中考复习：几何图形中的最值问题

1、中考复习：几何图形中的最值问题几何图形中的最值问题 1.如图，在 RtABC 中， ACB90°，AB5，BC3.若点 D 是AB 边上任意一点，且不与点 A、B 重合，连接 CD.将 BCD 沿着 CD 所在的直线翻折，使得点 B 落在点 B处，连接 AB，则 AB的最小值为_第1题图1【解析】在 RtABC 中，根据勾股定理可得： ACAB2 BC252324，由对称性可知： BCBC3，BC 的长度固定， 当ABBC 的值最小时， AB的值最小，根据 “两点之间，线段最短 ”可知当 A、B、C 三点共线时， AB最小， ABACBC 431. 2.如图，在菱形 ABCD 中，A

2、B4 3， ABC60°，点 M、N 分别是 BC、CD 上任意一点，点 P 是 BD 上一点，连接 PM、PN，则 PM PN 的最小值为 _第2题图第2题解图6 【解析】如解图，作点 N 关于 BD 对称的点 N，根据菱形的对称性可知点N在 AD 上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点N作1 / 7NM BC 于点 M，故 MN 与 BD 的交点 P 即满足 PMPN 的值最小，3故 MNAB·sinABC4 3 ×2 6.3.如图，在矩形 ABCD 中， AB9，BC12，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的任意一点，当 AEF 的周长最小时，则

3、 DF 的长为_第 3题图第 3题解图6 【解析】如解图，作点 E 关于直线 CD 的对称点 E，连接 AE交CD 于点 F， 在矩形 ABCD 中，AB 9，BC12，点 E 是 BC 中点，BECECE6，ABBC，CDBC，CE CF，即6BE AB126CF9 ，解得 CF3，DFCDCF 93 6. 4.如图，在 RtABO 中，AOB90°，AOBO5，延长 AO 到 C，使 OC3，延长 BO 到 D，使 OD4，连接 BC、CD、DA，则四边形 ABCD 面积的最大值为 _第4题图18【解析】设OAx，OBy， AOBO5，x y5，延中考复习：几何图形中的最值问题长

4、 AO 到 C，OC3，延长 BO 到 D，OD4，连接 BC、CD、DA，AOB90°，S 四边形 ABCD SACD S ABC1 ·1 · 12AC OD2AC OB211AC·(ODOB)2AC·BD2(x3)(y4)，xy5，S 四边形 ABCD111 2(x3)(5x4)2(x3)(9x)2(x3)218. 四边形 ABCD的最大面积为 18. 5.如图，已知四边形 ABCD， BAD120°， CBAB，CDAD，且 ABAD3，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的动点，那么 AEF周长的最小值是 _第5题图第 5题解

5、图6 3 【解析】如解图，延长 AB 至点 M，使 BMAB，延长 AD 至点N，使 DNAD，连接 MN，交 BC 于点 E，交 DC 于点 F.CBAB，CDAD，BC、CD 是 AM、AN 的垂直平分线， AEME，AFFN. AEF 的周长 AE EFAF ME EFFN MN，此时AEF 的周长为线段MN 的长 ABAD3，AM AN6，3 BAD120°， MN30°， MN2AM·cos30°12×2 6 3.3 / 7 6.如图，在 RtABC 中，ABBC，AB 6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足 PAB PBC

6、，则线段 CP 长的最小值为_第6题图第6题解图2 【解析】如解图， PABPBC， ABC90°， BAPPBA90 °， APB90 °，点 P 始终在以 AB 的中点 O 为圆心，以 OA1AB3 为半径的圆上，由解图知，只有当在点P在OCOBOP2与O 的交点处时， PC 的长最小在 RtOBC 中，OCOB2BC2 32425，PCOCOP 532，线段 CP 长的最小值为 2. 7.如图，在矩形 ABCD 中，AD2，AB3，点 E 是 AD 边的中点，点 F 是射线 AB 上的一动点，将 AEF 沿 EF 所在直线翻折得到AEF，连接 AC，则 AC

7、 的最小值为 _第7题图第 7题解图101【解析】如解图， 点 E 是 AD 的中点， 根据翻折性质得中考复习：几何图形中的最值问题11AEAEDE2AD2×21，点 F 为动点， 随着点 F 的运动，点 A的运动轨迹是以点 E 为圆心，AE 为半径在矩形 ABCD 内的圆弧，当 E、A、C 不在同一直线上时，则 CA、AE 和 CE 围成三角形，根据三角形的三边关系，即 AC>CE AE，当 E、A、C 在同一直线上时，即 ACCEAE，综上所述 ACCEAE，当 E、A、C 在同一直线上时， AC 有最小值，在 RtCDE 中，CD3，DE1，CE CD2DE2 321 1

8、0， AC 的最小值为 CEDE 101.8.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E. 若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ PQ 的最小值是_第8题图第8题解图2 2 【解析】如解图，作 D 关于 AE 的对称点 D，DD 交 AE 于 F，再过 D作 DPAD 于 P，DD AE， AFDAFD，AFAF， DAECAE， ADF ADF， ADAD4， D与D 关于 AE 对称， QDQD， DQPQQDPQPD，DP即为 DQ PQ 的最小值，四边形 ABCD 是正方形， DAD45 °，2222，APPD，在 RtAPD

9、中，PDAPAD，即 PD2P D165 / 7 2 2，即 DQPQ 的最小值为 2 2. 9.如图，点 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 外一动点，且 PAPB，连接 AC、PC，则 PAC 的最大面积为 _第9题图第 9题解图21 【解析】如解图，作出以 AB 为直径的 O 交线段 AC 于点 E，连接 PE、OE、BE，由 AC 为正方形的对角线及 O 的直径为 AB，可得AEB 为等腰直角三角形，则点 E 为 AC 的中点，S APC2S APE，要使得 APC 的面积最大，只需使得APE 面积最大即可 AE1长度为定值， 只需使 APE 中 AE 边上的高最大即可， AE2AC

10、 1 AB2BC2 2，OAOBOE1， AOE 是等腰直角三角 2OA·OE 1×1形，RtAOE 中，利用等面积法求得 AE 边上的高为AE2 222 ， APE 中 AE 边上的高的最大值为1 2 ， APE 面积的最大值为12×21， PAC 的最大面积为2 ×(21× 2 )222)2 (12221.10.如图，在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点， BD8，AB2，中考复习：几何图形中的最值问题DE8.若ACE135°，则线段 AE 长度的最大值是 _第 10题图104 2 【解析】如解图 ，分别将 ABC、CDE 沿 AC、CE 翻折，则点 B 落到点 F 处，点 D 落在点 G 处，连接 AG、FG.由“两点之间线段最短 ”可知 AG AFFG， AEAG EG，AE AFFGEG，如解图 所示，当点 A、F、G、E 四点共线时， AE 最大，此时， AEAFFGEG，由翻折可证 ACB ACF，CBCF，ABAF，ACB ACF.同理， CDE CGE，CDCG， DEGE， ECD ECG. ACE