第26章第12课时实际问题与二次函数(建立平面直角坐标系问题)

1、第12课时 实际问题与二次函数（3）（建立平面直角坐标系问题）【目标导航】1 .会建立直角坐标系解决实际问题；2 .会解决桥洞水而宽度问题；3 .经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的 经验，体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便.【要点梳理】1 .用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意：（1）建立恰当的平面直角坐标系：（2）善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式.2 .同一问题，所建立的直角坐标系不同，所得抛物线的解析式也 （相同或不同）.【问题探究】例1,（拱桥与抛物线）如图1是泰州某河上一座古拱桥的截而图，拱

2、桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物 线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁 上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图2）. （1）求抛物线的解析式.（2）求两盏景观灯之间的水平距离.图1图2变式：如图3,宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥而（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢 拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米，桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）是900 米，这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥而（视为 直线）的高度为0.5米，桥而离水面的高度为19米.请你计

3、算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉 索的长（结果精确到0.1米）.图3例2.（体育运动与抛物线）一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图4所示的二次函数图象表示.（铅球从囚点被推出，实线部分表示铅球所经过的 路线）由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式.求出铅球被推出的距离.（3）若铅球到达的最大高度的位置为点8,落地点为C,求四边形O48C的而枳.变式：某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图5,队员甲正在投篮，己知球出手时离地面高一 米，9与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地

4、而3米.建立如图5的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？此时，若对方队员乙在甲而前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获 得成功？图5【课堂操练】1 .拱桥呈抛物线形，其函数关系式为，=一彳X?,当拱桥下水位线在48位置时，水而宽为12m,这时水而离桥拱顶端的高度h是（）A. 3mB. mC. 4、/§ mD. 9m2 .某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地而3米高各有一个壁灯, 两壁灯之间的水平距离为6米，如图6所示，则厂门的高为（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 米）（）A. 6.9 米 B. 7.0 米 C. 7.1 米

5、D. 6.8 米图63 .以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为4 .有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水而宽度为20米，拱顶距离水而4米.如图7所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：（2）在正常水位的基础上，当水位上升6（米）时，桥下水面的宽度为d（米），求出将d表示为6的函数 解析式；（3）设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水而的宽度不得小于18米.求 水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行.图7【每课一测】一、选择题（每题15分，共30分）1 .你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛

6、物线.如图8所示，正在甩 绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的手水 平距离1米、2.5米处，绳子甩到最处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米则学生丁 的身高为（建立的平面坐标系如图所示）（）A. 1.5mB. 1.625m C. 1.66mD. 1.67m2 .在南非世界杯中，巴西队在某次训练中，一队员距离门12米处挑射，正好射中了 2.4米高的球门横 梁，若足球运动的路线是抛物线y=ax2+bx+c,如图9所示，则下列结论aV-'：6060（3）a-b+c>0：0VbV-12a,其中正确的是（）A. （DO） B. （1

7、）（4）C.（2X3） D.（2）（4）二、填空题（每题15分，共30分）3 .（2010甘肃兰州中考）如图10,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个 简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的 那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.图112m少 山不离A 标为应 从果距0>那图124 .如图11所示，一座抛物线型拱桥，桥上水面宽度是4m时，拱高 一艘木船宽2m,要能顺利从桥下通过，船顶与桥拱之间的间隔不 于0. 3m.那么木船的高不得超过 m.三、解答题（每题40分，共40分）5

8、.（2010山东日照中考）如图12,小明在一次高尔夫球争箱赛中， 坡下O点打出一球向球洞4点飞去，球的飞行路线为抛物线，如 考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平 为9米.已知山坡OA与水平方向。C的夹角为30。, 两点相距8 /米.（1）求出点A的坐标及直线04的解析式：（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式：（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入 点.【参考答案】【要点梳理】2.不同【问题探究】例1.分析：本题已经建立了平面直角坐标系，于是：（1）依题意可以求得抛物线的顶点坐标，这样可 以用顶点式设出抛物线的解析式：（2）由于桥洞两侧壁上各有一盆距离水而4m的

9、景观灯，也就是说两 景观灯的纵坐标都是4,这样利用（1）求得的抛物线的解析式得到一个一元二次方程，即可求解.解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（5, 5）,与y轴交点坐标是（0, 1）.4于是可设抛物线的解析式是y=Q（x-5） 2+5,把（0, 1）代入y=Q （x-5） ?5 令片0,即一；x2+ X+二=0,解得XF10, X2=2 （不合题意，舍去）.所以铅球被推出的距离是10 1233+5,得 =一一°.254所以所求抛物线的解析式为y = - （x-5）2 + 5（0式工W 10）.（2）由己知条件得两景观灯的纵坐标都是4,所以4 = 一士（'一5）2+5 ,

