参数估计习题课复习课程

1、参数估计习题课精品资料第21讲 参数估计习题课教学目的：1.通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法；2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性；3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。教学时数：2学时。教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计用各阶样本原点矩V - ° Xik作为各阶总体原点矩EXk的估计，k 1,2,。若有n i 1参数g(E(X), E(X2)J|,E(Xk)，则参数 的矩估计

2、为nnn?(- Xi,- X：,，- X；)。n i=1 n i=1n i=12. 最大似然估计似然函数L( )f(Xi；)，取对数InL()，从 世Q=0中解得 的最大似然估i 1d计？。3. 无偏性，有效性当E ?时，称？为的无偏估计。当D? D ?时，称估计量？比？有效。二、典型例题解析xc1设f (x) e ，x ，求的矩估计 , x解EXxe0xdx,设 u1 1x,x u,dx du则EX1ue u(_du)01uue10 o e udu 0(e)0=1故 丄，所以？ 1 。EXx2.设总体X在a,b上服从均匀分布，求a和b的矩估计。解由均匀分布的数学期望和方差知1E(X) -(a

3、 b)2(1)D(X) 112(b a)2(2)1由(1)解得b 2EX a，代入(2)得DX (2EX 2a)2， 整理得121 2DX (EX a)，解得3a E(X) ,3D(X)b E(X) J3D(X)故得a,b的矩估计为<? x 3 ?2i? x J371 n其中?2 1 (Xj x)2 on i 1x3设总体X的密度函数为f(x； )，求 的最大似然估计。x!4.解得n设 L( ) f(x,)1In L()d In L()d设总体X的密度函数计。L(In L(d In L(dnXi1 e n(Xi!)(X2!).(Xn!)n(X)Ini 1nIn (Xi!)i 10,1 n

4、Xi Xn i 1f(x,)a)Xa"（a已知）,求参数的最大似然估nf(Xi,)(XiX2.Xn)1enXiai 1n Inn In aaXi(an1)InXii 1naXii 15.的两个独立的无偏估计量，且假定 D ? 2D ?，求常数c和d，使？c? d?为 的无偏估计，并使方差D ?最小。解由于 E? E(c? d?) cE? dE ? (c d),且知 E?，故得 c+d=1 又由于D ? D(c? d ?2) c2D? d2D? 2c2Dd2D ? (2c2 d2)D ?并使其最小，即使f 2c2 d2，满足条件c+d=1的最小值。令 d=1-c，代入得 f 2c2 (

5、1 c)2， fc' 4c 2(1 c) 0, 6c 2 012解得 c 一, d 1 c 。337. 设某电子元件的寿命服从正态分布 N( , 2),抽样检查10个元件，得样本均 值x 1200(h)，样本标准差s 14(h)。求(1) 总体均值 置信水平为99%的置信区间；(2) 用x作为 的估计值，求绝对误差值不大于10( h)的概率。解(1)由于 未知，s=14( h),根据求置信区间的公式得(X亠t (n 1),X -t (n 1).n 2. n 迈(12001414t°.005(9),1200 t°.005(9)、10 10查表得to.oo5(9) 3.

6、25，故总体均值置信水平为99%的置信区间为(1200 14.388, 1200 14.388)(1185.612, 1214.388)P(X10) P(-X乎)P(t (n1)10而、 寸)sJn珀'nP(t(9)2.2588)P(t(9)t0.025 (9)1 21-0.05=0.952)的一个样本，确定常数c的值，使8.设X1,X2,.,Xn为正态总体N(仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7解n 12EQ c (人 1 xji 1n 12 c E(Xi 1)i 1n 12 c E(Xi 1)i 1由于 E(x ) EXin 1Q c (x 1 Xi)2为2的无偏估计i

7、1n 12C E(x 1) (Xi)i 122(X 1)(Xi) (Xi)22E(x 1 )E(x ) E(Xi)0,所以有精品资料n 1n 1EQ c DXj 10 DxJ c (2 2) c2(n 1)i 1i 1由EQ（无偏性），故有2c（n1)1，所以c12(n 1)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9二、计算题解.设滚珠的直径为X,平均直径为卩，均方差为0：由矩估计法可知1.某工厂生产滚珠.从某日生产直=5(2) = X的产品中随机抽取9个,测得直J径（单位：mm）如下：x 丄 W - A (1461 十 148) - 1451而14.6 14.7 15.1 14.9 15.

8、014.8 15.1 15.2 14.8玄14.91.用矩估计法估计该日生产的滚 珠的平均直径和均方差.£ 丄文仙一疔丄(146-1491)'4(414一91屮=0.03654,二二 I 丿11解.设(Xi, X2,；Xn)是来自X的一样本.由极大似然估计原理；参数B的似然函数为：=1冃2.设总体X的密度函数为上式两边取对数似然方程为din L(&)O<A<1心1 6其他3J其中(B>0)；求B的极大似然 估计量.10/；(昭=相111旧 + (日1)£10方；5-1解似然方程得B的极大似然估计量是匕l：i .i=i3.设总体X的密度函数为

9、解.设(Xi； X2；;Xn)是来自X的样本.(1)由矩估计法0<z<l其他求a的极大似然估计量和矩 估计量.Eg =jJ(®+ l)Aa4L<k即参数a的矩估计量是精品资料& = = -21-Z.(2)由极大似然估计原理,参数a的似然函数为,i =13-1上式两边取对数In£2 十 1）十&i=l似然方程为da1 E=i解似然方程得到参数a的极大似然估计量是柱=_.i=l仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢15设 f（X）e x, x 00, x 0,求的矩估计。EX 0xe Xdx,设 u1 1 x,x u,dx du则EXue

10、 u(du)1 ueuu100 e du 0(e)故Ex，所以? I3. 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这 100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10, P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数2 22101673 612310观察到石灰石的样品个数解：入的极大似然估计值为P=X =0.499(1)f(x)0cex (0 1) ,x c0,其它(2)f(x) 0 x 0 1,0 x 1 0,其它.4.

11、设 X1, X1,，Xn为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量其中c>0为已知，41，B为未知参数其中6>0，B为未知参数。解（1）似然函数L(B)f (Xi)i 10ncn 0 (xx2Xn)ln L(0)n ln( 0) n 01n c(10)i 1ln Xi,d In L(0)d0n In cIn xii 1nln c（解唯一故为极大似然估计量）(2)L(0)nf (Xi)i 1n0 ° (x1x20 1Xn),l nL(0)-n¥ln(0)( .一 01) lnxi2i 1d ln L(0)n1 1nln Xi0,i 10 (nln xi )

12、2。（解唯一）故为极大似然估计量。d 020 2. 0In xii 16.设样本X1,X2,|Xn来自总体XN（u,0.25），如果要以99.7%的概率保证X u0.1，试问样本容量n应取多大？解：X = n（0,1）。现要求使P X u 0.1 pjx 二 0.2Vn 2 （0.2亦）1 0.9970.5/ Jn即（0.20.9985，查表得，（0.2'匸）2.96，所以n=219，即样本容量为219。8. 设总体X具有分布律X123Pk仔 2 0(10)(10) 2其中0 （0< 0 <1）为未知参数。已知取得了样本值 x1=1，x2=2，x3=1，试求0的 矩估计值和最大似然估计值。解：（1）求0的矩估计值精品资料E(X) 1 e2 2 20(1e) 3(1 e)