节正态总体的参数检验

1、1会计学节正态总体的参数检验节正态总体的参数检验对于给定对于给定的的检验水平检验水平 10 由标准正态分布分位数定义知，由标准正态分布分位数定义知， 2/uUP因此，检验的拒绝域为因此，检验的拒绝域为 :,2211 uuxxxWn 其中其中 u为统计量为统计量U的观测值。这种利用的观测值。这种利用U统计量统计量来检验的方法称为来检验的方法称为U检验法。检验法。，或或者者记记为为21 uuW 第1页/共78页例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割切割每段金属棒的平均长度为每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产品中今从一批产品中随机的抽取

2、随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果其结果如下如下:7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度假定切割的长度X服从正态分布服从正态分布, 且且标准差没有变化标准差没有变化, 试问该机工作是试问该机工作是否正常否正常?).(10 解解 0.15, , ),( 2 NX因因为为 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设第2页/共78页 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得,645. 105. 0 u6

3、45. 1516. 0|/|05. 00 unx于于是是 . , 0认认为为该该机机工工作作正正常常故故接接受受 H,15 n,48.10 x,05. 0 注意注意：“接受接受H0”，并不意味着，并不意味着H0一定为真；一定为真；“拒绝拒绝H0” 也不意味着也不意味着H0一定不真。一定不真。第3页/共78页 0 0 0 0 02uzuz uzu检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域nXU/0) 1 , 0 ( N第4页/共78页)( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t . , , ),(22 显显著著性性水水平平

4、为为未未知知其其中中设设总总体体NX . : , :0100 HH检检验验假假设设 , , 21的的样样本本为为来来自自总总体体设设XXXXn , 2未知未知因为因为 . / 0来来确确定定拒拒绝绝域域不不能能利利用用nX 为无计2222因因 S 是 S 是 的 的偏偏估估, , ,S故 用 来 取 代0 . /XTSn即 采 用来 作 为 检 验 统 计 量第5页/共78页00, (1),/XHt nSn当 为 真 时0/2(1) /XPtnSn根据根据抽样分布定理抽样分布定理知知,由由t分布分位数的定义分布分位数的定义知知第6页/共78页01/2(1)/xWttnsn拒绝域为 在实际中在实

5、际中, 正态总体的方差常正态总体的方差常为未知为未知, 所以我们常用所以我们常用 t 检验法来检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验关于正态总体均值的检验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.第7页/共78页 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度假定切割的长度服从正态分布服从正态分布, 问该机切割的金属棒问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化的平均长度有无显著变化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均均为为未未知知依依题题意意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10

6、x,05. 0 0.237,s010.48 10.5 /0.237/ 15xtsn,327. 0 查表得查表得)14() 1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0无无显显著著变变化化认认为为金金属属棒棒的的平平均均长长度度故故接接受受 H例例2第8页/共78页 0 0 0 02tt 0tttt 0 (1)XTSnt nt检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域第9页/共78页例例3 3 某厂生产小型马达某厂生产小型马达, ,说明书上写着说明书上写着: :在正常负载下平均消耗电流不超过在正常负载下平均

7、消耗电流不超过0.8 0.8 安培安培.随机测试随机测试1616台马达台马达, ,平均消耗电流平均消耗电流为为0.920.92安培，标准差为安培，标准差为0.320.32安培安培. . 解解 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为设马达所消耗的电流服从正态分布设马达所消耗的电流服从正态分布, ,取显著性水平为取显著性水平为 = 0.05,= 0.05,问根据此样问根据此样本本, ,能否否定厂方的断言能否否定厂方的断言? ? H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知未知, , 选检验统计选检验统计量量: (15)/ 16XTTS第10页/共78页0.050.81.753(15)/xTt

8、sn代入得代入得1.5 15,.73T 故接受原假设故接受原假设 H H0 0 , , 即不能否定厂方断言即不能否定厂方断言.:拒绝域为拒绝域为0.92,0.32,xs落在拒绝域外落在拒绝域外将将第11页/共78页解二 H0 : 0.8 ； H1 : 0222(1)n 2 0222( ) n 2 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 第24页/共78页取统计量取统计量22220(1)(1)nSn拒绝域拒绝域 ：220.05(24) 36.4152024 0.0006639.6 36.

