复变函数第8讲PPT学习教案

1、会计学1复变函数第复变函数第8讲讲2重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数第1页/共29页3复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质解解析析在在0)(zzf为复常数为复常数 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数)(zfann为函数为函数第2页/共29页4 , 0 数数相应地都能找到一个正相应地都能找到一个正如果任意给定如果任意给

2、定 , ),(时成立时成立在在使使NnNn 记作记作 , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba设设an(n=1,2,.)为一复数列为一复数列, ,则则a称为复数列称为复数列an当当n时的时的极限极限,此时也称复数列此时也称复数列 n收敛收敛于于 .nnlim第3页/共29页5 nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和1) 定义定义an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列为一复数列,第4页/共29页60lim1 nnnn 收敛收敛都收敛都收敛与与收敛收敛 111nnnnnn

3、ba 充要条件充要条件必要条件必要条件 ,1收敛收敛那末级数那末级数 nn 如果部分和数列如果部分和数列sn收敛收敛,.,.lim,11发散称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数nnnnnnnsss第5页/共29页73)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn .111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛第6页/共29页811)1;2)cosinnneninn第7页/共29页91111cossin111cos,1sin.lim1

4、,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben数列收敛,且有第8页/共29页10第9页/共29页1110111)1;(8 )2);!( 1)13)2nnnnnninninin第10页/共29页12解解 1) 因因故原级数发散故原级数发散.111nnnan2111nnnbn第11页/共29页13因因, 由由敛敛.(8 )8!nninn18!nnn第12页/共29页141( 1)nnn112nn1( 1)nnn第13页/共29页15)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n , ),

5、2 , 1()( 为一复变函数序列为一复变函数序列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 . )(1 nnzf第14页/共29页16 1) 在复变函数项级数中在复变函数项级数中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,0时时当当 a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(第15页/共29页17-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz

6、 , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)收敛定理第16页/共29页18(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除0 z外都发散外都发散.第17页/共2

7、9页19在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意xyo. .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径第18页/共29页20nnnzzzz201)1( ,1112zzzzzzsnnn第19页/共29页21nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当第20页/共29页22方法方法1 1: 比值法比

8、值法方法方法2: 根值法根值法那末收敛半径那末收敛半径 ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R第21页/共29页231) 31nnzn(并讨论在收敛圆周上的情形); 2) 1(1)nnzn(并讨论 z=0,2 时的情形); 3) 0(cos)nnin z 第22页/共29页24解 1) 因为31limlim12nnnncncn, 或 3311lim |limlim1nnnnnnncnn 所以收敛半径 R=1, 也就是原级数在圆|z|=1内收敛, 在圆周外发散. 在圆周|z|=1 上, 级数33111nnnznn是收敛的, 因为这是一个 p

9、级数, p=31, 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. 第23页/共29页252) 1limlim11nnnncncn, 即 R=1. 在收敛圆|z1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为11( 1)nnn, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为11nn, 发散. 这个例子表明, 在收敛圆周上即有级数的收敛点,也有级数的发散点. 第24页/共29页263) 因为1cosch()2nnncinnee, 所以 111limlimnnnnnnnnceeecee 故收敛半径1Re 第25页/共29页27.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000n

10、nnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 第26页/共29页28如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当Rz 时时, 0.)()(nnnzgazgf复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性 00)(nnnzzc（定理四）（定理四）设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为,R那末那末是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 00)()(nnnzzczf,)(zf