初中数学竞赛辅导资料(25)

1、初中数学竞赛辅导资料(25)十进制的记数法甲内容提要1. 十进制的记数法就是用0， 1， 2 9 十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10 的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：0110 =1( 个位数 第 1 位 )， 10 =10( 十位上的数 -第 2 位 )，102=100( 百位上的数 -第 3 位 )， 10n(第 n+1 位上的数 )例如 54307 记作 5× 104+4×103 +3× 102+0 × 101+7× 1002. 十进制的 n 位数 (n 为正整数 )， a1 a2a3an n 记作：10n-1a1+10

2、n-2a2+10 n-3+ +102an-2+10an-1+an其中最高位a1 0，即 0<a1 9，其它是 0 a1,a2,a3 an 93. 各位上的数字相同的正整数记法：例如 999=10001 103 1， 9999 104 1， 9999 10n-1n个 91111 10n1， 3333 10 n1，5555 5 10n1n个19n个 33n个 594 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0 到 9 的整数，这一性质进行讨论。乙例题例 1.一个六位数的最高位是 1，若把 1 移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新

3、六位数恰好是原数的3 倍，求原六位数。解：设原六位数1 右边的五位数为x,那么原六位数可记作1× 105 x ，新六位数为 10x 1，根据题意，得10x 1 3（ 1× 105 x）7x=299999x=42857原六位数是 142857例 2.设 n 为正整数，计算 9999×9999 19999n个9n个 9n 个 9解：原数（10 n 1）×（ 10 n 1）+1× 10n+10n1 102n 2× 10n+1+10n+10 n 1 102n例 3.试证明 12，1122， 111222， 111 22 2 这些数都是两个相n

4、个1n个 2邻的正整数的积证明： 123× 4，1122 33×34， 111222 333× 334注意到333× 334 333×（ 333 1） 103-1 ×（ 103 -1 1）33由经验归纳法，得11 1222 10n1× 10n 2 10 n19+9n个1n个 210n1（10n2）333 10n1 （10n11)33上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例 4.试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是 9 的倍数，那么这个四位数必能被 9 整除。并把它推广到 n 位正整数，也有同样的结论。证明：设一个

5、四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得a+b+c+d=9k (k 为正整数 )， d=9k a b c,代入原四位数，得103a+102b+10c 9k a b c（ 103 1） a+(102-1)b+9c+9k=9(111a+11b+c+k) 111a+11b+c+k 是整数，四位数103a+102b+10c+d,能 9 被整除推广到 n 位正整数：n 位正整数记作10n 1a1+10 n-2a2+10an-1+an（ 1） a1+a2+ +an-1+an=9k(k 是正整数 ) an=9k a1 a2 an-1代入（ 1）得原数 10n 1n-2a1+10 a2+ +10a

6、n-1+9k a1 a2 an-1（ 10n-1 1） a1+（ 10n-2 1） a2+9an-1+9k 10n-1 1， 10n-2 1， 10 1 分别表示 999， 999，9n 1 个9n 2个9原数 9（ 111a1 111a2 an+k ）n1n2这个 n 位正整数必能被9 整除例 5.已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。求：这个三位数。解：设这个三位数为2其中 0a 9, 0b,c 910 a+10b+c100a 10b c 9a b abc 且 8 a-b+c 181111它能被 11 整除， a-b+c 只能是11或 0。 当 a-b+c 11 时，商

7、是 9a+b+1,根据题意得9a+b+1 a+b+c， c=8a+1a 只能是1， c=9,b=a+c-11=-1不合题意当a-b+c 0 时，商是9a+b, 9a+b= a+b+c且 a-b+c 11a1解得b9答这个数是 198c 8例 6.一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。解：顺序颠倒过来后,两个数的和是 8877,可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c 则个位数是 c-2,根据两个数的和是8877 试用列竖式讨论答案abc(c-2)从个位看 (c-2)+a=7 或 17+) (

8、c-2)cba从千位看 a+(c-2)=8 (没进入万位 )8877可 知(c-2)+a=7 即 c+a=9(1)从十位上看 b+c=7 或 17从百位上看 c+b=8 (进入千位 )可知c+b=17(2)(2)+(1) 得b-a=8 0<a9 0 b 9 b=9a=1,b=9,c=8，c-2=6答这个正整数是1986丙练习 251.设 a 是个两位数， b 是三位数。当a 接在 b 的左边时，这个五位数应记作 _，当 a 接在 b 的右边时，这个五位数应记作_。2. 有大小两个两位数。大数的2 倍与小 数的 3 倍的和是 72。在大数的右边写上一个 0 再接着写小 数，得到第一个五位数

9、；在小 数的右边写上大数再接着写个 0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商 2，余数 590。求这两个两位数。3.计算： 1987× 19861986 1986 × 198719874.一个 22 位数，个位数字是 7，当用 7 去乘这个 22 位数时，其积也是 22位数，并且恰好是将这个数的个位数字7 移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22 位数。5.试证明： 11 2，1111 22， 11 1 22 2 ，各数都能写成某个2n个1n个 2正整数的平方。 （即证明各数都是完全平方数）6.一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比

10、是47。求符合条件的所有两位数。7.8.已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有abcdef × 6 defabc求原六位数abcdef9.10. 已知四位数 abcd 除以 9 得四位数 dcba ，求原四位数。11.12.一个五位正奇数 x，将 x 中的所有 2 都换成 5，并把所有 5 都换成 2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y ，若 x,y I 满足等式：y=2(x+1), 那么 x=_( 1987 年全国初中数学联赛题 )13.14.已知存在正整数n 能使数 11111被 1987 整除，n个1求证： p=11111 99999 88888 777 77 能被 1987 整除n个1n个9n个8n个7（ 1987 年全国初中数学联赛题）15