9、4150.00040落在拒绝域落在拒绝域内内, , 故拒绝故拒绝H H0 0. . 即改革即改革后的方差显著大于改革前后的方差显著大于改革前, , 因此下因此下一步的改革应朝相反方向进行一步的改革应朝相反方向进行. .第25页/共78页 有时，我们需要有时，我们需要比较两总体的比较两总体的参数是否存在显著差异参数是否存在显著差异。比如，两。比如，两个农作物品种的产量，两种电子元个农作物品种的产量，两种电子元件的使用寿命，两种加工工艺对产件的使用寿命，两种加工工艺对产品质量的影响，两地区的气候差异品质量的影响，两地区的气候差异等等。等等。第26页/共78页1. 方差已知方差已知时，两正态总体均时

10、，两正态总体均值的检验值的检验21211 , , ( ,),nX XXN 设为 来 自 正 态 总 体的 样 本 , : , : 211210HH需要检验需要检验假设假设:21222, , ,( ,), mY YYN 为 来 自 正 态 总 体的 样 本两 样 本 独 立 , 21均均为为未未知知又又设设, ,2221已已知知,上述假设可等价的上述假设可等价的变为变为 0, : 0, : 211210HH 利用利用u检验法检验法检验检验.第27页/共78页221212 ( ,), ( ,),X NYNX Ynm由 于且独 立221212 (,)X Y Nnm 故2212()/UX Ynm取 检

11、 验 的 统 计 量 为) ,(,100NUH统统计计量量成成立立时时当当 . 取取显显著著性性水水平平为为第28页/共78页故拒绝故拒绝域为域为2212/2|()/|x yunm2212/2|()/|P X Yunm由标准正态分布分位数的定义知由标准正态分布分位数的定义知第29页/共78页?,.,:):(,有有显显著著差差异异烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量是是否否问问两两种种取取种种的的方方差差为为种种的的方方差差为为互互独独立立且且相相均均服服从从正正态态分分布布两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量据据经经验验知知分分别别为为单单位位测测得得尼尼古古丁丁的的含含量量化化验验例例进进行

12、行的的中中各各随随机机抽抽取取重重量量相相同同从从含含量量是是否否相相同同化化验验尼尼古古丁丁的的两两种种烟烟草草卷卷烟烟厂厂向向化化验验室室送送去去例例050852631232827242126272451BABAmgBABA, 两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量分分别别表表示示和和以以解解BAYX.,(),()独独立立且且则则YXNYNX222211第30页/共78页211210:,:HH欲欲检检验验假假设设22125,8,5.n m 现 已 知由 所 给 数 据 求 得27424yx,.221224.4 27()/1.6125 85 5ux ynm.,.|,.,./02961612

13、1961050Huu故故接接受受原原假假设设由由于于查查正正态态分分布布表表得得对对第31页/共78页1 2 = ( 12，22 已知)2212(0,1)XYUnmN2uzuz关于均值差关于均值差 1 1 2 2 的检验的检验uz1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域第32页/共78页2. 方差未知方差未知时两正态总体均值时两正态总体均值的检验的检验 利用利用t检验法检验法检验具有相同方差检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设的两正态总体均值差的假设.21212122 , , ( ,), , , ,( ,), . .nmX XXNY

14、YYN 设为 来 自 正 态 总 体的 样 本为 来 自 正 态 总 体的样 本且 设 两 样 本 独 立 注 意 两 总 体 的 方 差 相 等2212212 , , , XYS S 又 设分 别 是 总 体 的 样 本 均 值是 样 本方 差均 为 未 知第33页/共78页211210 ：，：检验假设检验假设HH . 取取显显著著性性水水平平为为(),11wXYTSnm2221122(1)(1) .2wnSnSSn m其中 ,0为为真真时时当当 H (2).t t n m 根据根据抽分布定理抽分布定理知知,统计量统计量引入引入t第34页/共78页对给定的对给定的/2()(2)11wXYPt

15、n mSnm使得/2(2).ttn m 由分 布 的 分 位 表 可 查 得 故拒绝域为故拒绝域为1/2()(2)11wxyWtn msnm第35页/共78页例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产乙两台机床加工相同的产品品, 从这两台机床加工的产品中随机从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件地抽取若干件, 测得产品直径测得产品直径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的

16、产品乙两台机床加工的产品直径有无显著差异直径有无显著差异? 假定假定两台机床两台机床加工的产品直径都服从正态分布加工的产品直径都服从正态分布, 且且总体方差相等总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分分别别服服从从正正态态分分布布和和两两总总体体依依题题意意 , 221均均为为未未知知 )05. 0( 第36页/共78页 . : , : 211210 HH需需要要检检验验假假设设, 81 n,925.19 x210.216,s , 72 n,000.20 y220.397,s 22212(8 1)(7 1) 0.547,8 7 2wsss 且,160. 2)13( 05

17、. 0 t查查表表可可知知|7181| wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所所以以接接受受即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 第37页/共78页1 2 = 2tt1 2 1 2 1 2 1 2 tttt 11(2)wXYTSnmT nm2212(1)(1)2wnSmSSn m其中12, 22未知12 = 22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域第38页/共78页21211 , , ( ,),nX XXN 设为 来 自 正 态 总 体的 样 本 , 222121均均为为未未知知又又设设 , : , : 2222

