连续型随机变量及其概率密度

1、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 F(x)=PXx ( - - x a=1 - - PXa=1- -F(a) ( )( )P aXbF bF a-( )(0)P XaF aF a-P aXb) 0()(-aFbF)(bXaP)(bXaP)() 0(aFbF-) 0() 0(-aFbFxx0( )( )dxF xP Xxf xx-f(x) 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的女生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 1

2、58159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157162 162 159 154 165 166 157 151 146 151158 160 165 158 163 163 162 161 154 165162 162 159 157 159 149 164 168 159 153 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度下面根据这些数据绘制频率分布直方图 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中间高、

3、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多，往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称 样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中的小矩形就变窄设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑曲线( )yf x，我们把这条曲线叫做概率密度曲线概率密度曲线（如图） 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度概率密度曲线精确地反映了随机变量 在各个范围内取值的规律以这条曲线为图像的函数yf（x）叫做 的概率密度概率密度函数函数 如图， 在区间（a，b）内取值的概率恰好为()P ab图中阴影部分的

4、面积 在区间（-，a）取值的概率 ()Pa恰好是位于曲线与x轴之间，直线xa左侧部分图形的面积 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度一、定义一、定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数，存在非负的分布函数，存在非负可积函数可积函数f (x) ，使对任意实数，使对任意实数x，有，有则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量，f(x)称为称为X的的概率密度概率密度函数，函数，简称为概率密度或密度函数或密度。简称为概率密度或密度函数或密度。二、性质二、性质 (1) f(x)0(2)( )1f x dx-( )( )dxF xP Xxf tt-1x2.3 2.3 连续型随机变

5、量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度二、性质二、性质baxxfbXaPd)()3(4) 在在f(x)的连续点处有：的连续点处有：)( )(xFxf (6) 连续型随机变量取任何实数值连续型随机变量取任何实数值a的概率等于的概率等于0.由性质由性质(6)可得：可得：bXaPbXaPbXaPbXaPbaxxfd)( (5) 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而不仅右连续，而且是连续函数。且是连续函数。 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度连续型连续型1. 密度函数密度函数 X p(x) (

6、)( )xF xp t dt-2.4. P(X=a) = 0离散型离散型1. 分布列分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) =()iixxP Xx 3. F(a+0) = F(a); P(aX b) = F(b)- -F(a).4. 点点计较点点计较5. F(x)为阶梯函数。为阶梯函数。 5. F(x)为连续函数为连续函数。 F(a- -0) = F(a). F(a- -0) F(a). 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 例例1 设随机变量的概率密度函数为设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（ - x+ ）试求试求: (1) 常数常数A ；(2) P

7、0X2；(3) 分布函数分布函数F(x).解解 (1) 由由 ( )d1f xx-0ed2e d21xxAxAxA-得：得：故：故：A = 0.5； (2)22011 e02e d0.432322xPXx- 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 (3) 1( )ed2xxF xx-当当x a 和 B = Y a 独立，解解: 因为因为 P(A) = P(B), P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B)2238ax dx318a -从中解得34a且 P(AB)=3/4, 求常数 a .且由A、B 独立，得= 2P(A) - P(A)2 = 3/4从中解得: P(A)=

8、1/2, 由此得 0a a )练习练习3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度1 、均匀分布、均匀分布 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为1,( )0,axbf xba-其它则称则称X在区间在区间a,b上服从均匀分布。记为上服从均匀分布。记为 XUa,b-dcdcabcddxabdxxfdxcP1)(由可知可知X落在落在a,b内任一小区间内任一小区间c,d内的概率与该小区间内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关的长度成正比，而与该小区间的位置无关2.3.2 常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布 连续型随机变量及其概率密度连续型随机

9、变量及其概率密度分布函数为：分布函数为：0,( )1,xax aF xaxbb axb- -xf ( x)abxF( x)ba 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 X U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：解：记 A = X 3 , 则 P(A) = P( X 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3, 2/3)，所求概率为 P(Y2) = P(Y=2)+P(Y=3)230233321213333CC =20/27例例3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2. 指数分布指数

10、分布设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度10( )00 xexf xx-则称则称X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布。记作记作XE().10( )()( )00 xxexF xP Xxf t dtx-其分布函数为其分布函数为 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为-0, 00,)(xxexfx其中其中0是常数，则称是常数，则称X服从参数服从参数为为的的指数分布指数分布。记作。记作XE().分布函数为分布函数为-0, 00,1)(xxexFx1xF( x)0 xf ( x)0指数分布的另一种表示形式指数分布的

