利用勾股定理列方程解决问题

1、精品文档利用勾股定列方程解决问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。如图（ 1）即： a2+b2=c2ca我们可以发现：直角三角形的三条，只要知道其中的两条的b长，就可以用勾股定理去求第三条边的长。图（ 1）但有时我们会遇到这样的问：如图（1）在直角三角形中，一条边 a=3，另外两条边 b+c=9，求 b 的长？方法：遇到这样的问题， 我们可以将勾股定理和方程集合起用，通常叫我们求哪一条边长，我们就设哪一条边长为x( 即 b=x) ，则另一条边长可以用含有x 的代数式来表示（即 c=9x），现在三条边都表示出来了，我们可以利用勾股定理列方程： 32+x2=(9 x

2、) 2。下面我们就列用这样的方法来解决两个例题：例 1、一张直角三角形的纸片，如图2 所示折叠，使两个锐角的顶点A、B 重合，若 B=30°， AC= 3 ，求 DC的长。分析： 1、标已知 , 明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；2、利用折叠，找全等。（1）你能从中找到全等三角形吗？（2）折叠后出现的相等的线段有哪些？（3）折叠后出现的相等的角有哪些？3、将已知边和未知边（用含 x 的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。B解：由折叠可知，DEA DEB， B=DAB=30°在 RtABC中， C=90°

3、DAC=180°- B- C - DAB =30°在 RtDCA中， DAC=30° 设 DC=x，则 DA=2x在 RtDAC中，根据勾股定理得EDCA(B)22222= (2x)2图 2DCCA= DA，即 x （3 ），3x2=3，x2 =1，x 是正数x=1 DC=1。例 2、如图 3 所示，将长方形纸片 ABCD的一边 AD向下折叠， 点 D落在 BC边的 F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求 EC的长。分析：明确 EC在 RtEFC中，把重点放到 Rt EFC的三条边上，根据折叠可以知道 AFE ADE，其中 AF=AD=10cm，

4、EF=ED，AFE=90°，并且 EFEC=DC=8cm。在 Rt ABF中，根据勾股定理可以得出BF=6，则 FC=4，在 Rt FEC中，可以设EC=x，则 EF=8 x，根据勾股定理可以得222222ECFC=EF，即 x4 =（8x） 。1欢迎下载精品文档解：由折叠可得， AFE ADE，AF=AD=10cm，EF=ED， AB=8 cm， EFEC=DC=8cm，在 RtABF中，根据勾股定理得BFAF 2AB210282AD6 ， FC=BC-BF=4cm，E设 EC=xcm，则 EF=DCEC=(8 x)cm，在 RtEFC中，根据勾股定理得BFC222图 3ECFC=

5、EF，即 x2 42=（ 8 x） 2，x=3cm，EC的长为 3cm。解题步骤归纳：1、标已知，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；2、利用折叠，找全等。3、将已知边和未知边（用含x 的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。练习： 1、如图将矩形 ABCD沿直线 AE折叠，顶点 D 恰好落在 BC边上 F 处，已知 CE=3， AB=8，则 BF=_。2、在 ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点 P 在边 AB上移动，则 CP 的最小值是 _。3、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形DEFH的边长为 2 米，坡角 A=30°， B=90° ，BC=6米当正方形 DEFH运动到什么位置，即当 AE=米时，222有 DC=AE+BC。答案： 1、