初高中数学衔接内容

1、初高中数学衔接教材专题一数与式的运算1.1绝对值1.2乘法公式1.3二次根式1. 分式专题二 分解因式专题三一元二次方程专题四函数4.1 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数4.2二次函数 yax2bxc 的图像和性质4.3.二次函数的三种表示方式4.4二次函数的简单应用专题五方程与不等式5.1二元二次方程组解法5.2一元二次不等式解法专题六相似形6.1 平行线分线段成比例定理6.2 相似形专题七三角形的“四心”专题八圆8.1 直线与圆，圆与圆的位置关系8.2 点的轨迹专题一数与式的运算1.1 绝对值【要点回顾】1绝对值1绝对值的代数意义：即 | a |2绝对值的几何意义：的距离3两个数的差的

2、绝对值的几何意义：ab 表示的距离4两个绝对值不等式 : | x | a(a0)； | x | a(a 0)【例题选讲】例 1 解下列不等式： （ 1） x 21（ 2） x 1x 3 4练习1填空：（ 1）若 x5 ，则 x=_；若 x4 ，则 x=_.（ 2）如果ab 5，且a 1，则 b _；若1 c2，则 c _.2选择题：下列叙述正确的是（）（ A）若 ab ，则 a b（ B）若 ab ，则 a b（ C）若 ab ，则 a b（ D）若 ab ，则 ab3化简： |x 5| |2x13|（ x5）4、解答题：已知a32b4(c5) 20 ，求abc 的值 .1.2. 乘法公式乘法

3、公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 公式 1 (a bc)2公式 2a3b3 ( 立方和公式 )公式 3a3b3( 立方差公式 )【例题选讲】例1 计算：（ 1） (x22 x1)2（ 2） (1 m1 n)( 1 m21 mn1 n2 )35225104（ 3） ( x1)(x1)(x2x1)( x2x1)（ 4） (x22xyy2 )( x2xyy2 )2例 2已知 abc4 ， abbcac4 ，求 a2b2c2 的值练习 1填空：（ 1） 1 a21 b2( 1 b1 a) （）；9

4、423（ 2） (4m) 216m24m() ；（ 3） (a 2b c)2a24b2c2() 2选择题：（ 1）若 x2 1 mxk 是一个完全平方式，则k 等于（）2（ B） 1 m2（ C） 1 m2（ D） 1 m2（ A） m2（ 2）不论 a ， b 为何实数， a24b23162a4b 8 的值（）（ A）总是正数（ B）总是负数（ C）可以是零（ D）可以是正数也可以是负数1.3二次根式1 式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质如下：(1)(a) 2； (2)a2； (3)ab； (4)ba2平方根与算术平方根的概念：叫做 a 的平方根，记作xa ( a 0) ，其中a (

5、a0) 叫做 a 的算术平方根3立方根的概念：叫做 a 的立方根，记为 x3 a例 1.将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2（ ）6a b (a 0)；34x y (x 0)(4)2592例 2计算：（ 1）33（ 2）(1 x)2(2 x)2 ( x 1)2（ 3）11（ 4） 2 xx38xab2例 3化简：（1） 94 5 ；（2） x2 12(0 x 1)x2练习 1填空：（ 1）若(5x)( x3) 2( x3)5x ，则 x 的取值范围是 _ _；（3） 4246 543962 150_；（ 4）若 x5x1x1x1x1_，则x1x1x1x_212选择题：等式xx成立

6、的条件是（）x2x 2（ A） x 2（ B） x 0（ C） x 2（ D） 0 x 23、 若 ba2 11 a2，求 ab 的值a1，求代数式 x2xy y24、解答：设 x1, y1的值3232xy1.分式专题检测（一）1解不等式：形如 A 的式子，若 B 中含有字母，且 B0，则称 A 为分式当 B0 时，分式 A1 分式的意义(1)x13；(2) x 3 x 2 7 ；BBB具有下列性质：（ 1）；（ 2）2 繁分式当分式 A 的分子、分母中至少有一个是分式时，A 就叫做繁分式，(3)2x1x 16 BB3 分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的

7、方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例 1若 5x4AxB2，求常数 A, B 的值x( x2)x例 2（1）试证：11)11（其中 n 是正整数）；n(nnn1（2）计算：111；1223910（3）证明：对任意大于 1 的正整数 n， 有 1111 c ，且 ，2 33 4n(n 1)2例 3设e2 5ac2a20，求 e 的值e12ca练习1填空题：对任意的正整数111n，()；n(n 2)nn 22选择题：若2 xy2 ，则 x （）xy3y（A）（B） 5（C） 4（D） 62填空：（