10、即（x 5）2=U,于是 254x= ,八=*.所以两景观灯间的距离为5米.2- 2变式：分析：本题看似复杂，但只要仔细理解题意，正确地建立坐标系，再运用二次函数的知识，即可 求解解：如图1,以桥而上位于主悬钢索最低点的正下方一点为坐标原点，以桥面所在的直线为X轴建立平而直角坐标系，则 4（0, 0.5）, B （-450, 94.5）, C （450, 94.5）.47由题意，设抛物线为y=a/+0.5.将C（450, 94.5）代入求得。=.101 250所以）= 取 “2+0 5.当x=350时，片574所以，离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约 101 250为57.4米.图1图2

11、说明：本题也可以这样来建立平面直角坐标系：如图5,以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于 桥面的直线为x轴建立平而直角坐标系.则8 （450, 94）, C （450> 94）.设抛物线为：y=ax2,将C（450, 94）代入求得：a = 一 .所以 y = X2.当 x=350 时，尸56.9,所以 56.9+0.5 = 101 250101 25057.4.所以离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米.例2.分析：本题考查从图象中获取信息能力.观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函 数表达式：在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x轴的交点

12、坐标，得铅球 被推出的距离：最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的而积.CQ1O解：设片Ax2+8x+C,已知图象经过（一2, 0）, （0,二），（2,）三点，由此可求得4二一一，B二二,33123-12 5所以 y二x2+ - x+ 123 3米.(3)作 8D«L0C,。为垂足.因为片 -!- (x2-8x-20) =(x-4) 2+3» 所以 8 (4, 3)；由得 C1212(10* 0 ). 所以 S 四边彩 qa8c= S wi?； oabd +SA 60czz x( +3) x4h x6x3=18 2323变式：分析：这是一个有

13、趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)、 和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式：判断此球能否准确投中的问题就是判断代 表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当户1时函数y的值与最大摸高 3.1米的大小.20解：由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为人(0, ), 8 (4, 4), C (7, 3),其中8是抛物线的顶点.设二次函数解析式为y=A (x-h) 2+k,将点4 8的坐标代入，可得y=-g (x4) 2+4.将点C的坐标代入上式，得左边=右边，即点C在抛物线上.所以此球一定能投中.将x=l代入函数式，得片3

14、.因为3.1>3,所以盖帽能获得成功.【课堂操练】1 . D2 . A 提示：建立如图所示的平面坐标系，根据题意知A (-4, 0)、B (4, 0)、C (3, 3)、D (-3, 3),3设抛物线的解析式为：户0(k4) (x+4),则有3= a(3-4) (3+4),解答。二一二，所以 7334848尸-二(x-4)(x+4)二-二W+一，又因为一26.9米，所以厂门的高约6.9米，选A.77773 . y=ax24 .解：(1)由所建坐标系所示，设抛物线的解析式为片QX2;在正常水位时，8点坐标为(10, -4).，-4=102°.，该抛物线的解析式为尸_乂2 2525

15、(2)当水住上升h米时，。点的纵坐标为Y4f).设D点的横坐标为x,则有-(4f)= -x2, A 25x= 5j4-/? , /. d=2 |,v|=10 J4-4 (3)当桥下水而宽为18米时，得18=10 J4-.，和4-一二076.又2+0. 76=2.76(米)，25即桥下水深超过2. 76米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行.【每课一测】1. B提示：设所求函数的解析式为广axbx+c.由己知，函数的图象过卜1, 1)、(0, 1.5). (3, 1)三iiq点，易求得其解析式为片x?+2x+二.因为丁头顶的横坐标为L5,代入其解析式可求得其纵坐标为 6321.625. 因此，丁得

16、身高为1.625米.故选B.2. B 提示：把点(0, 2.4). (12, 0)代入解析式得 c=2.4, b=-12a-0.2.故 b<-l2a.又抛物线开口向下，故。<0.且对称轴x=2>0,故b>0.即0<b<-12a,2a因此正确.又因144a+l2b=24且b>0,故144aV24.因此a<-意，因此正确.因此，应选B.3. 0.5提示：建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y =+4(0.5,.1.5), 8(2, 0),0(0, 0),所以。=2, b = -4, c=0,所以解析式为y=2x2-4x,所以顶点坐标为(1, -2

17、),即最低点距地 面的距离为2.5-2=0.5米.设抛物线的解式为尸才+2.把8 (2, 0)代入式中，得0=4a+2=-L, y=-x：+2.2213设木船MNPH正中央通过，OA/=lm, /V的坐标为(1, 0).当x=l时，尸- Xf+2二二，即Q的坐标为 22333(1,二).就是QN二二m.PN二二-0.3二1.5-0.3=1.2,即该船要顺利通过拱桥,船的高度不得超过L 21n. 222OC= y/OA2-AC2 = ,(8后-(4同=2 .5.解：(1)在 RtZVUX 中，V ZAOC=30 " , 04二8百，/.AC= OA = X8a/3 =4/3 , 22点4的坐标为(12, 473 ).设。八的解析式为y=kx,把点A (12, 473 )的坐标代入得：4jJ=12k，:k£ ,3：.0A的解析式为尸