 D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm，CA

10、 = 6cm，则点 O到三边 AB，AC和 BC 的距离分别等于 ? cmC27（8分）如图，在 ABC中，AB=AC，P为 BC上任意一点，请说明： AB2AP2=PB×PC。22228、如图，已知： C 90 ， AM CM ， MP AB 于 P求证： BP AP BC29（本题满分 6分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西8km北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 .他要完成这件事情所走的最短路小河牧童 A程是多少？北东B 小屋30. （本题满分 6 分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是

11、长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米， 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道 .31在一棵树的 10米高 B处有两只猴子， 一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的 A处；另一 只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高多少米 ?32在平静的湖面上， 有一支红莲， 高出水面 1 米，一阵风吹来， 红莲移到一边， 花朵齐及水面， 已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米 ?33长为 4 m的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角（如图所示 ），则梯子的顶端沿墙面升

12、高了 m34已知：如图，ABC中，C90°，D为 AB的中点， E、F分别在 AC、BC上，且 DEDF求 证：AE2BF2EF235已知：如图，在正方形ABCD中， F为 DC的中点，E 为 CB的四等分点且 CE1CB，求证：AFFE36已知 ABC中， a2 b2c210a24b26c338，试判定 ABC的形状，并说明你的理由37已知 a、b、c 是 ABC的三边，且 a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点

13、A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?39、a、b 为任意正数，且 a>b，求证：边长为 2ab、 a2b2、a2+b2 的三角形是直角三角形CAD2240. 三角形的三边长为 （a b） c（A） 等边三角形（C） 直角三角形41.（12 分）如图，某沿海开放城市向 100km 的 B 处有一台风中心，沿2ab ,则这个三角形是 （ ）B） 钝角三角形D） 锐角三角形 .A 接到台风警报，在该市正南方BC方向以 20km/h 的速度向 D移动，已B知城市 A到 BC的距离 AD=60km，那么台风中心经过多长时间从 B点移到 D点？如果在距台风中心 3

14、0km 的圆形区 域内都将有受到台风的破坏的危险， 正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？22242（. 14 分）ABC中，BC a，AC b，AB c，若C=90°，如图（1），根据勾股定理，则 a2 b2 c2，2 2 2 若ABC不是直角三角形，如图（ 2）和图（ 3），请你类比勾股定理，试猜想 a2 b2 与c2 的关系，并证明你的结论 . 解：若 ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2>c2若 ABC是钝角三角形， C为钝角，则有 a2+b2<c2当ABC是锐角三角形时，证明：过点 A作 ADCB，垂足为 D。设 CD为 x，则有

15、DB=ax根据勾股定理得b2x2c2(a x 2)即b2x2c2a22axx 2 a2b2 c22ax a>0，x>0 2ax>0 a2+b2>c2 当ABC是钝角三角形时，43（10分）如图， A市气象站测得台风中心在 A市正东方向 300千米的 B处，以 10 7 千米/ 时的速度向北偏西 60°的 BF方向移动，距台风中心 200?千米范围内是受台风影响的区域（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形

16、水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（）Ah17cmB h 8cm C15cm h 16cmD7cm h 16cm45如图，已知： ， ， 于 P. 求证：46【变式 2】已知：如图， B=D=90°， 形 ABCD 的面积。 A=60°， AB=4， CD=2。求：四边47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决49、如图所

17、示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC，D 是斜边 BC的中点， E、F分别是 AB、AC边 上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF的长。50 如图，在等腰 ABC中， ACB=90°， D、E为斜边 AB上的点，且 DCE=45° 求证： DE2=AD2+BE2。51 如图，在 A BC中， AB=13,BC=14,A C=1，5则 BC边上的高 A D=52 如图，长方形 ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿 AC折叠，点 D 落在点 E处，则重叠部分 AFC的面积是。53 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高 A D=12，

