第1章 离散时间信号与系统.

1、数数 字字 信信 号号 处处 理理基于基于数值计算数值计算郑佳春郑佳春2013.92013.91.数字信号处理的基本概念数字信号处理的基本概念（1）.信号信号：是独立变量的函数，这个变量变量可以是时间、空间位置等；可以是一维也可以是多维。（2）.连续信号连续信号：在某个时间区间，除有限个间断点外所有瞬时均有确定值。（3）.模拟信号模拟信号：是连续信号的特例。时间和函数值（幅度）均连续。（4）.离散信号离散信号：时间上不连续，幅度连续。（5）.数字信号数字信号：时间和幅度均不连续。（6）.数字信号处理：数字信号处理：通过计算机或专用处理设备，用数值计算（运算）方式去处理数字信号（序列），提取有用

2、的信息，去除干扰和杂波的过程。凡是用数值计算方法对数字信号进行滤波、变换、增强、压缩、估计、识别等处理都是数字信号处理的研究对象。绪 论 A / D变换器通用或专用计算机预滤波D/ A变换器模 拟 低通滤波器模拟信号数 字 信号模拟信号数字信号处理系统数字信号处理系统连 续 时 间信号连 续 时 间信号3.数字信号处理的学科概貌数字信号处理的学科概貌 现代数字信号处理的研究热点集中在： 时变非线性系统、非平稳信号、非高斯信号的处理。 处理方法的发展包括：自适应滤波、估值理论、信号建模、离散小波变换、高阶矩分析、盲处理、分形、混沌理论等等；同时，二维和多维信号处理也是最新发展的领域。4.数字信号

3、处理的特点数字信号处理的特点数字信号处理与传统的模拟信号处理方法相比较，具有以下特点：（1 1）精度高）精度高在模拟系统的电路中，元器件精度要达到103以上已经不容易了，而数字系统17位字长可以达到105的精度，这是很平常的。例如：基于离散傅里叶变换的数字式频谱分析仪，其幅值精度和频率分辨率均远远高于模拟频谱分析仪。（2 2）灵活性强）灵活性强数字信号处理采用了专用或通用的数字系统，其性能取决于运算程序运算程序和乘法器的各系数，这些均存储在数字系统中，只要改变运算程序或系数，只要改变运算程序或系数，即可改变系统的特性参数即可改变系统的特性参数，比改变模拟系统方便得多。如：智能手机、软件无线电等

4、。（3）可靠性高因为数字系统只有两个信号电平“0”、“l”，因而受周围环境温度以及噪声的影响较小，而模拟系统，各元器件都有一定的温度系数，且电平是连续变化的，易受温度、噪声、电磁感应等的影响。如果数字系统采用大规模集成电路实现，可靠性就更高。（4）容易大规模集成由于数字部件有高度规范性，便于大规模集成、大规模生产，对电路参数要求不严，故产品成品率高。尤其是对于低频信号，例如地震波分析，需要过滤几赫兹到几十赫兹信号，用模拟网络处理时，电感器、电容器的数值、体积和重量都非常大，性能亦不能达到要求、而数字信号处理系统在这个频率处却非常优越。（5）可时分复用利用数字信号处理器可以同时处理几个通道的信号

5、。处理器运算速度越高，能处理的信道数目也就越多。（6）可获得高性能指标例如：有限长单位脉冲响应数字滤波器（FIR）可以实现严格的线性相位；在数字信号处理中可以将信号存储起来，用延迟的方法实现非因果系统，从而提高了系统的性能指标；数据压缩方法可以大大地减少信息传输中的信道容量。 （7）二维与多维处理利用庞大的存储单元，可以存储一帧或数帧图像信号、流媒体信息，实现二维甚至多维信号处理，包括二维或多维滤波、二维及多维谱分析等。如：物联网的ID卡、二维码，图像处理的2D、3D、4D动画、电影技术等。（1）增加了系统的复杂性复杂性。它需要模拟接口以及比较复杂的数字系统。（2）应用的频率范围频率范围受到限

