应变分析实用PPT学习教案

1、会计学1应变分析实用应变分析实用第2页/共55页第1页/共55页第3页/共55页第2页/共55页则其单位长度的相对变化yyyxxxrrrr，rrrrr1称为线元PB的线应变，线元伸长时应变为正。对于平行于坐标轴的线元分别有rrrx11）线元PA由原来r变成了第4页/共55页第3页/共55页2）设变形后互相垂直的线元PC和PA的夹角缩小了，相当于C点在垂直于PC方向偏移了 t，则 tgrry称为工程切应变。角度减小时为正。由于发生在xoy平面，可写成xy。第5页/共55页第4页/共55页yx可以看成是由线元PA和PC同时向内偏移相同的角度xy和yx而成，且称为切应变（排除了刚体转动之后的纯切应变

2、）。角标的意义是：线元的方向和线元偏转的方向，如xy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。2yxyxxy第6页/共55页第5页/共55页第二节 质点的应变状态和应变张量 物体变形时，其内的质点在所有方向上都会产生应变。 点的应变状态是表示变形体内某一点任一截面上的应变大小和方向。 在研究变形时，为便于建立几何关系，要作均匀变形假设：1）直线和平面变形后仍为直线和平面；2）互相平行的直线和平面，变形后仍保持互相平行。第7页/共55页第6页/共55页 第8页/共55页第7页/共55页第9页/共55页第8页/共55页如图,微分六面体PABC-DEFG，边长分别为rx、ry、rz，小变形后移至P1A1B

3、1C1-D1E1F1G1分析：单元体同时发生了线变形、切变形、刚性平移和转动。（1）线应变分别为 （2）切应变为xxxrryyyrrzzzrrzxxzzxyzzyyzxyyxxy212121第10页/共55页第9页/共55页第11页/共55页第10页/共55页 质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该点的应变状态。这9个应变分量组成一个应变张量，由于其中，只有六个独立的变量，故应变张量也是二阶对称张量，可用表示为zzyzxyzyyxxzxyxij注：点的应变状态完全可由应变张量来描述。已知这九个应变分量，可以求出给定任意方向上的应变。zyzyxzxyxij或第12页/共55页第11页/共

4、55页应变张量的性质：（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有线应变（主应变）而无切应变。主应变张量为主应变可由应变状态特征方程321ij000000032213III求得。第13页/共55页第12页/共55页（2）存在三个应变张量不变量I I1 1、I I2 2、I I3 3，且321321313322122223211000000)()(zzyzxyzyyxxzxyxzxyzxyxzzyyxzyxIII对于塑性变形，由体积不变条件，有01I（3）在与主应变方向成45方向上存在主切应变，其大小为)(212112)(213223)(211331若123，则最大切应变为 )(2131m

5、ax第14页/共55页第13页/共55页（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量mijijmmmmzzyzxyzmyyxxzxymxij000000131)(31Izyxm平均线应变ijmij应变偏张量，表示变形单元体形状变化（塑性变形时，由于体积不变，应变偏张量就是应变张量）应变球张量，表示变形单元体体积变化。第15页/共55页第14页/共55页画圆，称为应变莫尔圆。 所有可能的应变状态都落在阴影线范围内。由图可知，最大切应变为应变莫尔圆 已知主应变的值，且123，可以在-平面上，圆心和半径分别为 )02(211，p)02(312，p)02(323，p（6）可以用应变莫尔圆表示一点的应

6、变状态。2211r2312r2323r31max第16页/共55页第15页/共55页第三节 小应变几何方程、应变连续方程一、小应变几何方程（u） 变形 位移 应变 可以用位移场表示应变场 位移分量与应变分量之间关系建立单元体棱边长度为dx、dy、dz在xoy平面上的投影为abdc变形后的投影移至a1b1d1c1a点所产生的位移分量为u、v 第17页/共55页第16页/共55页第18页/共55页第17页/共55页棱边ac（dx）在x方向的线应变xuxuxuuuxddcc 分析： 1）b点和c点的位移增量为（泰勒展开略去高次项）yyvvxxvvyyuuxxuubcbcdddd棱边ab（dy）在y