18、试求 BC边的长 .54 在A BC中， D是 BC所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=1，7求 ABC的面积。55. 若 ABC三边 a、b、c 满足 a2b2c2338=10a+24b+26c，ABC是直角三角形吗？为什么？56. 在 ABC中， BC=1997， AC=1998，AB2=1997+1998，则 ABC是否为直角三角形？为什么？ 注意 BC、AC、AB 的大小关系。 AB<BC<AC。AB2+BC2=1997+19972+1998=199×7（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。

19、57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1处，如图，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58. 木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm 和 50dm，有一 70dm 的木棒，能放进去吗？请说明理 由。59. 已知 ABC的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能说明 理由吗？160. 如图，E是正方形 A

20、BCD的边 CD的中点，延长 AB到F，使BF=4 AB，那么 FE与FA 相等吗？ 为什么？61. 如图， A=60°B=D=90°。若 BC=4，CD=6，求 AB 的长。62如图， xoy=60°， M是 xoy内的一点，它到 ox的距离 MA为 2。它到 oy的距离为 11 求 OM 的长。带答案版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1）所示的正方形图（1）中所以方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 2）所示的正方形图（ 2）中，所以 。 2 所示的两个形状相同在（ 3） 1中，甲的面积 =（大正方形面积）（ 4个直角三角形面

21、积） , 在（ 3） 2 中，乙和丙的面积和 =（大正方形面积）（ 4 个直角三角形面积） 所以，甲的面积 =乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（ 4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形，所以练习题1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm. ，在下底面的 面上与 A 点相对的 B点处，需要爬行的最短路程是多少 ?A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为 2 cm 的正方形 . 体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 ?答案 AB=5现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方D3、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B'点沿纸箱

22、爬到 D点，那么它所行的最短路线的长是4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折纸，已知该纸片宽 AB为 8cm，?长 BC?为10cm当 小红折叠时，顶点 D落在 BC边上的点 F处（折痕为 AE）想一想，此时 EC有多长？ ? 5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD折叠，使 C点与 A 点重合，则 EB的长是（）C 5A3B 46已知：如图，在 ABC中， C=90°， 垂直平分线交 BC于D，垂足为 E，D=4cm 求AC的长D57、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6， BC=8， 现将直角边 AC沿直线 AD折叠，使其落在斜边 AB 上，且

23、与 AE 重合，则 CD的长为8、如图，在矩形 ABCD 中， AB 6, 将矩形 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合， C 落在 C 处，若 AE：BE 1：2 ，则折痕 EF 的长为9、如图，已知：点 E是正方形 ABCD的BC边上的点，现将 DCE沿折痕 DE向上翻折，使 DC落 在对角线 DB 上，则 EBCE10、如图， AD 是ABC的中线，2，则 BC ADC45o，把 ADC沿 AD对折，点 C 落在 C的位置，若BCC题5图1，有一块直角三角形纸片，两直角边11如图折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE重合，则 A.2cm B.3 cm C.4 cmAC6cm， BC

24、8cm，现将直角边 AC沿直线 CD等于（）D.5 cm图1AD12、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm现, 将直角边 AC 沿CAB的角平分线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE重合，你能求出 CD的长吗？13、如图，在 ABC中， B=90 ，AB=BC=6，把EABC进行折叠，使点 A与点 D重合， BD:DC=1:2，折痕为 EF， 点 E在 AB上，点 F 在 AC上，求 EC的长。14已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使 与点 D 重合，折痕为 EF，则 ABE的面积为（）A、 6cm2B、8cm2C、1

25、0cm2D、12cm2BBD15如图，将矩形 ABCD沿 EF折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB3，AD9，求 BE的长B16、如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD的面积17、如图，已知：在 ABC 中， ACB 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等18如图 8，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点 P落在 AD边上（不与 A、D重合），在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能， 请你求出这时 A