6、制。主要是A/D转换的采样频率的限制。（3）系统的功率消耗功率消耗比较大。数字信号处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体管，而模拟信号处理系统中大量使用的是电阻、电容、电感等无源器件，随着系统的复杂性增加,这一矛盾会更加突出。 （8）缺点缺点5.5.数字信号处理的应用数字信号处理的应用随着数字信号处理理论的发展和数字信号处理随着数字信号处理理论的发展和数字信号处理器（器（DSPDSP）强大数据运算处理能力，数字信号处）强大数据运算处理能力，数字信号处理技术已经广泛应用于电子信息领域，特别在理技术已经广泛应用于电子信息领域，特别在通信、语音处理、网络、工业控制等领域应用通信、语音处理、网络、工业控

7、制等领域应用非常广泛，概括起来有以下几个方面：非常广泛，概括起来有以下几个方面：（1 1）语音信号处理）语音信号处理语音编码、语音合成、语音识别、语音增强、语音编码、语音合成、语音识别、语音增强、语音邮件、语音储存、语音邮件、语音储存、IPADIPAD等。等。（2 2）常用电器设备）常用电器设备智能手机、数字音响、电视、可视电话、智能手机、数字音响、电视、可视电话、A/VA/V设设备、照（摄）像机、打印机、扫描仪、音乐合备、照（摄）像机、打印机、扫描仪、音乐合成、音调控制、玩具与游戏等。成、音调控制、玩具与游戏等。 （3 3）仪器仪表）仪器仪表数字滤波、频谱分析、函数发生、数据采集、数字滤波、

8、频谱分析、函数发生、数据采集、地震处理等。地震处理等。（4 4）图像处理）图像处理二维和三维图形处理、图像压缩与传输、多媒二维和三维图形处理、图像压缩与传输、多媒体、机器人视觉、动画、电子地图、图像识别体、机器人视觉、动画、电子地图、图像识别、图像增强等。、图像增强等。（5 5）工业控制）工业控制自动控制、机器人控制、磁盘控制、在线监控自动控制、机器人控制、磁盘控制、在线监控等。等。（6 6）通信）通信移动通信、无线电、传真、电视会议、数字蜂移动通信、无线电、传真、电视会议、数字蜂窝电话、数据加密、数据压缩、调制解调器、窝电话、数据加密、数据压缩、调制解调器、自适应设备、线路转发器、回波抵消、

9、多路复自适应设备、线路转发器、回波抵消、多路复用等。用等。2021-12-1015（7 7）军事）军事系统故障检测、保密通信、雷达信号处理、系统故障检测、保密通信、雷达信号处理、声呐信号处理、遥感、遥测、卫星导航、全声呐信号处理、遥感、遥测、卫星导航、全球定位系统、跳频通信、搜索和反搜索等。球定位系统、跳频通信、搜索和反搜索等。（8 8）医疗电子）医疗电子超声设备、诊断设备、病人监护、助听、心超声设备、诊断设备、病人监护、助听、心电图等。电图等。各种数字信息系统各种数字信息系统Digital Media ProcessingWebpadTelematicsWireless Devices:80

10、2.11, Bluetooth, OthersEnhanced GamingMilitary and Government Cellular, Secure ConnectivityIndustry-Specific PDAsBiometricsMedical Devices本课程内容：经典的数字信号处理。本课程内容：经典的数字信号处理。第第1、2章讲述数字信号与系统时域与频域分析章讲述数字信号与系统时域与频域分析的基本原理与方法，大部分属于信号与系统课的基本原理与方法，大部分属于信号与系统课程内容，起着承上启下的作用。程内容，起着承上启下的作用。第第3章论述离散傅立叶变换及其快速傅立叶变换，