8、 1） (23) 18 (23) 19 _；（ 2）若(1a)2(1a) 22 ，则 a 的取值范围是 _；（ 3）11111_2233445516（ 4） a113a2ab_；， b3，则5ab2b223a2（ 5）若 x2xy20 ，则x23xyy2_；2 yx2y2_3选择题：（ 1）若a b 2 abba ，则（）（ A） a b（ B） ab（ C） ab 0（ D） b a 0（ 2）计算 a1等于（）a（ A）a（ B） a（C）a（ D）a4求值（ 1）已知 xy1，求 x3y33xy 的值（ 2）已知： x1 , y1，求yy的值23xyxy45522xy 的值113正数 x

9、, y 满足 xy 2xy ，求5解方程 2( x2) 3( xxy2)10xx4计算111.111116计算：122334991003243591117试证：对任意的正整数 n，有11111 2 32 3 4n(n 1)(n2)4专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法( 立方和、立方差公式) 、十字相乘法和分组分解法等等1公式法常用的乘法公式：1 平方差公式：；2 完

10、全平方和公式：；3 完全平方差公式：4 ( a b c)25a3b3( 立方和公式 )6a3b3( 立方差公式 )由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解2分组分解法从前面可以看出， 能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 mamb na nb 既没有公式可用， 也没有公因式可以提取 因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3十字相乘法（ 1） x2( pq)x pq 型的因式分解这

11、类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和 x2( p q) x pq x2px qx pq x( x p) q(x p) (x p)( x q) ， x2( p q) xpq( xp)( x q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式（ 2）一般二次三项式ax 2bxc 型的因式分解由 a1a2 x2(a1c2a2c1 ) xc1c2(a1x c1 )( a2 x c2 ) 我们发现， 二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c分解成 c1c2 ，把 a1, a2 ,c1, c2a1c1a2 c1 ，如

12、果它正好写成 a2c2 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2上一行， a2 ,c2 位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意， 分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】例分解因式：(1)3a3b81b4(2)a7ab6（3） x2(ab)xyaby 2 ；（4） xy1xy （ 5） ab(c2d 2 )(a2b2 )cd（ 6） 2x24 xy2 y28z2(7)x25x24(8)x2

13、2x15(9)x2xy6 y2(10)12 x25x2(11)5x26 xy8 y2(12)( x2x)28( x2x)12练习1分解因式：（ 1）a31；（ 2） 4x413x29 ；（ 3） b2c22ab2ac2bc ；（ 4） 3x25xy2 y2x9 y4 （ 5） x25x3 ；（ 6） x222x3 ；（ 7） 3x24xyy2 ；（8） ( x22x)27( x22x)12 3ABC 三边 a ， b ， c 满足 a2b2c2abbcca ，试判定ABC 的形状等于 ax2bxc 的一次项系数 b ，那么 ax2 bx c 就可以分解成 ( a1 x c1)(a2 x c2

14、) ，其中 a1 ,c1 位于4分解因式：x2 x (a2 a)专题三一元二次方程【要点回顾】1一元二次方程的根的判断式一元二次方程ax2bx c 0 ( a 0) ，用配方法将其变形为：由于可以用 b24ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把b24ac 叫做一元二次方程ax 2bx c0 ( a 0) 的根的判别式，表示为：b24ac对于一元二次方程ax2 bx c 0（ a0），有1当0时，方程有两个不相等的实数根：；2当0时，方程有两个相等的实数根：；3当0时，方程没有实数根2一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）定理：如果一元二次方程ax 2bxc0 ( a0) 的两个

15、根为x1, x2 ，那么：x1 x2, x1 x2说明： 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理 ”上述定理成立的前提是0 特别地， 对于二次项系数为1 的一元二次方程x2 px q 0，若 x1， x2 是其两根，由韦达定理可知x1 x2 p， x1·x2 q，即p (x1 x2)， q x1·x2，所以，方程x2 pxq 0 可化为x2 (x1 x2)x x1·x2 0，由于 x1，x2 是一元二次方程x2 px q0 的两根，所以， x1， x2 也是一元二次方程x2 (x1 x2)x x1·x20

16、因此有以两个数 x1， x2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2 (x1 x2)x x1·x2 0【例题选讲】例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（ 1） x2 3x3 0；（2） x2 ax 1 0；（ 3） x2 ax( a1) 0；（ 4） x2 2xa 0例 2已知方程 5x2kx60 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值例 3 已知关于 x 的方程 x2 2(m2)x m2 4 0 有两个实数根， 并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值例 4已知两个数的和为4，积为 12，求这两个

17、数例 5若 x和 x 分别是一元二次方程2x25x 3 0 的两根12（ 1）求 | x1 x2|的值；（ 2）求1122 的值；x1x2（ 3）x1 3 x23一般规律： 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程ax2 bx c 0（ a0），则| x1 x2|（其中 b2 4ac）| a |例 6若关于 x 的一元二次方程x2 x a4 0 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围练习1选择题：（ 1）方程 x22 3kx3k 20 的根的情况是（）（ A）有一个实数根（ B）有两个不相等的实数根（ C）有两个相等的实数根（ D）没有实数根（ 2 ）若关于 x 的方程mx2 (2m 1)x