26、P 的长；若不能，请说明理由 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD上移动， 直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF与 DC 的延长 线交于点 Q，与 BC交于点 E，能否使 CE 2cm？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由21能.设 APx米，由于 BP216+x2，CP216+（10x）2，而在 RtPBC中，有 BP2+ CP2BC2， 即 16+x2+16+（10x）2100，所以 x210x+160，即（x5）29，所以 x5± 3，所以 x 8，x2，即 AP8 或 2，能 .仿照可求得 AP4.19.如图 ABC中， ACB20、直角

27、三角形的面积为 形周长为（ ）（A） d2 S 2d（C） 2 d2 S 2d90 ,AC 12,BC 5,AN AC,BM BC 则 MN= 4S ，斜边上的中线长为 d ，则这个三角B) d 2 S dD) 2 d2 S d2 2 2由勾股定理 ,得 a2 b2 c2.S 1ab 解:设两直角边分别为 a ,b ,斜边为 c,则c 2d , 2所以 ab 2 a2 2ab b2 c2 4S 4d2 4S.所以 ab 2 d2 S.所以 a b c 2 d2 S 2d .故选( C)21在 ABC中, AB AC 1,BC 边上有 2006个不同的点 P1,P2,L P2006解:如图,作A

28、D BC于D ,因为 AB AC 1,则BD CD.2 2 2 2 22由勾股定理 ,得ABAD BD , AP AD PD .所以AB 2 2 2 2 由勾股定理 ,得DF 2 BF2 BD2 42 32 AP2 BD2 PD2BD PD BD PD BP PC2 2 2所以 AP2 BP PC AB2 122因此 m1 m2 L m2006 1 2006 2006DAE 45 ,且 BD 3,22如图所示，在 Rt ABC中, BAC 90 ,AC AB,CE 4,求 DE 的长 .解:如右图：所以把所以 BF因为 ABC 为等腰直角三角形 ,所以AEC绕点 A 旋转到 AFB,则 AFB

29、EC 4,AF AE, ABF C45ABDAECC 45.连结 DF . 所以 DBF 为直角三角形 .52.所以 DF因为 DAE 45 , 所以 DAF DABEAC 45请用学过的知识试求 PC·PB+PA2 的值。所以 ADE ADF SAS . 所以 DE DF 23、如图，在 ABC中， AB=AC=6，P为 BC上任意一点，C24、如图在 RtABC中, C 90 ,AC 4,BC 3，在 RtABC的外部拼接一个合适的直角三角 形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请

30、同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在 RtABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键 是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下 图中的四种拼接方法供参考。1025如图，A、B 两个村子在河 CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为 现在河边 CD上建一水厂向 A、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用AC=1km，BD=3km，CD=3km， 20000 元/ 千米，请你在 CD F。26已知：如图， ABC中，

31、 C = 90，°点 O为ABC的三条角平分线的交点， ODBC，OE AC，OFAB，点 D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O到三边 AB，AC和 BC 的距离分别等于 ? cm27（8分）如图，在 ABC中，AB=AC，P为 BC上任意一点，22228、如图，已知： C 90 ，AM CM ，MP AB于 P求证： BP2 AP2 BC229（本题满分 6分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西8km北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 .他要完成这件事情所走的最短路小河程是多少？30. （

32、本题满分 6 分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，31在一棵树的 10米高 B处有两只猴子， 一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的 A处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?32在平静的湖面上， 有一支红莲， 高出水面 1 米，一阵风吹来， 红莲移到一边， 花朵齐及水面， 已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米 ?33长为 4 m的梯子搭在墙上与地面成 45°

33、角，作业时调整为 60°角（如图所示 ），则梯子的顶端 沿墙面升高了 m34已知：如图，ABC中，C90°，D为 AB的中点， E、F分别在 AC、BC上，且DEDF求 证：AE2BF2EF235已知：如图，在正方形ABCD中， F为 DC的中点，E 为 CB的四等分点且 CE1CB，求证：AFFE36已知 ABC中， a2 b2c210a24b26c338，试判定 ABC的形状，并说明你的理由37已知 a、b、c 是 ABC的三边，且 a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始

