概率论与数理统计课件

1、在实际问题中在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变量一个随机试验往往用几个随机变量整体地讨论其结果整体地讨论其结果. 如射击时考虑子弹在靶标上如射击时考虑子弹在靶标上的位置的位置, 我们我们用定义在同一个样本空间用定义在同一个样本空间上的两上的两个随机变量个随机变量 X 和和 Y 分别表示子弹在靶标上的横坐分别表示子弹在靶标上的横坐标与纵坐标标与纵坐标, 则子弹在靶标上的位置可用二维随则子弹在靶标上的位置可用二维随机变量或二维随机向量（机变量或二维随机向量（X，Y）表示）表示.定义定义1.1 设设是随机试验是随机试验E的样本空间的样本空间,在样本空间在样本空间上定义两个随机变量上定义两个随

2、机变量X和和Y, 即对任意的即对任意的e , 都都赋予实数赋予实数X(e), Y(e), 我们称向量（我们称向量（X，Y）为）为二维随二维随机变量机变量或或二维随机向量二维随机向量. 类似地可定义类似地可定义三维随机变量三维随机变量以及任意以及任意有限维随有限维随机变量机变量. 我们把二维及二维以上的随机变量称为我们把二维及二维以上的随机变量称为多多维随机变量维随机变量. 本章主要讨论二维随机变量本章主要讨论二维随机变量,其结果只其结果只要形式上加以处理要形式上加以处理, 可以推广到三维或三维以上的可以推广到三维或三维以上的随机变量随机变量.定义定义1.2 设设(X,Y)为为二维随机变量二维随

3、机变量, x,y为任意的实为任意的实数数, 则称二元函数则称二元函数)()(),(),(yYxXPyYxXPyxF 为为 (X,Y) 的的分布函数分布函数或或X和和Y的的联合分布函数联合分布函数. . ,| ),( ),(),(),( ,),(概概率率内内的的矩矩形形区区域域落落在在处处的的函函数数值值就就是是随随机机点点在在点点布布函函数数则则联联合合分分坐坐标标的的看看成成平平面面上上的的随随机机点点如如果果把把yvxuvuGYXyxyxFYX 性质性质1 对任意的对任意的x和和y ,有有0F(x,y) 1; 性质性质2 F(x,y)关于关于x和和y都是单调不减的都是单调不减的. 证明证明

4、 对任意的对任意的 和和y,因为因为所以所以即即同理可证同理可证,对任意的对任意的x 和和有有21 xx ),(X),(X 21yYxyYx ),(X),(X 21yYxPyYxP ),(),( 21yxFyxF )()( 21x,yFx,yF 21 yy 性质性质3 对任意的对任意的x和和y ,有有 0),(),(lim yxFyFx0),(),(lim yxFxFy0),(),(lim yxFFyx1),(),(lim yxFFyx?),(),(lim yxFFyx不一定不一定,留给有兴趣的同学课后思考留给有兴趣的同学课后思考但但性质性质4 F(x,y)关于关于x和和y都是右连续的都是右连

5、续的. ),(), 0(),(lim0yhxFyxFyxFh ),()0,(),(lim0hyxFyxFyxFh 0),(),(),(),(),( 112112222121 yxFyxFyxFyxFyYyxXxP性质性质5 对于任意的对于任意的,有有即二元函数即二元函数F(x,y)是是矩增矩增的的2121 , yyxx ? ),()0, 0(),(lim)0,0(),(tysxFyxFyxFts 定义定义2.12.1 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)的可能取值是有的可能取值是有限组或可列无限组限组或可列无限组 则称则称(X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量, ,将将(X,

6、Y)取每组值的概率取每组值的概率, 3 , 2 , 1, ),( jiyxji称为二维离散型随机变量称为二维离散型随机变量(X,Y)的的联合分布律联合分布律. ., 3 , 2 , 1, ,),( jipyYxXPijji).()(),( ,)()(),( jijijijiyYxXyYxXyYxXyYxX 即即积积事事件件的的与与表表示示事事件件记记号号二维离散型随机向量二维离散型随机向量(X,Y)(X,Y)的分布律表的分布律表ijiiijjjpppxpppxpppxyyyYX2122221211211121解解 (X,Y)的可能取值为的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)

7、,则则(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为例例1 袋中有袋中有2个黑球个黑球3个白球个白球,从袋中随机取两次从袋中随机取两次,每每次取一个球次取一个球,取后不放回取后不放回.令令求求(X,Y)的联合分布律的联合分布律. 第二次取到白球第二次取到白球第二次取到黑球第二次取到黑球第一次取到白球第一次取到白球第一次取到黑球第一次取到黑球, 0, 1 , 0, 1YX2064353)0, 0( YXP2064253)1, 0( YXP性质性质1 证证 所以所以 性质性质2 证证 , 1),(0 jiyYxXP因为因为10 ijp10 ijp1111, ijijjiijpp1)(),(1111 PyY

