上海解析几何综合测试题附答案

1、学习资料收集于网络，仅供参考1 F1、 F2 是椭圆 x2y 21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则| PF1 | | PF2 | 的最大值是42若直线22没有公共点，则 m、 n 满足的关系式为 _ ；mx+ny 3=0 与圆 x +y =3以（ m，n）为点 P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆x 2+ y 2=1 的公共点有 _个 .733.P 是抛物线 y2=x 上的动点， Q是圆 (x-3) 2+y2=1 的动点，则 PQ的最小值为.4若圆 x 2y 22axa210 与抛物线 y21 x 有两个公共点。 则实数 a 的范围为.25 若曲线yx24与直线 yk (x 2) +3

2、有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是.6圆心在直线2x y 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A（ 0， 4）、B（ 0， 2），则圆 C 的方程为_.2222x y 4=0 上的圆的方程为7经过两圆（ x+3） +y =13 和 x+（ y+3） =37 的交点，且圆心在直线_22的左焦点为 F，点 P 为左支下半支上任意一点（异于顶点） ，则直线 PF 的斜率的8.双曲线 x y 1变化范围是 _.9已知 A（ 0， 7）、 B（ 0， 7）、C（ 12， 2），以 C 为一个焦点作过A 、 B 的椭圆，椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 _.10设1（2，2）、 P2（2，2）

3、，M 是双曲线 y= 1 上位于第一象限的点，对于命题Px|MP2| |MP 1|=22 ；以线段MP 1 为直径的圆与圆x2+y2=2 相切；存在常数 b，使得 M 到直线y= x+b 的距离等于2|MP 1|.其中所有正确命题的序号是 _.211到两定点 A（ 0， 0），B（ 3， 4）距离之和为5 的点的轨迹是（）A.椭圆B.AB 所在直线C.线段 ABD.无轨迹12若点（ x， y）在椭圆 4x2+y2=4 上，则y的最小值为（）x2A.1B. 123D. 以上都不对C.313 已知 F 1（ 3， 0）、F 2（ 3， 0）是椭圆 x 2+ y21 的两个焦点， P 是椭圆上的点，

4、当 F 1PF 2mn2 时， F 1PF 2 的面积最大，则有（）3A.m=12， n=3B.m=24， n=63D. m=12， n=6C.m=6， n=214.P 为双曲线 C 上一点， F1、F2 是双曲线 C 的两个焦点，过双曲线C的一个焦点 F1 作 F1PF2 的平分线的垂线，设垂足为Q，则 Q点的轨迹是 () 12.A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三、解答题学习资料学习资料收集于网络，仅供参考15（满分 10 分）如下图，过抛物线y2=2px（ p 0）上一定点 P（ x0， y0）（ y0 0），作两条直线分别交抛物线于A（ x1， y1）、 B（ x2， y2） .

5、（ 1）求该抛物线上纵坐标为p 的点到其焦点F 的距离；2（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数 .y016（满分 10 分）如下图， O 为坐标原点， 直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是a 和 b（ a>0，b 0），且交抛物线 y2=2px（ p>0）于 M （ x1， y1）， N（ x2， y2）两点 .（ 1）证明： 1+1=1 ；（ 2）当 a=2p 时，求 MON 的大小 .y1y2bylyPMO AxaxObNB（ 15 题图）（ 16 题图）x 2+y 2x 2y217（满分 10 分）

6、已知椭圆 C 的方程为2b2 =1（ a>b>0），双曲线a2b2 =1 的两条渐近线a为 l1、l 2，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l l1，又 l 与 l2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A、 B.（如下图）（ 1）当 l1 与 l2 夹角为 60°，双曲线的焦距为4 时，求椭圆C 的方程；（ 2）当 FA = AP 时，求 的最大值 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yAylBPl2AxOFxOBl1（ 17 题图）（ 18 题图）18（满分 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yx2 上异于坐标原点的两不同

7、动点、满足 AOBO （如上图）（）求AOB 得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由219（满分 12 分）抛物线 y =4px（ p>0）的准线与 x 轴交于 M 点，过点 M 作直线 l 交抛物线于 A、B两点.（ 1）若线段 AB 的垂直平分线交x 轴于 N（ x0， 0），求证： x0>3p；（ 2）若直线 l 的斜率依次为p， p2， p3，线段 AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为 N 1，N2， N3，当 0<p<1 时，求11+ +1的值 .+| N10 N11 |N1N