18、22 1110HH需要检验假设需要检验假设:21222, , ,( ,), mY YYN 为 来 自 正 态 总 体的 样 本2212, ,. SS且 设 两 样 本 独 立 其 样 本 方 差 为3.两正态总体方差比的检验两正态总体方差比的检验第39页/共78页 , 0为为真真时时当当H22221122( )( ),ESES , 1为为真真时时当当H22221122( )( ),ESES , 1为为真真时时当当H2122 SS观察值有偏大或偏小的趋势2211122222 ,sskkss故拒绝域的形式为或 :的值由下式确定和此处21kk第40页/共78页21022, (1,1).SHFnmS当

19、 为 真 时根据抽样根据抽样分布定理分布定理知知2211122222SSPkkSS 为了计算方便为了计算方便, 习习惯上取惯上取21122,2SPkS212222SPkS1/221/2 (1,1), (1,1). kFnmkFnm故得第41页/共78页21/222(1,1)sFFnms 或检验问题的拒检验问题的拒绝域为绝域为上述检验法称为上述检验法称为F检检验法验法.211/222(1,1)sFFnms第42页/共78页解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖, 抽抽样检查测量砖的抗折强度样检查测量砖的抗折强度(公斤公斤), 得得到结果如下到结果如下:1122: 10,27.3,6.

20、4;: 8,30.5,3.8;nxSnyS第 一 批第 二 批已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验试检验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异有显著差异? (2)两批红砖的抗折强两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异度的数学期望是否有显著差异?)05. 0( 均均取取(1) 检验假设检验假设:2221122210:,: HH例例3第43页/共78页, 检检验验法法用用F, 0为为真真时时当当H2122 (1,1),SFF nmS统计量查表知拒绝域为查表知拒绝域为/2(1,1)FFnm1/2 (1,1),FFnm或221212

21、 10,8,40.96,14.44,nnSS由,82. 4) 7 , 9 (025. 0 F,283. 0) 9 , 7 (1) 7 , 9 (025. 0975. 0 FF第44页/共78页,837. 244.1496.40 F得得,82. 4837. 2283. 0 显显然然. , 0有有显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的方方差差没没所所以以接接受受 H(2) 检验假设检验假设:211210:,: HH, 检检验验法法用用t, 0为为真真时时当当H (2),11wXYtt n mSnm统计量第45页/共78页22212(1)(1) .2wnSmSSn m其中查表查表7-3知拒绝知

22、拒绝域为域为/2(2)ttn m,1199. 2)16() 2810( 025. 0025. 0 tt由由,418. 5,3575.291644.14796.4092 wwSS27.3 30.5 1.2455.418 0.4741 1wX YtSn m得,1199. 2 . , 0显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的期期望望无无所所以以接接受受 H第46页/共78页 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22(1,1)FF nm1(1,1)F Fnm关于方差比关于方差比 1 12 2 / / 2 22 2 的检验的检验2(1,1)FF nm或21(1,1

23、)FFnm1, 22122(1,1)SFSF nm 均未知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域第47页/共78页三、基于配对数据的检验（三、基于配对数据的检验（t t检验）检验） 有时为了比较两种产品，两种有时为了比较两种产品，两种仪器，或两种试验方法等的差异仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对）比试验，得到一批成对（配对）的观测值，然后对观测数据进行的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。为配对分析法。 例例9 比较甲，乙两种橡胶轮胎

24、的耐比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲，乙两种轮胎中各随磨性，今从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取机地抽取8个，其中各取一个组成个，其中各取一个组成一对。再随机选择一对。再随机选择8架飞机，将架飞机，将8对对轮胎随机地搭配给轮胎随机地搭配给8家飞机，做耐家飞机，做耐磨性实验磨性实验第48页/共78页飞行一段时间的起落后，测得轮飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位：胎磨损量（单位：mg）数据如下）数据如下：轮胎甲：轮胎甲：4900，5220，5500，6020 6340，7660，8650，4870轮胎乙；轮胎乙；4930，4900，5140，5700 6110，6880，7930，501

25、0试问这两种轮胎的耐磨性有无显著试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？差异？解：用解：用X及及Y分别表示甲，乙两种轮分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量胎的磨损量第49页/共78页假定假定 ，其中，其中 ，欲检验假设，欲检验假设2221），（），（222211NYNX211210：，：HH下面分两种情况下面分两种情况讨论：讨论：（1）实验数据配对分析：记）实验数据配对分析：记 ，则，则 ，由正由正态分布的可加性知，态分布的可加性知，Z服从正态分服从正态分布布 。于是，对于是，对 与与 是否相等的检验是否相等的检验YXZ2212 ）（，）（ZDddefZE)2 ,(2 dN12第50页/共78页t就变对