11、章论述离散傅立叶变换及其快速傅立叶变换，引入频率域采样概念，使频域分析可以采用基引入频率域采样概念，使频域分析可以采用基于数值计算方法实现。于数值计算方法实现。6.6.本课程的研究内容和安排本课程的研究内容和安排第第4章和第章和第5章介绍数字滤波器的设计理论，对基于章介绍数字滤波器的设计理论，对基于MATLAB编程的经典数字滤波器设计方法进行全面介编程的经典数字滤波器设计方法进行全面介绍。绍。 第第6章和第章和第7章是数字滤波器实现综合理论，详细分析和章是数字滤波器实现综合理论，详细分析和讨论了数字滤波器实现时，影响系统性能的因素，包括：讨论了数字滤波器实现时，影响系统性能的因素，包括：数字滤

12、波器的网络结构、数字滤波器的网络结构、A/D转换量化误差、有限字长转换量化误差、有限字长运算量化效应，采样率变换与结构、性能的关系。运算量化效应，采样率变换与结构、性能的关系。课程应用实例都是基于课程应用实例都是基于MATLAB 2010软件，因此，要软件，因此，要求同学求同学自学自学MATLAB工具软件，达到会编程。工具软件，达到会编程。课程安排课程安排4次实验，教材第次实验，教材第8章为实验指导书章为实验指导书课程考核：（1）闭卷笔试，占70%； （2）实验考核，占20% ； （3）考勤作业等，占10% 。第第1章章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统在用数值计算方法处理信号的过程中，通

13、常信号都是离散时间信号并采用序列来表达，而运算加工这些序列的系统则称为离散时间系统。这些概念尽管已经在信号与系统的课程中介绍过，但它是进一步学习数字信号处理的基础，因此，有必要在进行简单回顾。1.1 离散时间信号离散时间信号 1.1.1 序列的表示序列的表示 序列是时间上不连续的一串样本值的集合，记为x(n)；其中序号n是整数，而x(n)则是第n号样本值，大括号用来表示全部样本的集合。 一个无限长复数值的序列 x(n)=， 2+j3，0.8+j2，1-j5，4，0.3+j4，-j2.7， n（-，） 箭头标出了n=0的序号位置，即序列原点值x(0)1-j5几个常用的典型序列（）单位脉冲序列0,

14、 00, 1)(nnnMATLAB生成该信号的代码如下：n=-30:30；%给出从-30到30共61个自然序号。x=n=0； %在原点处取得1。stem(n，x)；%绘出序列火柴杆状图。2021-12-1022（）单位阶跃序列（）单位阶跃序列0,00,1)(nnnuMATLAB代码：n=1:40；%给出自然序号1到40。M=15； %延迟值。x=(n-M)=0；%获得从M开始后的共25个1值行向量。stem(n，x)；%绘出序列图。（）矩形序列（）矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(显然：RN(n)=u(n)-u(n-N)。（）实指数序列（）实指数序列()()0nx na u n

15、a当任意实数|a|1，x(n)序列发散；而a=1时，x(n)退化成单位阶跃u(n)；a=-1，x(n)成为正负1交替的序列。01;11nnaaa(5)复指数序列 复序列要用实部和虚部共同表示，也可以用幅度和相位来表示。图形表示则需要绘制两张平面图或者3坐标的立体图。 【例1.1.1】 绘制因果复序列x(n)=(0.732ej0.523n)u(n)= (0.732)n(cos0.523n+jsin0.523n)u(n)的两种表示方式的图形。解：用MATLAB绘图编程如下 n=0：30；%绘制31个点因果序列 x=(0.732.n).*(exp(j*0.523*n)；%注意指数和乘运算符号 Ax=

16、abs（x）；%求出幅度，即复数模 Bx=angle（x）；%求出相角，以rad为单位 Cx=real（x）； %求出实部 Dx=imag（x）；%求出虚部 subplot（2，2，1）；%分成四张小图绘制，小图编号为1。可参看软件的help。000( )()cos()sin()jnnx nrernjn stem（Ax）； 0.73 ，0.54， 0.39， 0.29 ，0.21，0.15， ylabel（幅度）； subplot（2，2，3）；小图编号为3的图纸激活。 stem（Bx）； ylabel（相位）；% 0，0.52，1.05，1.57，2.09，2.62，3.14，-2.62 ，