8、2 | |N2N3 |20（满分 12 分）设 A 、B 是椭圆 3x 2y 2上的两点，点N （ 1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、 D 两点 .（）确定的取值范围，并求直线AB 的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、 B、 C、 D 四点在同一个圆上？并说明理由.学习资料学习资料收集于网络，仅供参考解析几何综合题12x2y 21P121 F、 F 是椭圆4的左、右焦点，点在椭圆上运动，则 | PF | | PF | 的最大值是1答案：4简解：|PF1 | PF2| (| PF1 | PF2 |)2a2422若直线 mx+ny 3=0 与圆 x2 +y2

9、=3 没有公共点，则m、n 满足的关系式为 _；以（ m，n）为点 P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆x2+y 27=1 的公共点有 _个 .32 答案： 0<m2+n2<3 ； 222简解：将直线mx+ny 3=0 变形代入圆方程x +y =3，消去 x，得（m2+n2） y2 6ny+9 3m2=0.令 <0 得 m2+n2<3.又 m、n 不同时为零，2 2 0<m +n <3.由 0<m2+n2<3，可知 |n|<3， |m|< 3，再由椭圆方程a=7 ， b=3 可知公共点有2 个 .3.P 是抛物线2上的动点，22的动点

10、，则 PQ的最小值y =xQ是圆 (x-3)+y =1为.3答案：11 -12简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值4若圆 x2y 22axa 210 与抛物线 y 21x 有两个公共点。则实数a 为.24答案： a17或1 a18简解：将圆 x 2y 22axa 21 0 与抛物线 y 21x 联立，消去 y ，2得 x2(2a1 )x a 21 0 ( x0).2要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。02a10 或022解之a 2a1 0.10.5 若曲线yx24 与直线 y k (x2) +3 有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是.学

11、习资料学习资料收集于网络，仅供参考5答案：1 k34简解： 将曲线 yx24 转化为 x2y24 时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3) 且与渐近线 yx 平行的直线与双曲线的位置关系。6圆心在直线2x y 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A（ 0， 4）、B（ 0， 2），则圆 C 的方程为_.6答案：（ x 2） 2 +（ y+3） 2=5 5简解：圆C 与 y 轴交于 A （ 0， 4）， B（ 0， 2），由垂径定理得圆心在y= 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x y 7=0 上，联立y= 3，解得 x=2，2x y 7=0.圆心为（ 2， 3），半径 r=|AC|

12、=223(4)2 =5 .22所求圆 C 的方程为（ x 2）+（ y+3） =5.2222x y 4=0 上的圆的方程为7经过两圆（ x+3） +y =13 和 x +（ y+3） =37 的交点，且圆心在直线_.7答案：（ x+1 ） 2+（ y+7 ） 2=89222简解：因为所求的圆经过两圆（x+3） 2+y2=13 和 x+2（ y+3） 2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3） 2+y2 13+ x2+（ y+3） 2 37 =0.展开、配方、整理，得（x+3）2324289(12 )+（ y+1）=+)2 .11(1圆心为（3 ，3），代入方程 x y 4=0，得 = 7

13、.11故所求圆的方程为（x+ 1 ） 2+（ y+7 ） 2=89.2228.双曲线 x2 y2 1 的左焦点为 F，点 P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线 PF 的斜率的变化范围是 _.8答案：（， 0）（ 1， +）简解：解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.9已知 A（ 0， 7）、 B（ 0， 7）、C（ 12， 2），以 C 为一个焦点作过A 、 B 的椭圆，椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 _.29答案： .y2 x 1（ y 1）48简解：由题意AC 13， BC 15， AB 14，又 AF AC BF BC， AF BF BC AC 2.故 F 点的轨迹是以A 、

14、B 为焦点，实轴长为2 的双曲线下支.又 c=7， a=1，b2 48，所以轨迹方程为学习资料学习资料收集于网络，仅供参考2 x2 1（ y 1） .y 4810设（ 2 ，2 ）、P （2 ， 2 ），M 是双曲线 y= 1 上位于第一象限的点，对于命题P12x|MP2| |MP 1|=2 2 ；以线段MP 1 为直径的圆与圆 x2+y2=2 相切；存在常数b，使得 M 到直线y= x+b 的距离等于2|MP 1|.其中所有正确命题的序号是 _.210 答案：简解：由双曲线定义可知正确，画图由题意可知正确，由距离公式及|MP 1|可知正确 .11到两定点 A（ 0， 0），B（ 3， 4）距