7、方向的线应变 yvy vy vvvy ddbb第19页/共55页第18页/共55页则工程切应变为yvyuyyvyuvyvvuuu1d)1 (dydtanbb2112yxbabbyuyxyxtanxvxyxytanxvyuyxxyyxxy2）由几何关系，可得有1yyv同理得 切应变为)(21xvyuyxxy第20页/共55页第19页/共55页按照同样的方法，由单元体在yoz和zox坐标平面上投影的几何关系，得其余应变分量与位移分量之间的关系式，综合在一起为zwyvxuzyx)(21)(21)(21zuxwywzvxvyuxzzxzyyzyxxyijjiijxuxu21用角标符号可简记为 该式表示

8、小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小应变几何方程，又称柯西几何方程（u）第21页/共55页第20页/共55页采用柱坐标时（,z）其几何方程为：)1(21)(21)(1)1(21uvvzwzuwuwzvuzzzz第22页/共55页第21页/共55页二、应变连续方程 六个应变分量之间要满足一定的关系，才能保证变形体的连续性。应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。分析：1）将几何方程中的x、y 分别对y、x求两次偏导数，可得)(222yuyxyx)(222xvyxxyyxxvyuyxxyxyyx2222222)(两式相加，得第23页/共55页第22页/共5

9、5页该式表明，在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。)(21)(21)(21222222222222222zxxzyzzyxyyxxzzxzyyzyxxy)(2122222xyyxyxxy即 同理可得另外两式，综合在一起可得(变形连续方程或应变协调方程)第24页/共55页第23页/共55页2）、对三个切应变等式分别对x、y、z求偏导，得)(2122zxvzyuzxy)(2122xywxzvxyz)(2122yzuyxwyzx将上面的前两式相加后减去第三式，得zxvyxzzxyzxy2第25页/共55页第24页/共55页与另外两式组合得(变形连续方程或应变协调方程)zxyv

10、zxzxvyyxzyyzxyzxy222)()()(yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222)()()(再对上式两边对y求偏导数，得上式表明，在物体三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。第26页/共55页第25页/共55页 变形连续方程的物理意义表示：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。注：如果已知一点的位移分量，则由几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但如果先用其它方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量

11、。 第27页/共55页第26页/共55页例例 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为310)05. 01 . 010(zxyu310)1 . 005. 05(yzxv310)1 . 010(xyzw试求：点（1, 1, 1）与点B（0.5, 1, 0）的应变值解解 由几何方程式得应变分量为33310025. 01005. 0)(21,101 . 0 xxvyuyxuxyxxzyywzvzyvyzy3331005. 01005. 0)(21,101 . 0yzzuxwxyzwzxz3331005. 010025. 0)(21,101 . 0第28页/共55页第27页/共55页代入点B的坐标值

12、（0.5, 1, 0），得其应变值333310025. 010025. 01005. 0,101 . 0 xyx0,101 . 03yzy3310025. 0,101 . 0zxz0,101 . 03xyx31005. 0, 0yzy3310025. 0,1005. 0zxz代入点A的坐标值 (1, 1, 1) ，得其应变值第29页/共55页第28页/共55页第四节 塑性变形体积不变条件zyx0dddV 设单元体变形前的体积为变形后的单元体体积为zyx)1 (z)1 (y)1 (x)1 (1ddddddVzyxzyx单位体积变化率zyxVVV001第30页/共55页第29页/共55页上式称为塑

13、性变形时体积不变条件。 它表明，塑性变形时三个正应变之和等于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。 绝对值最大的应变永远和另外两个应变的符号相反，因此塑性变形只有三种类型（一压二拉、一拉二压，一拉一压）。 在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，认为体积不发生变化，因此0321zyx第31页/共55页第30页/共55页第五节 对数应变（真实应变） 塑性变形时的变形程度常用相对应变和对数应变来表示，为了真实地反映瞬时的塑性变形过程，一般用对数应变来表示塑性变形的程度。 设：单向拉伸时某瞬时，试样 l l +dl，其应变增量为ll dd 设：整个变形过程中主轴不变，试样从l0 l1，沿拉伸方向进

14、行积分，则总应变（真实应变 ）为01lllnll10lld第32页/共55页第31页/共55页 对数应变或真实应变，是用应变增量的积分来表示的全量应变，能真实地反映变形的累积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下应变增量的总和。 应变之间的关系： 432)1ln(lnln4320001lllll变形程度很小时，相对应变近似等于对数应变（变形程度0.1%，其误差不超过5%）。因此，相对应变适用于小变形，对数应变适用于大变形。当变形程度超过10时，就要用对数应变来表达。第33页/共55页第32页/共55页各阶段的相对应变为00101lll 11212lll 22323lll 23120103 对数应

