二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案.

1、21如图，已知抛物线y=x +bx+c 的图象经过点A （ l ， 0）， B（ 3，0），与 y 轴交于点C，抛物线的顶点为 D ，对称轴与x 轴相交于点E，连接 BD （ 1）求抛物线的解析式（ 2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点P 的坐标（ 3）在（ 2）的条件下，作PF x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点， G 为抛物线上一动点，当以点F， N ，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标2如图，抛物线y= 2x +bx+c与 x轴交于点A 和点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（ 0， 6），点

2、 D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为（ 1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA= BDE 时，求点F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M 作 MN x 轴与抛物线交于点面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标E，连接 N ，点BD P 在 x 轴上，点Q 在坐标平3如图，已知抛物线y=ax2 +bx 3 过点 A （ 1， 0）， B（ 3，0），点 M 、 N 为抛物线上的动点，过点M作 MD y 轴，交直线 BC 于点 D ，交 x 轴于点 E过点 N 作 NF x 轴，垂足为点 F （ 1）

3、求二次函数 y=ax2+bx 3 的表达式；（ 2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（ 3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90° ， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （ 1，0）， B（ 3， 0）两点，顶点M 关于 x 轴的对称点是M（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若直线 AM与此抛物线的另一个交点为 C，求（ 3）是否存在过 A， B 两点的抛物线，其顶点 P 关于CAB 的面积；x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为

4、正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由25. (2016 辽宁省铁岭市 ) 如图，抛物线y= x +bx+c 与 x 轴交于点A ，点 B ，与 y 轴交于点 C，点 B坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD （ 1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA= BDE 时，求点F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MN x 轴与抛物线交于点以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标N ，点P 在x 轴上， 点 Q在平面内，6.

5、(2016 广东省茂名市 ) 如图，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A （ 1， 0）， B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E，连接 BD （ 1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（ 2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点P 作 PFx 轴于点 F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点， N 为直线PF 上一动点，当以F、 M 、 G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案21如

6、图，已知抛物线y=x +bx+c 的图象经过点A （ l ， 0）， B（ 3，0），与 y 轴交于点C，抛物线的顶点为 D ，对称轴与x 轴相交于点E，连接 BD （ 1）求抛物线的解析式（ 2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点P 的坐标（ 3）在（ 2）的条件下，作PF x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点， G 为抛物线上一动点，当以点F， N ，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标【解答】 解：（ 1）抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A （ 1， 0）， B（ 3，0），抛物线的解析式为y=x2+2x 3；（ 2

7、）由（ 1）知，抛物线的解析式为y=x 2+2x 3； C（ 0， 3），抛物线的顶点 D（ 1， 4）， E（ 1， 0），设直线 BD 的解析式为y=mx+n ，直线 BD 的解析式为 y= 2x 6，设点 P（ a， 2a 6）， C（ 0， 3）， E（ 1， 0），根据勾股定理得，PE2=（ a+1） 2+（ 2a 6）2，PC2=a2+（ 2a 6+3 ） 2， PC=PE，（ a+1） 2+（ 2a 6）2 =a2+（ 2a 6+3 ）2 ， a= 2， y= 2×（ 2） 6= 2， P（ 2， 2），（ 3）如图，作 PF x 轴于 F， F（ 2， 0），设 M

8、（ d， 0）， G（ d， d2+2d 3）， N（ 2， d2+2d 3），以点 F， N ，G， M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG ， |d+2|=|d2+2d 3|， d=或 d=，点 M 的坐标为（， 0），（， 0），（， 0），（， 0）2如图，抛物线 y= 2x +bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0， 6），点 D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD （ 1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当标；（ 3）若点 M 是抛物线上