17、-2.09，rad subplot（2，2，2）； stem（Cx）； ylabel（实部）；% 1，0.63，0.27，0.0，-0.14，-0.18，-0.15，-0.09， subplot（2，2，4）； stem（Dx）； ylabel（虚部）；% 0，0.37， 0.46，0.39，0.25，0.11，0.0，-0.06，-0.07， 程序运行结果如图1.1.3所示。（6）周期序列 如果一个序列的数据变化规律呈现出不断重复的特征，那么我们称之为周期序列。记： 如果一个序列满足： 0nN1，r是任意整数，N是任意正整数。我们称它是具有周期为N的周期序列。( )x n( )= ()x n

18、x nrN 例如=，1，3，6，9，7，4，1，3，6，9，7，4，1，3，6，。（7）正弦序列）正弦序列 x(n) = sin（n0）式中：0是数字域角频率，单位是rad。序列是从某连续时间正弦波sin(2f0t)经间隔为T的均匀采样 ， 即 令 t = n T 后 获 得 ， 其 中 0 = 0 T =2f0T=2f0/fs，0是模拟域角频率。序列x(n)是否为周期序列以及周期长度为多少，都取决于数字角频率0的值。 【例1.1.2】绘制因果正弦序列的图形并指出它的周期。解：其MATLAB程序为n=0:60; %给出序号，准备绘制61个点的因果序列x=sin(0.12*pi*n); %0=0

19、.12stem(x); %绘制序列杆图ylabel(幅度); %标出纵轴名称()sin(0.12)()sin(0.12()()x nn u nnrNu n 根据 若使得0.12rN=2i，该序列就具有周期性。选择r=1，i=3，N=50即能满足。当然，如果正弦序列sin(0n)的0不合适，那么有可能找不到一组整数r，i，N来满足周期定义式，比如0=0.3，序列就没有周期性。可见：周期性的正弦波经过采样后所形成的序列有可能是非周期的，它取决于采样频率的选择。( )= ()x nx nrN1.1.21.1.2序列的运算序列的运算（1）序列的相加减 z(n)=x(n) y(n) 两个序列两个序列原原

20、点对齐点对齐，逐项对应相加减逐项对应相加减，形成新序列形成新序列 （2）序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 两个序列原点对齐，逐项对应相乘得到新序列（3）序列的移位 y(n)=x(n-n0)（5）序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(绝对可和序列xBnx )( 有界序列（4）反折 y(n)=x(-n)，序列对于n=0处序号反向倒转，MATLAB对应功能函数是fliplr。 )()()(mnmxnxm（7 7）序列的单位脉冲序列表示）序列的单位脉冲序列表示 （6 6）实序列的偶部和奇部）实序列的偶部和奇部 )()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()

21、(21)(nxnxnxo( )()ooxnxn 偶部关于原点偶对称性：奇部关于原点奇对称性： ( )()eex nxn ( )1,1.5,0, 3,0,0,0(1)1.5 ( )3 (2)x nnnn 2021-12-1035 1.2 连续时间信号的采样连续时间信号的采样 所谓采样就是对连续信号进行时间上的离散化。研究内容： 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号）信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件由离散信号恢复连续信号的条件

22、采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，为了解这些性质，首先分析采样过程。2021-12-1036采样器: 一般由电子开关组成，开关每隔秒(采样周期)短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。 )(txa)(txpP(t)Ts1ssfT1.2.1 1.2.1 连续信号的采样过程连续信号的采样过程 2021-12-1037( )px tt( ) a( )ptt( ) b( )px tt( ) c( )x t t( )dsT 实际采样信号实际采样序列，Ts理想冲激采样信号连续时间信号2021-12-1038采样过程可看作是一个脉冲调幅过程脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为Ts、宽度为的矩

23、形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t)，则采样输出为 一般很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。)()()(tptxtxap2021-12-1039 开关闭合时间0时，为理想采样理想采样。 特点：采样序列为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程对冲激脉冲载波的调幅过程。这个冲激载波冲激载波，则有 Ts1 ( )( )()sjmtnmsp tttnTeT s ( )( )( )( ) ()aTanx tx ttx ttnT 2021-12-10