34、经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?39、a、b 为任意正数，且 a>b，求证：边长为 2ab、 a2b2、a2+b2 的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为 （a b） c 2ab ,则这个三角形是 （ ）（A） 等边三角形（B） 钝角三角形（C） 直角三角形（D） 锐角三角形 .41. （12分）如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方 向 100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A到 BC的距离 AD=

35、60km，那么台风中心经过多长时间从 B点移到 D点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险， 正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？22242（. 14 分）ABC中，BC a，AC b，AB c，若C=90°，如图（1），根据勾股定理，则 a2 b2 c2，2 2 2若ABC不是直角三角形，如图（ 2）和图（ 3），请你类比勾股定理，试猜想 a2 b2 与c2 的关系，并证明你的结论 . 解：若 ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2>c2若 ABC是钝角三角形， C为钝角，则有 a2+b2<c2当ABC是锐角三角

36、形时，证明：过点 A作 ADCB，垂足为 D。设 CD为 x，则有 DB=ax根据勾股定理得b2x2c2(a x 2)即b2x2c2a22axx 2 a2b2 c22ax a>0，x>0 2ax>0 a2+b2>c2 当ABC是钝角三角形时，43（10分）如图， A市气象站测得台风中心在 A市正东方向 300千米的 B处，以 10 7 千米/ 时的速度向北偏西 60°的 BF方向移动，距台风中心 200?千米范围内是受台风影响的区域（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一

37、根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（）Ah17cmB h 8cm C15cm h 16cmD7cm h 16cm45 如图，已知：， ， 于 P. 求证：因此，我们考虑思路点拨 : 图中已有两个直角三角形， 但是还没有以 BP为边的直角三角形 .构造一个以 BP为一边的直角三角形 . 所以连结 BM. 这样，实际上就得到了 4 个直角三角形 . 那 么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系解析：连结 BM，根据勾股定理，在中，.又 （已知）， 在中，根据勾股定理有而在 中，则根

38、据勾股定理有 .，46【变式 2】已知：如图， B=D=90° 积。， A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD的面分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长 AB、 DC交于 F，或延长AD、 BC交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC交于 E。 A=60°， B=90°， E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48， BE= = 。DE2= CE2-CD2=42-22=12， DE=S 四边形 ABCD

39、=SABE-SCDE= AB· BE- CD· DE=47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点 D在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 HOD在CD解： OC 1 米 （大门宽度一半 ），0.8 米 （卡车宽度一半）RtOCD中，由勾股定理得： .米， . . .（米） .（米）AP 160m。此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路 MN 和公路

40、PQ在点 P处交汇，且 QPN 30°，点 A 处有一所中学， 假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行 驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h ，那 么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。(2)要求 出学校受影响的时间， 实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。 因此必须找到拖拉机行 至哪一点开始

41、影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 AB MN，垂足为 B。在 RtABP中， ABP90°， APB30°， AP160， AB AP 80。 (在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半)点 A到直线 MN 的距离小于 100m, 这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响， 那么 AC 100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。拖拉机行驶的速

42、度为 : 18km/h 5m/s t 120m÷ 5m/s 24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN方向行驶时， 学校会受到噪声影响， 学校受影响的时间为 24 秒。(一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决49、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC，D 是斜边 BC的中点， E、F分别是 AB、AC边 上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF的长。路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化， 根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD解：连接 AD因为 BAC=90°， AB=AC 又因为 AD为 ABC的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD=C=45°因为 EDA+ADF=90° 又因为 CDF+ADF=90°所以 EDA=CDF 所以 AEDCFD(ASA)所以 AE=FC=5同理： AF=BE=12在 Rt AEF中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华： 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。 通过此题， 我们可以了解： 当已知的线段和所求的线段