15、变两个性质：1、叠加性（可加应变） 总对数应变为各分量对数应变之和. 设某物体原长为l0，经变形l1、l2到 l3，则对数应变3212312ll0123120103lllnlllnllln)llllllln(lllnll30d第34页/共55页第33页/共55页1002000lll505 . 0000lll2可比性（可比应变）假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。 拉长一倍时2ln2ln00ll2ln5 . 0ln00ll 压缩一半时而用相对应变时，以上情况分别为第35页/共55页第34页/共55页注意：由于对数应变反映了瞬时的变形，真实地反映了塑性变形过程，因此，一般采用对数

16、应变来表示变形程度。但它不具有坐标旋转的性质，只能用于主应变方向不变的情况，不是张量。 用对数应变表示体积不变条件 变形体l0、b0、h0 l1、b1、h1： 010101lnlnlnhhbbll1+ 2+ 30ln000111hblhbl=第36页/共55页第35页/共55页第六节 速度分量和速度场、位移增量 与应变增量、应变速率张量 小应变反映的是单元体在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的变形大小，称全量应变。 塑性变形过程中，采用无限小的应变增量来描述某一瞬间的变形情况，整个大变形过程可看成是很多瞬间应变增量累积而成的。第37页/共55页第36页/共55页twwtvvtuutuu

17、ii),(tzyxuuii 一、速度分量和速度场 在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动形成一个速度场，它是坐标和时间的函数。 它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量，即简记为变形体内运动质点的速度场第38页/共55页第37页/共55页二、位移增量和应变增量twwtvvtuuddddddtuuddiituuddii 位移增量：物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量，记为dui 。 它的速度分量，记为简记为位移增量分量为第39页/共55页第38页/共55页 将变形体在变形过程中任意瞬间的形状和尺寸作为初始状态，则在此基础上产生的无限小应变

18、就是应变增量。位移增量 应变增量，几何方程为xux)d(d xvyuyxxy)d()d(21dd yvy)d(d ywzvzyyz)d()d(21dd zwz)d(d zuxwxzzx)d()d(21dd 简记为ijjiijdddx)u(x)u(21第40页/共55页第39页/共55页 一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增量张量，记为zyzyxzxyxijddddddd. 注：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。第41页/共55页第40页/共55页三、应变速率张量一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量 zyzyxzx

19、yxij. 应变速率:单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度，单位为s-1t ddijij注：应变速率与应变增量相似，是描述某瞬时的变形状态。ijjiijijxuxudtd21第42页/共55页第41页/共55页 注意： 应变速率是应变增量dij对时间的微商，通常并不是全量应变的微分。应变速率张量与应变增量张量相似，用来描述瞬时变形状态。 应变速率表示变形程度的变化快慢，不是工具的移动速度。它不仅取决于工具的运动速度，而且与变形体的尺寸和边界条件有关。第43页/共55页第42页/共55页第七节 平面问题和轴对称问题平面应力状态一、平面应力问题 平面应力状态:假设变形体内各质点与某坐标轴垂直

20、的平面上没有应力，且所有的应力分量与该坐标轴无关. 应力张量为00000yyxxyxij或 000000021ij第44页/共55页第43页/共55页0322)2(2131223222112xyyx由主切应力为应力平衡微分方程为 00yxyxyxyyxx第45页/共55页第44页/共55页 纯切应力等于最大切应力，主轴与坐标轴成/4，切应力在数值上等于主应力 211注：两个主应力在数值上相等，但符号相反，即为纯切应力状态。注：平面应力状态中z方向没有应力，但有应变存在；只有在纯剪切时，没有应力的方向才没有应变。 纯切应力状态 第46页/共55页第45页/共55页 平面应变:物体内所有质点都只在

21、同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。 平面应变状态下)(21xvyuyvxuyxxyyx由体积不变，有 yx二、平面应变问题0yzxzz则第47页/共55页第46页/共55页myxz)(212平面变形状态下的应力状态特点： 平面塑性变形时应变为零的方向的应力一般不等于零没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面，z为中间主应力，在塑性状态下，等于平均应力，即 由于应力分量x、y、xy沿z轴均匀分布，与z轴无关，所以应力平衡微分方程与平面应力问题相同00yxyxyxyyxx第48页/共55页第47页/共55页 如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平 面，平面塑性应变状态下的应力