24、40采样信号的频谱采样信号的频谱 s1X()()amsjXjjmT s1X ()( 2 ()amsjfXjfmfT 结论：理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期结论：理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，重复周期为延拓，重复周期为 s(采样频率采样频率)。2021-12-1041如果信号最高频谱超过s/2，那么在理想采样频谱中，各次调制频谱就会互相交叠，出现频谱的出现频谱的“混淆混淆”现象现象。当出现频谱混淆后，一般就不可能无失真地滤出基带频谱，用基带滤波恢复出来的信号就要失真失真。2021-12-1042奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失

25、真还原，采样频率必须大于信号最高频率的失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。两倍。 s2maxs2max实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，通常为： ss (35) max。同时，为避免高于折叠频率折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于ss/2频率分量进入。2021-12-10432021-12-10441.2.2 具有低通型频谱连续信号的采样具有低通型频谱连续信号的采样 如果原信号是实带限的，且满足fs2fmax时，基带频谱以及采样产生的各次调制谐波频谱将不会重叠。如果不满足fs2fmax条件，将

26、出现频谱混叠（aliasing）现象，也可以理解为假频，它改变了原基带频谱结构，从而无法恢复出原信号频谱Xa(jf)。 m axf0A0()aXjff()a()Xjf f( )c( )b图1.2.4 理想采样信号的周期频谱与混叠现象,ssATT 1 1m axfm axf 2sfsfsf m axfcfcf fs2fmax的情况原信号实带限频谱00( )Xjf f2sfsfsf 3sf()d减小fs后不满足fs2fmax的情况信号实带限频谱m axf00( )Xjf f2sfsfm axf fs不变，但fmax增大后不满足 fs2fmax信号实带限频谱几个术语：（1）采样频率的一半称为折叠频率

27、，为fo=0.5fs。（2）保证能够重新恢复出原信号的最低采样频率称为奈奎斯特（Nyquist）采样频率，为fN=2fmax。现在我们让采样信号通过一个理想低通滤波器H(jf)，如图所示。 ()Xjf ( )xt ( )axt()aXjf()H jf( )h t( )y t|0.5()0|0.5sTffsH jfffs 0.510.5sin()1( ) ()()2ssj tssasstTh tFH jfTedStTtT aa1()()()=Ts() =()Ts（）YjfHjfXjfXjfXjf ( )( )( )( ) () ()( ) () ()() ()asnasnassny txth t

28、xnTh tdxh tnT dx nT h tnT ( )( )()()aasasnsy tx tx nT StnTT 上式说明：通过对内插函数及其平移信号并经采样值xa(nTs)的加权进行累加，就能唯一地构造恢复出原连续信号xa(t)。该连续信号的值在采样时刻严格等于离散序列值，而在两样点之间，则是由全部采样值内插函数的波形延伸叠加构成的。 1(3)snT (4)snT (1)snT (2)snT sn T()assStn TT t图1.2.6（b）由 采样信号的内插函数重构的连续信号图1.2.6（a）Sa(t)内插函数(2)snT 4sT2sT( )axttsT3sT01.2.3具有带通型

29、频谱连续信号的采样 如果连续信号频谱如图所示带通型。它是由低通信号频谱经过高频载波调制后并经过一定处理形成的，通常上边频f2比带宽B=f2-f1大很多，有效频带中心记为fc，以及下边频f1=fc-0.5B 。 选择fs2f2，可以进行无混叠不失真采样，但f2本来就很高，使得采样率fs可能高到无法实现的程度，即使能做到，成本也一定会高昂。 采样频率fs可否合理的降低呢？降低到奈氏频率以下（称欠采样技术），而不会出现频谱混叠呢？ 2cfBf12cfff0|() |aXjf图1.2.7 带通型频谱1f 2f AB 设原信号谱正频带P和负频带Q，有效带宽B=f2-f1，调整fs，使得重复频谱的正频带P

