余弦定理(二)

1、。余弦定理 ( 二) 学习目标 1. 熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2. 能应用余弦定理判断三角形形状.3. 能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.知识点一正弦定理及其变形abc1. sin A sin B sin C2R .2. a 2Rsin A，b 2Rsin B， c2Rsin C.知识点二余弦定理及其推论1. a2b2c2 2bccos A， b2 c2a2 2cacos B， c2 a2b2 2abcos C.b2 c2a2c2 a2 b2a2b2 c22.cos A2bc， cosB2ca， cos C2ab.3. 在 ABC中， c2 a2 b2? C

2、为直角， c2>a2 b2? C为钝角； c2<a2b2? C为锐角 .知识点三正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是.(1) 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角；(2) 已知两角和一边，求其他角和边；(3) 已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角；(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.答案(2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状2Ba c例 1在 ABC中， cos 2 2c ，其中 a、 b、 c 分别是角A、B、 C 的对边，则 ABC的形状为 ()A. 直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C. 等腰直角三角形D.正

3、三角形答案A解析方法一在 ABC中，由已知得。1。1 cos B1 a222c，a a2 c2 b2 cos B c 2ac ，化简得 c2 a2 b2.故 ABC为直角三角形 .asinA方法二原式化为cos B c sinC， cos Bsin Csin A sin( B C) sin Bcos Ccos Bsin C， sin Bcos C0， B (0 ， ) ， sin B 0， cos C 0，又 C (0 ， ) ， C 90°，即 ABC为直角三角形 .跟踪训练 1在中， 60°， 2ac，则三角形一定是 ()ABCBbA. 直角三角形B.等边三角形C. 等

4、腰直角三角形D.钝角三角形答案 Ba2 c2 b2解析由余弦定理cos Bac，21 a2 c2ac代入得 22ac， a2c22ac 0，即 ( ac) 2 0， a c.又 B 60°， ABC是等边三角形 .题型二正弦、余弦定理的综合应用例 2在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 1a，b，c，且 a>c，已知 BA 2， cos B ，·BC3b 3，求：(1) a 和 c 的值；(2)cos(B C) 的值 . 解(1) 由 BA·BC 2 得， cacos B 2，1又 cos B 3. 所以 ca 6.由余弦定理得a2 c2 b2 2ac

5、cos B.。2。又 b3，所以 a2 c2 92× 6× 13 13.ac 6，解a2 c2 13得 a 2， c 3 或 a 3，c 2.因为 a>c，所以 a 3， c 2.(2) 在 ABC中， B (0 ， ) ，sin 1cos212221.BB33c 22242由正弦定理得， sin Cbsin B3× 3 9 .因为 a b>c，所以 C为锐角，因此 cos C2C142 271 sin9 9.17224223于是 cos( B C) cos Bcos C sinBsinC 3×93 × 927.跟踪训练2在 ABC

6、中，内角A， B， C对边分别为a， b， c，且 bsinA3acosB.(1) 求角 B；(2) 若 b 3， sin C 2sin A，求 a， c 的值 .解 (1) 由 bsin A 3acos B及正弦定理，得 sin B 3cos B，即 tan B3，因为 B是三角形的内角，所以B3.(2) 由 sinC 2 sinA 及正弦定理得， c 2a.由余弦定理及 3，得 922ac 2 cos，bac3222即 9a 4a 2a ，所以 a3， c 23.22a bsinA B证明 在 ABC中，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A，b2 a2 c22accos B，

7、a2b2b2 a2 2bccos A 2accos B， 2( a2 b2) 2accos B 2bccos A，即 a2b2accos B bccos A，。3。a2b2acosBbcosAc2c.由正弦定理得asinAbsinBc，sin，sinCcCa2 b2sinAcosB cosAsin Bsin A Bc2sinCsin C ，故等式成立 .跟踪训练3 在 ABC中，若 acos2C2A3b ccos，求证： a c 2b.222解由题(1 cos) (1 cos)3 ，aC cAb即aa2b2 c2b2 c2 a2，·· 3a2abcc2bcb 2ab a2

8、b2 c2 2bc b2 c2a2 6b2，整理得 ab bc 2b2，同除 b 得 a c 2b，故等式成立 .忽略三角形中任意两边之和大于第三边例 4已知钝角三角形的三边BCa k， AC b k2， AB c k 4，求 k 的取值范围 .错解 >>，且为钝角三角形，c b aABCC为钝角 .由余弦定理得 cos Ca2b2 c2k2 4k 12<0.22k k2ab k24k 12<0，解得 2<k<6， k 为三角形的一边长， k>0， 由 知 0<k<6.错因分析忽略隐含条件k k2>k 4，即 k>2.正解 c&

9、gt;b>a，且 ABC为钝角三角形，C为钝角 .2222由余弦定理得 cos ab ck 4k 12<0，C2ab2k k2 k24k 12<0，解得 2<k<6， 由两边之和大于第三边得k ( k2)> k 4，。4。 k>2， 由 可知 2<k<6.误区警示在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 .跟踪训练 4 若为钝角三角形，三边长分别为2,3 ，则x的取值范围是 ()ABCxA.(1 ， 5)B.(13， 5)C.(5， 13)D.(1 ， 5) (13， 5)答案D22 32 x2解

10、析(1) 若 x>3，则 x 对角的余弦值2× 2× 3 <0 且 23>x，解得13<x<5.22x2 32(2) 若 x<3，则 3 对角的余弦值2×2× x <0 且 x 2>3，解得 1<x<5.故 x 的取值范围是 (1 ， 5) (13， 5).1.在 ABC中， bcosAacos B，则 ABC是 ()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形2.在 ABC中， sin 2A sin 2C sin2BsinCsinB，则 A等于()A.60 °B.

11、45° C.120°D.30°sinB3.在 ABC中， A 120°， AB 5， BC7，则 sinC的值为 ()A.8B.5C.5D.358354.已知锐角三角形的边长分别为1,3 ， a，则 a 的范围是 ()A.(8,10)B.(22， 10)C.(2 2， 10)D.(10， 8)25. 在 ABC中，若 b 1，c3， C，则 a.3。5。6. 已知 ABC的三边长分别为2,3,4 ，则此三角形是三角形 .一、选择题1. 在 ABC中，有下列结论 若 a2>b2 c2，则 ABC为钝角三角形； 若 a2 b2 c2 bc，则 A 为

12、60°；222 若 a b >c ，则 ABC为锐角三角形； 若 A B C1 2 3，则 ab c 12 3.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.42.在 中，已知a 2，则bcoscosB等于 ()ABCC cA.1B.2C.2D.43.如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为()A.5B.3C.3D.7184284.已知锐角 ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c, 23cos 2A cos 2A 0，a 7，c6，则 b 等于 ()A.10B.9C.8D.55.在 中，分别为角， ，的对边，且b2ac，则B的取值范围是 ()ABCabcA BCA.(0 ，3B.3，)C.(0， 6D.6， )6.若 的内角， 所对的边，满足(a )2c