15、离之和为5 的点的轨迹是（）A.椭圆B.AB 所在直线C.线段 ABD. 无轨迹11答案： C简解：数形结合易知动点的轨迹是线段4AB： y= x，其中 0 x 3.312若点（ x， y）在椭圆 4x2+y2=4 上，则y的最小值为（）x2A.1B. 1C.2D. 以上都不对3312答案： C简解：y的几何意义是椭圆上的点与定点（2， 0）连线的斜率 .显然直线与椭圆相切时取得x2最值，设直线y=k（ x 2）代入椭圆方程（4+k2） x2 4k2x+4k2 4=0.令=0， k=± 23 . kmin =23 .3313.已知 F1（ 3，0）、 F2（ 3，0）是椭圆x 2y

16、2+ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当 F 1PF 2mn 2 时， F 1PF 2 的面积最大，则有（）3A.m=12， n=3B.m=24， n=6C.m=6， n=3D. m=12， n=6213答案： A简解：由条件求出椭圆方程即得m=12， n=3.14.P 为双曲线 C 上一点， F1、F2 是双曲线 C 的两个焦点，过双曲线C的一个焦点 F1 作 F1PF2 的平分线的垂线，设垂足为Q，则 Q点的轨迹是 () 12.A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线14答案： B简解：延长F1Q与 PF2 相交点 R，根据双曲线的定义，R 在以 F2 为圆心的圆上，利用代入法得15如

17、下图，过抛物线 y2=2px（ p 0）上一定点 P（ x0， y0）（ y0 0），作两条直线分别交抛物线于A（ x1， y1）、 B（ x2， y2） .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yPOAx（ 1）求该抛物线上纵坐标为p 的点到其焦点F 的距离；B2（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值，并证明直线 AB 的斜率是非零y0常数 .解：（ 1）当 y= p 时， x= p .28又抛物线 y2=2px 的准线方程为x= p ，2由抛物线定义得所求距离为 p （ p ） = 5p.828（ 2）设直线PA 的斜率为kPA，直线 PB 的斜率为kPB.2

18、2由 y1 =2px1， y0 =2px0，相减得（ y1 y0）（ y1+y0） =2p（ x1 x0），故 kPA= y1y0 =2 p（ x1 x0） .x1x0y1y02 p（ x2 x0） .同理可得 kPB=y0y2由 PA、 PB 倾斜角互补知 kPA=kPB ，即2 p=2 p，所以 y1+y2=2y0，y 0y0y1y2y1y 2= 2.故y 0设直线 AB 的斜率为kAB.由 y22=2px2， y12=2px1，相减得（ y2 y1）（ y2+y1） =2p（ x2 x1），y2y1=2 p（ x1 x2） .所以 kAB=x1y 2x2y1将 y1+y2= 2y0（ y

19、0 0）代入得kAB=2 p= p ，所以 kAB 是非零常数 .y1y 2y 016如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是a 和 b（ a>0， b 0），且交抛物线y2=2px（ p>0）于 M （ x1， y1）， N（ x2， y2）两点 .（ 1）证明： 1 + 1 =1； y1 y2 b学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 2）当 a=2p 时，求 MON 的大小 .lyMOaxbN16 证明：（ 1）直线 l 的截距式方程为x +y =1.，由及 y2=2px 消去 x 可得 by2+2pay 2pab=0.ab解： 点 M 、 N 的

20、纵坐标 y1、 y2 为的两个根，故 y1+y2=2 pa ， y1y2= 2pa.b2 pa所以11y1 y2=b1+=y1 y 2= .y1y22 pa b（ 2）解：设直线 OM 、ON 的斜率分别为k1、 k2，则 k1= y1 ， k2= y2 .x1x2当 a=2p 时，由（ 2）知， y1y2= 2pa= 4p2，2222由 y1 =2px1， y2 =2px2，相乘得（ y1y2）=4p x1x2，x1x2=( y y) 2( 4 p2 ) 2=4p2，1 2=4 p 24 p 2因此 k1k2=y1 y24p 2= 1.x1 x2=24 p所以 OM ON ，即 MON =9

21、0° .17已知椭圆 C 的方程为x2y 2x 2y 2l1、 l2，过椭a2+2 =1（ a>b>0），双曲线2b2 =1 的两条渐近线为ba圆C的右焦点 F作直线 l，使 l l1 ，又 l 与 l2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为A、 B.（如下图）yPll2AOFxBl 1（ 1）当 l1 与 l2 夹角为 60°，双曲线的焦距为4 时，求椭圆C 的方程；（ 2）当 FA = AP 时，求 的最大值 .b17 解：（ 1）双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，a学习资料学习资料收集于网络，仅供参考