30、和负频带Q恰好在坐标0点对接，并且在2fc-B的零幅度区里有m个重复周期，图中是m=4。显然，mfs=(2fc-B)。如果增大fs，图中的Q将向右同时P向左移动进而发生混叠，说明fs不能任意增大，必须小于这个上限。 如果减小采样率fs，原谱不动，P将向右而Q向左移动而分开。继续减小fs到PQ又接在一起即最低采样率（当然无论何时都要满足fs2B）情况，此时在2fc+B频带里有5个频谱周期，即(m+1)fs=2fc+B，fs不能再小了。 总结以上分析，采样率fs应处于一定范围才能避免混叠： s2221； 且 sfcBfcBffBmm 最大的m可由信号最高频率f2=fc+0.5B的2倍除以带宽B所得

31、的整数值来计算。 定义在可接受的m的值下，使得重复频谱在原点处正负频带对接时的采样频率，称为带通信号最佳采样最佳采样率率。m=1时的最佳fs如图所示，但出现基带频谱倒置情况。 m=1 m2时的最佳fs更低，如图所示，而且基带频谱正常。 前面分析可得：m偶整数时，基带频谱不会倒置；m奇整数时，基带频谱出现倒置。需要通过数字处理将其翻转过来解决。实现方法有： （1）把采样序列xa(n)与(-1)n相乘，这个正负1单位交替序列还写成(-1)n =cos(n)=ejn。 （2）在频域里表现为00.5fs频带绕0.25fs左右翻转，即直流DC（0Hz）频率倒置到0.5fs。 此外，如果原始谱是关于中心频

32、率fc偶对称的话，那么采样频谱就不会存在倒置问题了。 【例1.2.1】频谱倒置的示例 解：a=1,-1.1,0.6; b=0,1;h1,n=impz(b,a); %由a，b描述的系统，生成序列h1(n) figure;subplot(2,2,1);stem(n,h1);ylabel(序列h1(n); %绘制序列h1(n)的图 h2=h1.*(-1).n; %将序列h1(n)乘以频谱倒置工具(-1)n subplot(2,2,2);stem(n,h2);ylabel(序列h2(n);% 绘制h2(n) H1=fft(h1,256);%计算h1(n)的幅度频谱。 subplot(2,2,3);pl

33、ot(20*log(abs(H1); ylabel(h1(n)幅度频谱/dB ); H2=fft(h2,256); %256点FFT计算h2(n)的频谱。 subplot(2,2,4);plot(20*log(abs(H2); ylabel(h2(n)幅度频谱/db);1.3 离散时间系统 将一个序列x(n)变换成另一个序列y(n)系统称为离散时间系统。记为 y(n)=Tx(n)1.3.1系统的线性、时不变性，稳定性与因果性 系统同时满足均匀性和可加性时，称该系统是线性系统。否则为非线性系统。 均匀性也称比例性，是指当系统的输入变化a倍，其输出也相应变化a倍。 可加性是指系统分别输入两个序列x

34、1(n)和x2(n)，其各自对应的输出是y1(n)和y2(n)，那么，当混合输入x1(n)+x2(n)时，系统将会输出y1(n)+y2(n)。 1212Tax (n)+bx (n)=ay (n)+by (n) 时不变是指系统的性能不会随时间发生改变。也就是无论何时输入信号，只要x(n)相同，系统输出也总是相同的y(n)，只不过是随着x(n)加到系统的先后，y(n)出现的时间不同而已。 若 ，有 成立，则称系统 是时不变的。 00Tx(n-n )=y(n-n )T y(n)=Tx(n)当系统输入是有界的，其输出也一定是有界的，这样的系统即为稳定系统。稳定系统的充分必要条件是其h(n)绝对可和，即

35、:n =|h ( n ) |M 如果系统的输出y(n)只取决于当前以及以往的输入，称为因果系统。否则就是非因果系统。判断一个线性时不变系统是不是因果系统的充分必要条件是 h (n )0 0n， 通常把n0时x(n)=0的序列统称为因果序列。尽管连续时间非因果系统是不可实现的。但数字信号处理中可以用一个带有延迟的因果系统来近似非因果系统，这是一种获得更接近于理想频率特性的方法。 1.3.2离散时间系统的差分方程描述对于线性时不变系统，可用常系数差分方程描述，它给出输入序列x(n)和输出序列y(n)的关系： 00NMkrkra ynkb xnr 01( )MNrkrky nb x nra y nk

