初中数学十字相乘法因式分解(1)

1、初中数学十字相乘法因式分解要点：一、 x2( pq) xpq 型的因式分解特点是：（ 1）二次项的系数是 1（2）常数项是两个数之积（ 3）一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到：x 2( pq)xpqx 2pxqxpq(x 2px)(qxpq)x(xp)q(xp)(xp)( xq)因此： x 2( pq)xpq(x p)( x q)利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1 的二次三项式分解因式。二、一般二次三项式ax2bxc 的分解因式大家知道， (a1 xc1 )(a2 xc2 )a1a2 x2(a1 c2 a2c1 ) xc1c2 。反过来，就可得到： a1a2 x

2、2(a1c2a2 c1 ) xc1c2(a1 xc1 )(a2 xc2 )我们发现，二次项系数a 分解成 a1 a2，常数项c 分解成 c1 c2，把 a1, a2 , c1, c2 写成a1c1 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2 c1 ，那么 ax2bxc就可以分a2c2解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) .这种借助画十字交叉线分解系数， 从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。【典型例题】 例 1把下列各式分解因式。（1） x 23x2（2） x 27x6，这分析：（1）x23x2的二次项的系数是，常数项212 ，一次项系数312是一个 x 21( p7

3、q) xpq 型式子。（2）x2x6的二次项系数是，常数项6 (1) (6)，一次项系数7 (1)1(6) ，这也是一个 x 2( p q)xpq 型式子，因此可用公式 x 2( pq) xpq( xp)( xq) 分解以上两式。解：（1）因为 212，并且 312 ，所以 x23x2( x1)( x2)（2）因为6(1)(6)，并且7(1)(6) ，所以 x27x6( x1)( x6)例2把下列各式因式分解。（1）22（ ）2xx2x2x 15分析：（1） x 2x2 的二次项系数是1，常数项2(1)2，一次项系数1(1)2 ，这是一个 x2( pq)xpq 型式子。（2） x 22x15

4、的二次项系数是1，常数项15(5)3 ，一次项系数2(5)3 ，这也是一个 x 2( pq) xpq 型式子。以上两题可用 x2( p q) xpq(xp)( xq) 式子分解。解：（1）因为2(1)2，并且 1(1)2，所以 x2x2( x 2)( x1)（2）因为15(5)3，并且2(5)3，所以x22x15( x 5)( x3)注意： （ 1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。 例 3把下列各式因式分解。（1）22732（ ）22xx（ 2） 6x 7 x 56xy

5、 8y35x13解：（1） 2 x27x3 ( x3)(2x 1)212(3)1( 1)721（2） 6x27 x5 (2x 1)(3x 5)352(5)31712 y（3） 5x26xy8 y2( x2 y)(5x 4 y)54 y1(4 y)5(2 y) 6 y例4将 (xy) 23( x y)40 分解因式。分析： 可将 xy 看成是一个字母，即 xy a ，于是上式可化为 a 23a40 二次项系数是 1，常数40(8) 5，一次项系数3(8)5，所以可用 x 2( pq) xpq ( x p)( x q) 式子分解。解：因为40(8)5 ，并且3 (8)5 ，所以( xy) 23(

6、xy)40( xy)8( xy)5( xy 8)( xy5)例5把 x 2 y 25x2 y6x 2 分解因式。分析： 多项式各项有公因式 x2 ，第一步先提出各项公因式x2 ，得到：x2 y 25x2 y6x2x 2 ( y 25y6) ，经分析 y 25y6 它符合 y 2( pq) y pq 型式子，于是可继续分解。第二步，按 y 2( p q) ypq 型二次三项式分解，得到：x 2 ( y 25y 6) x 2 ( y 6)( y 1)解： x 2 y 25x2 y6x2x2 ( y 25y6)x2 ( y6)( y1)例6将 81x5y516xy 分解因式。解： 81x 5 y51

7、6xyxy(81x4 y 416)xy(9x 2 y24)(9x 2 y24)xy(9 x2 y 24)(3xy2)(3xy2)注意： 多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。（ 2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分解为止。【模拟试题】一 .填空题：1.2328 （）（）2.22（）xxx2xy35 y( x7 y)3.20x 243xy14 y2( 4x7 y)（）4.18x219x 5（）（ 2x1）5.35m2 n211mn6（）（） 6.611a

8、35a2（）（）7.kx25x6（ 3x2 ）（） k8.m43xy14 y 2(4x7 y)(5x2y) ，则 m9.20x243xym(4x7 y)(5xn) ，则 m， n10.分解因式 ( x23x)48(x 23x) 216。二 .选择题：1.x210 x16 分解因式为（）A.(x2)( x8)B.(x 2)( x8)C.(x 2)( x8)D. ( x2)( x 8)2.x213xy30 y 2 分解为（）A.(x3y)( x10 y)B.( x15 y)( x2 y) C.( x10 y)( x3 y)D.( x15y)( x2y)3.把6 x229 x35分解因式为（）A.(

9、2 x7)(3x5)B.(3x7)( 2x5) C. (3x7)( 2x5)D. ( 2x7)(3x5)4.把 x 2m24mn4n2 分解因式为（）A.(xm2n)( xm2n)B.(xm2n)( xm2n)C. (xm2n)( xm2n)D.(xm2n)( xm2n)5.在下列二次三项式中，不是x 2( pq) xpq型式子的是（）A.x 212 x20B.x29x100C.x213x14D.x29 x52三 . 解答题：1. 将下列各式因式分解。（ 1）256（ ）2（ ）2）xx2 xx 303 x 30 x144 1（ 3） x211x18（4） 2526a a2（5） x23xy

10、2y 22. 将下列各式因式分解。（ 1）m 418m217（2） 3x47 x 2 y220 y 4（3） 3b214b 5（ 4）2x2x 3（ ）2x25x 7（ ）3a22a 1563. 因式分解。（1） ( x27x) 210(x 27x)24（ 2） x42 x2 ( y 2z2 )( y 2z2 )24.已知 15x247xy28 y20 ，求 x 的值。y5.已知 a2ab6b20 （ a0 ， b 0 ），求 ba 的值。ab6.已知 a29b 22a6b20 ，求 2a 3b 的值。试题答案一 .1.x 7 ； x 42.x 5 y3.5x 2y4.9x 55.5mn3 ；

11、 7mn26.27a； 35a7.2x3 ； 68.20x29.14 y2；2 y10.( x1)2 (x2)2 (x 23x 2) 2二 .1. A2. D3. B4. B5. B三 .1. 解：（ 1） x25x6(x6)( x 1) （ 2） x 2x 30 (x 6)( x 5)（ 3） x230 x144 ( x24)( x6)2.解：（ 1）m 418m217(m418m 217)(m 217)(m21)( m217 )(m1)(m1)（2） 3x47x2y220y4(x24y2 )(3x25y2 ) (x2y)(x2y)(325y2 )x（ 3）x52x38x x(x42x28)

12、(24)(x22)x(x2)(x2)(x22)x x3.解：（ 1） 6a4nka2nk35akak(6a4 na2 n35)ak( 22 n5)(32 n7)aa（ 2） x27 x5(8x214x5)1 ( 2x1)(4x5)48884. 解：（ 1） (x 27x) 210( x27x)24( x 27 x12)( x27x2)( x 3)( x 4)( x27x 2)（ 2） x42x 2 ( y 2z2 ) ( y 2z2 )2 x2( y 2z 2 ) 2(x 2y2z2 )25.解： 15 x 247 xy28 y20(3x7 y)(5x4 y)0747x7 y7 xy当 x33y 或 xy