22、又 b <1， a POx=30°，即 b =tan30 ° =3 .a3 a=3 b.22又 a +b =4，22 a =3， b =1.故椭圆 C 的方程为x 223+y =1.（ 2）由已知 l： y=a（ x c），与 y=ba2ab），bx 解得 P（，cacca 2ab由 FA = AP 得 A（c ，c ） .11将 A 点坐标代入椭圆方程得（ c2+ a2） 2 + 2a4=（ 1+） 2 a2c2.（ e2 +） 2+ 2=e2 （ 1+ ） 2.（令 ec）a2e4e222+332 2 .=（ 2 e ） +2e22e2 的最大值为2 1.18在平

23、面直角坐标系xOy 中，抛物线 yx2 上异于坐标原点的两不同动点、满足 AO BO（如图所示） （）求AOB 得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由yABxOx1x2x318 解：（ I ）设 AOB 的重心为 G(x,y),A(x 1,y1),B(x 2 ,y2), 则（ 1）y1y2y3学习资料学习资料收集于网络，仅供参考OAOB kOA kOB1 ,即 x1 x2y1 y21， (2)又点 A， B 在抛物线上，有y1x12 , y2x22 ，代入（ 2）化简得 x1 x21 yy1y21 ( x12x2

24、2 )1 ( x1x2 )22x1 x2 1(3x)223x 22333333所以重心为 G 的轨迹方程为 y3x 223（II ） S AOB1 | OA|OB|1 ( x12y12 )( x22y22 )1x12 x22x12 y22x22 y12y12 y22222SAOB1x16x26212 x16x26212 (1) 62121由（ I）得2222当且仅当 x16x26 即 x1x21 时，等号成立。所以 AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；19抛物线 y2=4px（ p>0）的准线与 x 轴交于 M 点，过点 M 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点 .（ 1）若线

25、段 AB 的垂直平分线交x 轴于 N（ x0， 0），求证： x0>3p；（ 2）若直线 l 的斜率依次为p， p2， p3，线段 AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为N 1，N2， N3，当 0<p<1 时，求11+ +1的值 .+| N10 N11 |N1N2 | |N2N3 |19 证明：设直线l 方程为 y=k（ x+p），代入 y2=4px.得 k2x2 +（ 2k2p 4p） x+k2p2=0.=4（ k2 ）2 4k2·k2 2，p 2pp >0得 0<k2<1.2k 2 p4 p， y1+y2=k（ x1+x2+2p） =4 p，

26、令 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2），则 x1+x2=k 2kAB 中点坐标为（2pk2 p，2 p） .k 2kAB 垂直平分线为y2 p1（ x2 pk 2 p） .k=k2kk 2 p2 p2 p令 y=0，得 x0=k2=p+2 .k由上可知 0<k2<1， x0>p+2p=3p. x0>3p.（ 2）解：l 的斜率依次为p，p2，p3，时，AB 中垂线与x 轴交点依次为N1，N 2，N 3，（ 0<p<1）.点 N n 的坐标为（ p+2，0）.2n 1p|N nN n+1|=|（ p+2）（ p+2）|= 2(1p 2 )，p2n1p

27、2n 1p 2n11p2 n1，| Nn N n 1 |=p 2 )2(1学习资料学习资料收集于网络，仅供参考13421p3 (1 p19 )所求的值为2(1 p 2 ) p+p + +p=2(1p) 2 (1p)20设 A、 B 是椭圆 3x 2y 2上的两点，点N （ 1， 3）是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 .（）确定的取值范围，并求直线AB 的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、 B、 C、 D 四点在同一个圆上？并说明理由 .20 解法 1：依题意，可设直线AB的方程为 yk ( x 1)3, 代入 3x 2y 2，整理得(k 23) x

28、 22k (k3) x(k3) 20.设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), 则 x1 , x2是方程 的两个不同的根，4(k 23)3(k3)2 0且 x1x22k(k3) .由 N (1,3) 是线段 AB 的中点，得k 23x1x21,k(k3)k23.2解得 k=-1 ，代入得，>12，即的取值范围是（12， +） .于是，直线AB 的方程为y3(x1),即xy40.解法 2：设(,),(,), 则有A x1y1B x2 y23x12y12,3( x1x2 )( x1x2 ) ( y1y2 )( y1y2 ) 0.3x22y22依题意， x1x2 ,kAB3( x1x2 ) .y1y2N (1,3)是AB的中点 ,x1x22, y1 y26, 从而 k AB1.又由 N (1,3)在椭圆内 ,3123212.的取值范围是 (12,).直线的方程为y 3( x 1),即x y 4 0.AB（ II ）解法1：CD垂直平分 AB,直线 CD的方程为 y3 x 1,即xy 2 0.代入椭圆方程，整理得4x 2