对数函数与指数函数的导数PPT学习教案

1、会计学1对数函数与指数函数的导数对数函数与指数函数的导数一、复习与引入：1. 函数的导数的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则.4.复合函数的导数公式.5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函数的可导性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数在其定义域内都是连续而且可导.第1页/共17页二、新课指、对函数的导数：1.对数函数的导数:.1)(ln) 1 (xx 下面给出公式的证明,中间用到重要极限.)1(lim10exxx

2、证:);1ln(lnln)ln(,ln)(xxxxxxxxyxxfy ,)1ln(1)1ln(1)1ln(1xxxxxxxxxxxxxxy .1ln1)1(limln1)1ln(lim1lim000 xexxxxxxxxyyxxxxxxx 第2页/共17页.log1)(log)2(exxaa 证:利用对数的换底公式即得:.log1ln1)lnln()(logxexaaxxaa 2.指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx 由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明,直接拿来使用.第3页/共

3、17页三、例题选讲：例1:求下列函数的导数: (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x21x 解:(1).13234) 132 (1321222 xxxxxxxy(2)法1:.1lg11lg)1(1lg22222 xexxxxexxey(2)法2:);1lg(211lg22xxy .1lg)1 (1lg21222 xexxxey(3).3sin33cos2()3sin3(3cos2222xxexexeyxxx (4).ln5)5(ln55aaxaayxx 第4页/共17页例2:求下列函数的导数:;)1(22xxxxeeeey ;)( ;2

4、2)(2xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeey 解:.)1 ()1 (2)()(22222xxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeey )1, 0()2(1cos aaayx解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:.1sinln)1()1sin(ln)(1cos221cosxxxvuuaxxaxxaavuay 第5页/共17页)1ln() 3(2xxy 解:.11) 121121(11)1(1122222xxxxxxxxxy xxxy21ln)4( 解:函数的定义域为.ln)1ln(), 0(2xxxy xxxxxy1)1(1122 xxxxx1)1 (11211 1122

5、2 .1111)1221(11222xxxxxxx 第6页/共17页例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: (1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex) .2xe )(xfe解:(1).(ln1)(ln)(ln )(lnxfxxxfxfy (2).(2)()()()()( )(22222222xxxxxxxefxexeefeefefy (3).()()()()()()( )()()()()()(xfefeefexfeefeeefeefeefyxxxxfxfxxfxxxfxxfx 解此类题应注意:(1)分清是由哪些函数复合而成的.(2)用逐步的方法来进行求导.

6、第7页/共17页练习1:求下列函数的导数:xxxyxyyyxxlnsin)sin(ln) 4(ln1) 3 (2) 2(;2) 1 (3log1答案:.22ln) 1 (12xxy.3ln2ln2)2(3logxyx.ln121) 3 (xxy.lncos)cos(lnsin)4(xxxxxy第8页/共17页例4:设一质点的运动规律为 为 常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0. ,),sin(2 test解: )sin()sin()(22 tetesvttt)()cos()sin()2(22 ttettett).cos()sin(222 tetett故当t=1/2时,质点运动速度v0为:)

7、.2cos()2sin(21|210 esvt第9页/共17页例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0). 1ln1ln)(lnln xxxxxxxxy故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0).所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0.练习2:分别求曲线y=logxe; 在点(e,1)处 的切线方程.xeyexln 延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的 最小

8、距离.答案:.22第10页/共17页四、小结：(1)对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较 难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公式.(2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对 数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性.(3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再 求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则进行求导.第11页/共17页aaxxaaxxyxxxxy2222ln22)7() 1ln(1ln)6(.) 1(ln)6(2xxy.)7(22axy2211ln)5(xxy.12)5(4xxy第12页/共17页例6:求下列函数的导数:(

9、1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).解:(1)两边取对数,得lny=xlnx.由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边对x求导,可得:).1(ln),1(ln,1ln1 xxyxyyxxxyyx(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:;)()()()(ln)(1xfxfxgxfxgyy )()()()(ln)(xfxfxgxfxgyy .)()()()(ln)()()(xfxfxgxfxgxfyxg 说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, y=f(x),则).(1xfyyuuxyx 第13页/共17页(2)本题用的求

10、导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数:形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函数,取对数后,可 将积转化为和的形式,或 ,取对 数后,可转化为代数和的形式.)()()()(11nnbxbxaxaxy 无理函数或形如y=f(x)g(x)这类幂指函数.(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).例如我们利用上面例题中的(2)可知中的n的范围可以扩大到全体实数.)()(1Qnnxxnn 又如下面一题我们就有两种不同的解法:第14页/共17页方法二:由于y0,故可以两边取对数.).1ln()1ln(21ln)11ln(lnxxxxxxy );111(111)1111(21122xxyyxxxxxyy .1111)1 (1112222 xxxxxxxxxxxxy题目:已知0 x0,故两边取对