36、 需要注意的是：如果不加约束条件，满足差分方程式的序列x(n)与y(n)将不是唯一的。 【例1.3.1】研究差分方程y(n)=0.2 y(n-1)+x(n)的解的唯一性问题。 解：设x(n)=(n)，且n0时，y(n)=0。那么，可以令n=0代入差分方程 y(0)=0.2 y(-1)+x(0)=0.20+1=1，同理，y(1)=0.2 y(0)+x(1)=0.21+0=0.2；y(2)=0.20.2； y(3)=0.20.20.2；.，y(n)=(0.2)n ,n0。或y(n)= (0.2)nu(n) 但若假设n0时，y(n)=0，那么同样的(n)激励下，可得另一组y(n)满足差分方程。 改写

37、方程为：y(n-1)=5( y(n)-x(n)，或y(n)=5( y(n+1)-x(n+1)，那么令n=-1代入，得 y(-1)=5(y(0)-x(0)=5(-1)=-5；y(-2)=5(y(-1)-x(-1)=5y(-1)=-25； y(-3)= -555；，y(n)= -(5)(-n)；n0。或y(n)=-(0.2)nu(-n-1) 显然，后者是一非因果系统。1.3.3离散时间系统的状态方程描述 状态方程能够规范地描述多输入多输出（MIMO）系统，能够解决在单输入单输出（SISO）系统中惯用的传递函数所难以表达的问题，这是它的一个突出的优点。对于一个动态的线性时不变离散系统，可以把描述它的

38、N阶差分方程改写成一阶的差分方程组，引入了一个状态变量(n)，形式为： 111 112 2111 112 21221 122 2221 122 221 12 21 12 21 1 1N Nm mN Nm mNNNNN NNNNm mnanananb x nb x nb x nnanananb x nb x nb x nnanananb x nb x nb x n 分别称为系统的状态方程、输出方程。简写成矢量方程，即矩阵形式 111 112211111221221 1222221122221 1221122NNmmNNmmrrrrNNrrrmmy ncncncnd x nd x nd xny n

39、cncncnd x nd x nd xny ncncncnd x nd x nd xn 111111 1ABx yCDxNN NNN mmrr NNr mmnnnnnn A为NN阶的系统系数矩阵，B为Nm阶的输入矩阵，C为rN阶的输出矩阵，D为rm阶的直通矩阵，系统的方框图图中输入与输出都是向量，表达多输入多输出系统。以上表达看似复杂，实际上把差分方程所对应的离散系统函数H(z)写出来，然后再用MATLAB提供的专门函数(tf2ss )来实现系统函数H(z)到状态方程式的转换。 【例1.3.2】用状态方程表示由如下差分方程描述的因果离散系统。y(n)+0.2 y(n-1)+0.4 y(n-2)

40、+0.5 y(n-3) =0.7x(n)-0.6x(n-1)解：先对上式两边进行Z变换，整理成按z降幂形式的系统传递函数H(z)。 1123( )0.70.6( )1+0.20.40.5YzzHzXzzzz Matlab程序如下：num=0.7 -0.6；%给出分子多项式系数向量。den=1 0.2 0.4 0.5; %给出分母多项式系数向量。A B C D=tf2ss(num,den);%调用转换函数，得到状态方程的4个系数矩阵。0.20.40.5A100010 1B00 C00.70.6 D0 1ABx yCDxnnnnnn 表示了一个3阶的常系数离散系统。值得注意的是，矩阵A B C D是不唯一的，也就是说，还可以有其他的A B C D组合能表示这个差分方程。 1.4离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析 1.4.1离散线性时不变系统的单位脉冲响应离散线性时不变系统的单位脉冲响应系统在零状态下，因受(n)的激励而产生的响应称为单位样值响应，记为h(n) 对于【例1.3.2】所描述的系统，其h(n)可以用impz函数