11、另一种表示形式 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 指数分布指数分布常用来常用来作各种作各种“寿命寿命”分布的近似，如电分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布都常假定服从指数分布特别特别：指数分布具有无忆性指数分布具有无忆性，即：，即：P( X s+t | X s )=P( X t ) 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 例例4 假设某种热水器首次发生故障的时间假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：（单位：h）服从指数分布，其概率密度为）服从指数分布，其概率密度为（

12、1）该热水器在）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？内需要维修的概率是多少？（2）该热水器能正常使用）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？以上的概率是多少？解解0.0020.002e0( )00 xxf xx-，（1） 100100 h(100( )dPP Xf xx-在以内需要维修1000.0020.200.002ed1 e0.1813xx- -（2） 600(600)PP X能无故障使用h以上0.0021.26000.002ede0.3012xx- 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 正态分布是应用最广泛的一种连续正态分布是应用最广泛的一种连续型分布型分

13、布. . 正态分布在十九世纪前叶由高斯正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯加以推广，所以通常称为高斯分布分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛（德莫佛（De MoivreDe Moivre) )最早发现了二最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面为是正态分布的首次露面. .3. 3. 正态分布正态分布 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度1. 定义定义 若若X的概率密度为的概率密度为分布函数为：分布函数为：-xexfx,21)(222)(-xxdtexF222)(21)(F(x)

14、0 x其中其中,(0)为常数，则称为常数，则称X服服从参数为从参数为,2的正态分布或高的正态分布或高斯（斯（Gauss）分布。记作）分布。记作 X N（,2） 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2. 正态分布的密度函数正态分布的密度函数f(x)的图形的性质的图形的性质 (1) f(x) 关于关于 是对称的是对称的. .f(x)x0在在 点点 p(x) 取得最大值取得最大值.(2) 若若 固定固定, 改变改变, (3) 若若 固定固定, 改变改变,小大f(x)左右移动左右移动, , 形状保持不变形状保持不变. . 越大曲线越平坦越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭越小曲线越陡峭.-

15、xexfx,21)(222)( 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度(x)x01(1) (0),2x-x)( x-1( )- x标准正态分布标准正态分布N(0, 1)密度函数记为密度函数记为 (x),分布函数记为分布函数记为 (x).(2)()1( )xx - 221( )2txxedt-)(x 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2( ,),(0,1).2.3.1XXNZN - 若则定理2211212( ,),();()(1)XxXNFxxxx xP xXx - - - 若则有(1)）(2)对于任何区间( ,有推论)(-bbXP( )ZXFxP ZxPxP X

16、x-221( )2xedx-)(1-aaXP证明：证明：22()212txedt-t- 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度3. 查标准正态分布函数表计算概率查标准正态分布函数表计算概率 4) P|X| 1.54 = 1- P|X| 1.54=1-0.8764=0.1236例例5 设设XN(0,1) ,计算计算PX2.35 ； P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54； P|X| 1.54 1）PX2.35 =(2.35)= 0.99062）P-1.64 X0 .82 = (0.82)- (-1.64) = (0.82)- 1-(1.64) = 0.74343) P|

17、X| 1.54= (1.54)- (-1.54) =2(1.54)-1= 0.8764 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例例6 设随机变量设随机变量 求求 解解)210(2，NX148 XP814(14)(8)PXFF- 例例7（3 原则）设原则）设X N ( , 2)，求，求 P|X- | , P|X- |2 , P|X- |3 ，解解 P|X|= PX+()()- -(1)( 1)2(1)10.6826 - - - (2)( 1)(2) (1(1)(2)(1) 1- -14 108 10()()22- - 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 在一次试验

18、中，正态分布的随机变量在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以落在以 为中心，为中心，3 3 为半径的区间为半径的区间( ( -3-3 , , +3 +3 ) )内的概率内的概率相当大相当大(0.9974)(0.9974)，即，即X几乎必然落在上述区间内，几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在在一次试验中落在( ( -3-3 , , +3 +3 ) )以外的概率可以忽略不计。以外的概率可以忽略不计。 在工程应用中，通常认为在工程应用中，通常认为P P|X|31|31，忽，忽略略|X|3|3的值。如在质量控制中，常用标准指标的值。如在质量控制中，常用标

19、准指标值值3 3 作两条线，当生产过程的指标观察值落在作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。两线之外时发出警报，表明生产出现异常。 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 设 X N(, 2), P(X -5) = 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .例例851.6930.3- = 1.76 =4解解: : 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 例例9 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服从参数服从参数 =0.05kg的正态分布的正态分布. 为了使重量少于为了使重量少于0.5kg的罐头数不超过的罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值，应把自动包装线所控制的均值参数调节到什么位置上？参数调节到什么位置上？ 解解 由题设知由题设知 2(0.0