8、xXppijjiijij证证 性质性质3 联合分布律完全反映了联合分布律完全反映了(X,Y)的概率性质的概率性质:设设G是一平面区域是一平面区域, 则则即随机点即随机点(X,Y)落在区域落在区域G上的概率是上的概率是(X,Y)在在G上取上取值所对应的概率之和值所对应的概率之和. GyxijjipGYXP),( ),() ),( (),(),(GyxjijiyYxXPGYXP GyxijGyxjijijipyYxXP),(),( ),( 性质性质4 4 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函的联合分布函数为数为 其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足xix, ,yjy的来求

9、和的来求和. . yyxxijjipyYxXPyxF, ),(),(例例2 令随机变量令随机变量X表示在表示在1,2,3,4中中等可能地等可能地取一个取一个值值, 令随机变量令随机变量Y表示表示在在1至至 X中等可能地取一个值中等可能地取一个值. 求求(X,Y) 的联合分布律和的联合分布律和F(2,2),F(3,3),F(4,4)之值之值.解解)|()(),(iXjYPiXPjYiXPpij ijiji, 0),/1)(4/1(故故 (X,Y) 的联合分布律为的联合分布律为Y X 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12

10、1/16 4 0 0 0 1/16 )2, 2()2 , 2( YXPF)3, 3()3 , 3( YXPF)4, 4()4 , 4( YXPF31121121811218141000 218181410 1000000161161121161121811611218141 则称则称(X,Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量, f(x,y)称为称为(X,Y)的的概率密度概率密度或称为或称为X和和Y的的联合概率密度联合概率密度或或联合密联合密度函数度函数. yxdudvvufyxF),(),(定义定义2.2 设设(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y).如果存在如果存在非负

11、可积非负可积函数函数f(x,y),对任意实数对任意实数x,y, 有有(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数f(x,y)具有性质具有性质 性质性质1 非负性非负性: f(x,y) 0性质性质2 归范性归范性: 1),(),( dudvvufF GdudvvufGYXP),(),(yxyxFyxf ),(),(2性质性质3 f(x,y)完全反映了二维连续型随机变量完全反映了二维连续型随机变量(X,Y)的概率性质的概率性质: 设设G为平面上的任意区域为平面上的任意区域, 则则性质性质4 二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数与密度的分布函数与密度函数的关系函数的关系: 在在f(x,

12、y)的连续点处的连续点处，有，有解解 (1)由由 得得所以所以 k=6(2) 例例3 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度求求:(1)常数常数k; (2) 其他其他010),(yxkxyxf).1( YXP1),( dudvvuf61110kkxdydxx 416),()1(12/101 xxyxdyxdxdxdyyxfYXP例例4 4 设二维随机向量设二维随机向量( (X,Y) )具有概率密度具有概率密度(1)(1)求求F( (x, ,y) )和和P( (YX).).解解 (1)(1) 其其他他00, 02),(2(yxeyxfyx yxdudvvufyxF),(),(

13、 其其他他00, 0,20)2(0yxdudveyvux 其他其他00, 0),1)(1(2yxeeyx(2) (2) 将将( (X,Y) )看着平面上随机点的坐标看着平面上随机点的坐标. .G是是xoy平平面上直线面上直线y=x下方的部分下方的部分. .),()(GYXPXYP vuvduedve202 Gdudvvuf),(vvedve20 3103 dvev 关于二维随机向量的讨论关于二维随机向量的讨论, ,可以推广到可以推广到n( (n2)2)维随机向量的情况维随机向量的情况. . 设设( (X1, X2, Xn) )为为n维随机向量维随机向量, , 对于任意对于任意n个实数个实数x1, x2, xn, n元函数元函数 F( (x1, x2, xn)=)=P( (X1x1,X2 x2, Xn xn) )称为称为n维随机向量维随机向量( (X1, X2, Xn) )的分布函数或随机的分布函数或随机变量变量X1, X2, Xn的的联合分布函数联合分布函数. .它具有类似于二它具有类似于二维随机向量的分布函数的性质维随机向量的分布函数的性质. .(1) 设设G为平面上的有限区域为平面上的有限区域, 如果如果(X,Y)的概率密度的概率密度其中其中A(G)是区域是区域G的面积的面积,称称