9、的动点，过点M 作 MN x 轴与抛物线交于点标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标FBA= BDEN，点 P 在 x时，求点轴上，点F 的坐 Q 在坐【解答】 解：（ 1）把B 、C 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+6 ，22 y= x +2x+6= （ x 2） +8， D（ 2， 8）；设 F（ x，x2+2x+6 ），则 FG=|x2+2x+6| ， FBA= BDE ， FGB= BED=90° ， FBG BDE ，=， B（ 6， 0）， D（ 2， 8）， E（ 2，0）， BE=4 ，DE=8 ， OB

10、=6 ， BG=6 x，=，当点 F 在 x 轴上方时，有=，解得 x= 1 或 x=6（舍去），此时 F 点的坐标为（1，）；当点F 在x 轴下方时， 有=，解得x= 3 或 x=6（舍去），此时F 点坐标为 （ 3，）；综上可知F 点的坐标为（1，）或（3，）；（ 3）如图 2，设对角线MN 、 PQ 交于点 O，点 M 、 N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线的对称轴上，设 Q（2， 2n），则 M 坐标为（ 2 n，n），点 M 在抛物线 y= x2+2x+6 的图象上， n= （ 2 n）2+2（ 2 n）+6，解

11、得 n= 1+或 n= 1，满足条件的点 Q 有两个，其坐标分别为（ 2， 2+2）或（ 2， 2 2）3如图，已知抛物线y=ax2 +bx 3 过点 A （ 1， 0）， B（ 3，0），点 M 、 N 为抛物线上的动点，过点M作 MD y 轴，交直线 BC 于点 D ，交 x 轴于点 E过点 N 作 NF x 轴，垂足为点 F （ 1）求二次函数 y=ax2+bx 3 的表达式；（ 2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（ 3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90° ， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标【解答】

12、解：（ 1）把 A （ 1， 0），B （ 3， 0）代入 y=ax 2+bx 3，得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x 22x 3；22（ 2）由（ 1）知，抛物线解析式为：y=x 2x 3=（ x 1） 4，如图，设点M 坐标为（ m， m2 2m 3），其中 m 1， ME=| m2+2m+3|， M 、 N 关于 x=1 对称，且点 M 在对称轴右侧，点 N 的横坐标为 2 m， MN=2m 2，四边形MNFE 为正方形， ME=MN ， | m2+2m+3|=2m 2，分两种情况：当 m2+2m+3=2m 2 时，解得： m1=、 m2=（不符合题意，舍去） ，当 m=时，正方形的

13、面积为（22） 2=24 8；当 m2， m4=2（不符合题意，舍去） ，+2m+3=2 2m 时，解得： m3=2+当 m=2+时，正方形的面积为2 （2+） 22=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或 248 （ 3）设 BC 所在直线解析式为y=px+q ，把点 B （3， 0）、C（ 0， 3）代入表达式，得：，解得：，直线 BC 的函数表达式为y=x 3，设点 M 的坐标为（ t， t2 2t 3），其中 t 1，则点 N（ 2 t， t22t 3），点 D （ t， t 3）， MN=2 tt=2 2t， MD=|t 2 2t 3 t+3|=|t2 3t| MD=MN ，

14、|t2 3t|=2 2t，分两种情况：当 t2 3t=2 2t 时，解得 t 1= 1， t2=2 （不符合题意，舍去） 当 3t t2=2 2t 时，解得t 3=， t2=（不符合题意，舍去） 综上所述，点M 的横坐标为1 或4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （ 1，0）， B（ 3， 0）两点，顶点M 关于 x 轴的对称点是M（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求 CAB 的面积；（ 3）是否存在过A， B 两点的抛物线，其顶点P 关于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛

15、物线的解析式；若不存在，请说明理由分析：（ 1）根据待定系数法，可得函数解析式；（ 2）根据轴对称，可得M的坐标， 根据待定系数法，可得AM的解析式，根据解方程组，根据三角形的面积公式，可得答案；（ 3）根据正方形的性质，可得P、 Q 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式可得B 点坐标，解答：解：（ 1）将A 、 B 点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x 2 2x 3；（ 2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y= （ x1） 2 4，M 点的坐标为（1， 4）， M点的坐标为（1， 4），设 AM的解析式为 y=kx+b ，将 A 、M点的坐标代入，得，解得， AM的解析式为y

