函数及其表示.

1、函数及其表示基础知识1、函数与映射的概念函数映射两集合设 A、 B 是两个非空数集设 A、 B 是两个非空集合对应关系如果按照某种确定的对应关如果按某一个确定的对应关f : A B系 f ，使对于集合A 中的任系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合 B 中都意一个元素x ，在集合 B 中有唯一确定的数f (x) 和它都有唯一确定的元素y 与之对应。对应。名称称 f : AB 为从集合 A到称 f : AB为从集合 A到集合 B 的一个函数集合 B 的一个映射记法y f ( x) ， x A对应 f : AB 是一个映射注：函数与映射的区别： 函数是特殊的映射， 二者区别在于映射定义

2、中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。2. 函数的定义域与值域在函数 yf ( x), xA中， x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做 yf ( x) 的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合f (x) xA 称为函数 yf (x) 的值域 .显然，值域是集合B 的子集。温馨提示：(1) A、B 都是非空数集，因此定义域 ( 或值域 ) 为空集的函数不存在(2) 函数关系的判断要注意“每一个” 、“都有”、“唯一”等关键词(3) 注意 f ( x) 与 f ( a) 的区别，f ( a) 表示当 x a 时的函数值，是一个常量；而 f

3、 ( x )是关于 x 的函数，一般情况下是一个变量，f ( a) 是 f ( x) 的一个特殊值（ 4） y=f ( x) 仅仅是函数符号。3、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域4、区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数，且ab ，满足 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 a,b ；满足 axb 的实数 x 的集合叫做开区间，记做(a,b) ；满足 axb ，或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a,b) ， ( a, b ；满足xa, xa, xb, xb 的实数x 的集合分别记做a,),( a,),(, b,(, b)。注意： 对于集合 x | axb

4、与区间( a, b)，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须ab 。5、相等函数：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函数 相等注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与 y=cosx ，其定义域为R，值域都为-1， 1 ，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系 ）6、函数的表示法有：解析法、 列表法、 图像法7、分段函数若函数在其定义域的不同子集上， 因对应关系不同而分别用几个不同的式子

5、来表示， 这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 。例题精讲：考点一：函数与映射概念考查例 1判断下列图象能表示函数图象的是（）yyyy0x0x0x0x(A)(B)(C)(D)：函数 yf ( x) 的图象与直线x = a的交点个数（）练习 1A. 只有一个B. 至多有一个C.至少有一个D.0个练习 2：下述两个个对应是 A 到 B 的映射吗？（1）A R，B y | y 0 ， f : xy | x |；（ 2） A x | x0 ， B y | yR ， f : xyx 练习 3：下列

6、是映射的是（）aaaeaeaeebebbfbffcccgcfbg图 1图 2图 3图 4图 5(A) 图 1、2、 3 (B)图 1、2、5(C)图 1、3、5 (D)图 1、2、3、5函数相等： 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.例 2指出下列各函数中，哪个与函数yx 是同一个函数：（ 1） yx2（ ）2； （ 3） s t ；2 yxx练习 1：判定下列各组函数是否为同一个函数：（ 1） f (x)x ， f ( x)3 x3 ；（ 2） f ( x)x 1， f (x)x21x1练习 2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） f ( x)x2 ， g ( x)3 x

7、3 ；（2） f ( x)x1x0,， g( x)1x0;x（3） f ( x)xx1 ， g( x)x 2x ；（4） f ( x)x 22x1， g(t )t 22t1（5）2 n 12n 12n12n 1*）；f ( x)x，g( x) (x)（ Nn考点二：函数定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（ 1）若 f(x)为整式，则其定义域为实数集R（ 2）若 f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0 的实数的集合（ 3）若 f(x)是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数的集合。（ 4）若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数定义域是使各部分都有意义的

8、实数的集合，即交集。（ 5）f (x)x0的定义域是 xR x0例求下列函数的定义域：（） f x1；（）f x1 2 x x1例 2设 f x2 x 1 ，求 f 0 ， f 2， f5 ， f b 3练习 1：函数 f xx241的定义域为（）x3A2， 22,33，BC， 22,33，D ， 2练习 2：函数 f ( x)( x1)0的定义域是（）xxA. x | x 0B.x | x 0C.x | x 0且 x1D. x | x 0且 x1题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域1、复合函数的定义如果 y 是 u 的函数， u 又是 x 的函数，即 yf (u) ，ug (x) ，那么 y 关于 x 的 函数 yf ( g( x) 叫做函数 yf (u) （外函数）和 ug