多元函数微分法的应用PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停一、一、几何应用几何应用第1页/共43页)(00 xxt)( )(00yyt)(, )(, )(:tztytx切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设)(0t)(0t)(0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 TM切线的方向向量:)(, )(, )(000tttT称为曲线的切向量切向量 .法平面方程法平面方程 0)(00zzt第2页/共43页

2、zyxo求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),0,(kRT, 故第3页/共43页02.:cos,2sincos ,tuxeud uytt例求曲线.程程处的切线和法平面的方处的切线和法平面的方在在013tezt.)(,)(,)(302010zyx, ),(.21000Mt 解解,sincos,costtezttytex332. ),

3、(:321t切向量切向量,:32211zyx切线方程切线方程,)()(:02312zyx法平面方程法平面方程.0832zyx或或第4页/共43页(2) 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF曲线上一点),(000zyxM处的切向量为 xyzxyzMijkTFFFGGG第5页/共43页0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. (,)xyzMF F F解解 令,222zyxGzyxF则切向量(,)(1,1,1);xyzMG G G(2 ,2 ,2 )Mxyz(2, 4,2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 242(6,

4、 0, 6)111ijkT 第6页/共43页切线方程121zyx606即0202yzx法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx第7页/共43页0),(:zyxF设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM任意引光滑曲线MT可以证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 过点 M 与切平面垂直的直线称为法线法线n第8页/共43页)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz)

5、,(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共43页)( ),(000 xxyxfx时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令000(,)xyz 在点)( ),(000yyyxfy,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 的法向量法向量0000(,),(,),1)xynfxyfxy0()0zz第10页/共43

6、页3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以曲面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n第11页/共43页.2 ,2xyzx zy解PPyxn),(122,),(124041224)()()(:zyx切切平平面面0624zyx或或.:142142zyx法线方程法线方程225.1(2,1, 4)zxyP例求旋转抛物面

7、在点.处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程第12页/共43页,.32yxezFz解解0002112)()()(:zyx切平面切平面042 yx或或,:001221zyx法线法线6.23(1, 2, 0)zzexyP例求曲面在点处的.切平面及法线方程切平面及法线方程),(),(,021021122zexyn, ),(024, ),(012n取取0320yxz或或第13页/共43页.0002zyx或或2227.2321xyz例求曲面平行于平面.的切平面的方程的切平面的方程064zyx,),(.为曲面上的切点为曲面上的切点设设解解000zyxP000(2, 4, 6)nxyz法向量,由于切平面平

8、行于已知 平面00020202022132zyxzyx,664412000zyx所以所以221221000000zyxorzyx第14页/共43页, ),(:3211P切点切点, ),(:641n法向量法向量, ),(3212P:两张切平面两张切平面221221000000zyxorzyx064zyx平面平面,)()()(0262411zyx.)()()(0262412zyx:化简得化简得,021641zyx.021642zyx第15页/共43页1. 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx

9、163202020zyx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)第16页/共43页0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl第17页/共43页l),(zyxP定义定义: 若函数),(zyxff0lim则

10、称lflf为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P记作记作 二、方向导数与梯度二、方向导数与梯度第18页/共43页,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微 , 得机动 目录 上页 下

11、页 返回 结束 P故coscoscoszfyfxf第19页/共43页机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxPflcos),(cos),(yxfyxfyxPlxyoxflf特别特别: 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角第20页/共43页在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l

12、 的方向余弦为第21页/共43页从点P(1, 0)到点223yyxz(2, 1)Q的方向导数.解解:Plz1cos,232 (1, 1)lPQ 162xy21(32 )2xy(1,0)1cos2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共43页方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfG,:G第23页/共43页, fadrg即grad( , , )f x y z同样可定义二元函数),(yxf),(yxPgrad( , ),fffff x yijxyxy称为函数 f (P)

13、在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G说明说明:的方向为函数增大最快的方向向量grad fmax( , , )fgradf x y zl第24页/共43页例例3. 设函数222( , , )23326f x y zxyzxyxyz 求梯度梯度(0,0,0),(1,1,1)gradfgradf解解:grad( , , )f x y zzfyfxf,23, 42, 66xyyxz(0,0,0)(3, 2, 6)gradf(1,1,1)(6,3,0)gradf第25页/共43页例例4. 设函数2( , )yf

14、x yxe0,(1,0)P求函数在点0(1,0)P增加最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。解解:沿梯度方向函数增加最快沿梯度方向函数增加最快所求方向为所求方向为(1,0)grad(1,0),fflfxy22(1,0), 2(1,2)yyexe(1,0)fgradflfx5第26页/共43页例例5. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: (1)12 ,lnzzxyzfx fzyfyy曲线 12 32tz

15、tytx在点M (1,1,1) 处切线的方向向量l)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx第27页/共43页)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数143210262626 (2) grad(1,1,1)(2,1, 0)f第28页/共43页xyz定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf

16、或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、极值的定义及求法、极值的定义及求法第29页/共43页说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机

17、动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共43页时, 具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共43页求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在

18、点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共43页在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不

19、是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共43页第二步第二步 求驻点求驻点定解第一步 找目标函数, 确定定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 由问题的实际背景可知最值在区域内部取得, 且只有一个只有一个驻驻点P 时, 则)(Pf为最小 值( (大大) )第34页/共43页解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxy

20、xy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共43页极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共43页例例3.22( , )12xf x yxyy求在条件下的极值解解: 由约束条件有由约束条件有12xy 得：22(1)2xfx2514xx2524()455x故24,1525xxy 时，函数有极小值222 4244( , )5 5555f第37页/共43页,0),(下在条件yx步骤：2.解方程组，求驻点.),(的极值求函数yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.引