26、就变对 的检验，这时我们可的检验，这时我们可采用关于一采用关于一个正态总体均值的个正态总体均值的 检验法。将检验法。将甲，乙两种轮甲，乙两种轮胎的数据对应相减得胎的数据对应相减得Z的样本值为的样本值为：0d-30，320，360，320，230, 780，720，-140计算得样本计算得样本均值均值8221() /7 102200niiSZZ3208181 iiZZ2(0)/8 3208/ 102200 2.83ntZS第51页/共78页对给定对给定 ，查自由度为，查自由度为 的的 分布分布表得临界值表得临界值 ，由于，由于 ，因而否定，因而否定 ，即认为这种轮，即认为这种轮胎的耐磨性胎的耐磨

27、性有显著差异。有显著差异。718 05. 0 365. 2) 7 (025. 0 tt0H365. 283. 2 t（2）实验数据不配对分析：将两）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数种轮胎的数据看作来自两个总体的样本观测据看作来自两个总体的样本观测值，这种方值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假法称为不配对分析法。欲检验假设设211210 ：，：HH第52页/共78页我们选择统我们选择统计量计量）（ 12. 7221122(2)1)(1)X Ynmn mTn mnSnS （由样本数据及由样本数据及 可得可得5825,6145 yx821 nn211633900 8/7S 221053875 8

28、/7S 516. 07 .619/320 t第53页/共78页对给定的对给定的 05. 0 ，查自由度为，查自由度为16-2=14的的t分布分布 145. 214216025. 02/ tt 表，得临界值表，得临界值 ，由于，由于 14145. 2516. 0025. 0tt ，因而接受，因而接受 0H，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。第54页/共78页以上是在同一检验水平以上是在同一检验水平 05. 0 的分析结果，方法不同所得结果也的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到底哪个结果正确呢？下比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将面

29、作一简要分析。因为我们将8对对轮胎随机地搭配给轮胎随机地搭配给8架飞机作轮胎架飞机作轮胎耐磨性试验，两种轮胎不仅对试验耐磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也数据产生影响，而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此试验数对试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。对试验数据不做间耐磨性的差异。对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对配对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交织在一起，这是样本数据的影响交织在一起，这是样本 下采用不同方法下采用不同方法1

30、, ,nXX与样本与样本 1, ,mYY实际上不独立，因此，实际上不独立，因此， 第55页/共78页用两个独立正态总体的用两个独立正态总体的t检验法是检验法是不合适的。不合适的。有本例看出，对同一批试验数据，有本例看出，对同一批试验数据，采用配对分采用配对分析还是不配对分析方法，要根据抽析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。样方法而定。 第56页/共78页接受域置信区间1假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系第57页/共78页 假设检验与置信区间对假设检验与置信区间对照照22(,)x ux unn20 xun接受域置信区间检验统计量及

31、其在H0为真时的分布枢轴量及其分布 0 0（ 2 已知)0(0,1)XUNn（ 2 已知)(0,1)XUNn原假设 H0备择假设 H1待估参数第58页/共78页接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 0 0（ 2未知）0 (1)XTt nSn（ 2未知） (1)XTt nSn2)sx tn20 xtsn2(,sx tn第59页/共78页接受域置信区间2222221(1)(1)(,)(1)(1)nsnsnn22221022(1)nS检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 2 02 2= 02 2(未

32、知)22220(1)(1)nSn(未知)2222(1)(1)nSn第60页/共78页本节学习的正态总体均值的假设检本节学习的正态总体均值的假设检验有验有:检验检验检验检验的检验的检验单个总体均值单个总体均值t ;U. 1;tU. 321检验检验检验，检验，的检验的检验两个总体均值差两个总体均值差 ;t. 5检验检验基于成对数据的检验基于成对数据的检验正态总体均值、方差的检验法正态总体均值、方差的检验法见下表见下表 ) ( 显著性水平为显著性水平为 ; .2检验法检验法验法验法单个正态总体方差的检单个正态总体方差的检 2 ; .检验法检验法验法验法两个正态总体方差的检两个正态总体方差的检F4第6

33、1页/共78页 4)(未未知知22221212121 000)()()(/1222122121 nnttnnttnntt 2211121222211221 nnSnSnSnnSYXtww*)()( 0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(已已知知2000 )(未未知知2000 ),(已已知知2221212121 nXU/0 nSXtn/*0 222121nnYXU 000 000 0002/uuuuuu )()()(/1112 nttnttntt 2/ uuuuuu 32 1第62页/共78页70H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域),(未未知知21222122212221 )(成成对对数数

34、据据000 DDD nSDtD/0 000 DDD )()()(/1112 nttnttntt )( 未未知知 202202202 20221 *)(nSn 2221*SSF 202202202 222122212221 )()()()(/1111221222221222 nnnn 或或),(),(),(),(/11111111212121221121 nnFFnnFFnnFFnnFF 或或65第63页/共78页 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz)

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