16、=2x+2 ，联立 AM与抛物线，得，解得，C 点坐标为（ 5，12） SABC = ×4×12=24；（ 3）存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于 x 轴的对称点为Q，使得四边形由 ABPQ 是正方形， A （ 1， 0） B （ 3， 0），得P（ 1， 2）， Q（ 1， 2），或 P（1， 2）， Q（ 1， 2），2当顶点 P（ 1， 2）时，设抛物线的解析式为y=a（ x1） 2，APBQ为正方形，将 A 点坐标代入函数解析式，得a（ 1 1）2 2=0 ，解得 a= ，抛物线的解析式为 y= （x 1） 2 2，当 P（ 1， 2）时，设抛物线的解析式

17、为y=a（ x 1） 2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得2a（ 1 1） +2=0 ，解得 a= ，抛物线的解析式为y=（x 1） 2+2，综上所述： y= （ x 1） 2 2 或 y= （ x 1） 2+2，使得四边形APBQ 为正方形5. (2016 辽宁省铁岭市 ) 如图，抛物线y= x2 +bx+c 与 x 轴交于点A ，点 B ，与 y 轴交于点 C，点 B坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连接 BD （ 1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当 FBA= BDE 时，求点

18、F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MN x 轴与抛物线交于点N ，点 P 在 x 轴上， 点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标分析（ 1）由点 B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（ 2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F，设点 F的坐标为（ 0， m），由相似三角形的判定及性质可得出点F的坐标，根据点B、F的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的解析式，联立直线 BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F 的坐标；（ 3）设对角线 MN 、

19、 PQ 交于点 O，如图 2 所示根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、 Q的位置，设出点Q 的坐标为（ 2， 2n），由正方形的性质可得出点M 的坐标为（ 2n， n）由点 M 在抛物线图象上，即可得出关于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论解答 解：（ 1）将点 B （ 6，0）、 C（ 0， 6）代入 y=x2+bx+c 中，得：，解得：， 抛物线的解析式为y= x2+2x+6 y= x2+2x+6= （ x 2） 2+8， 点 D 的坐标为（ 2， 8）（ 2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F，设点 F的坐标为（ 0，m），如图 1 所示 F

20、BO= FBA= BDE ， FOB= BED=90° ， FBO BDE ， 点 B （6， 0），点 D（ 2， 8）， 点 E（ 2， 0），BE=6 4=4 ， DE=8 0=8 ，OB=6 ， OF=?OB=3， 点 F（ 0， 3）或（ 0， 3）设直线 BF 的解析式为y=kx±3，则有 0=6k+3 或 0=6k 3，解得： k= 或 k=， 直线 BF 的解析式为y=x+3 或 y=x3联立直线 BF 与抛物线的解析式得：或 ，解方程组 得：或（舍去）， 点 F 的坐标为（1，）；解方程组 得：或（舍去）， 点 F 的坐标为（3，）综上可知：点F 的坐标为

21、（ 1， ）或（3， ）（ 3）设对角线 MN 、 PQ 交于点 O，如图 2所示 点 M 、 N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形， 点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点 Q 在抛物线对称轴上，设点 Q 的坐标为（ 2， 2n），则点 M 的坐标为（ 2 n， n） 点 M 在抛物线 y= x2 +2x+6 的图象上， n=+2（ 2 n）+6，即 n2 +2n 16=0，解得： n1= 1，n2= 1 点 Q 的坐标为（ 2， 1）或（ 2， 1）6. (2016 广东省茂名市 )】如图，抛物线 y= x2 +bx+c 经过 A （ 1，0）， B（ 3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E，连接 BD （ 1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（ 2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点P 作 PFx 轴于点 F， G 为抛物线上一动点，M 为PF 上一动点，当以F、 M 、 G 为顶点的四边形是