函数的周期性--经典例题.

1、函数的周期性周期函数的定义：对于函数f x ，存在非0 常数 T，使得对于其定义域内总有f xTf x ，则称的常数T 为函数的周期。周期函数的性质：1、 fxfxa ，则 yfx 是以 Ta 为周期的周期函数；2、若函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=-f(x) (a>0),则 f(x) 为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、若函数 f xa fxa ，则 f x是以 T 2a 为周期的周期函数4、y=f(x) 满足 f(x+a) =1(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个f x周期。5、若函数 y=f(x) 满足 f(x+a) =1(a>0),则 f

2、(x) 为周期函数且 2a 是f x它的一个周期。、 f ( x1f ( x)，则是以为周期的周期函数 .a)61f ( x)f xT2a7、 f ( xa )1f ( x) ，则 f x是以 T4a 为周期的周期函数 .1f ( x)8、若函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a,x=b(b>a) 都对称 ,则 f(x)为周期函数且 2（b-a）是它的一个周期。9、函数y f ( x) x R的图象关于两点A a, y0、0a b都对称，B b, y则函数 f ( x) 是以 2 ba 为周期的周期函数；10、函数 yf (x)xR 的图象关于 A a, y0 和直线 xbab 都对称

3、，则函数 f (x)是以 4 ba 为周期的周期函数；11、若偶函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称，则 f(x)为周期函数且2 a 是它的一个周期。12、若奇函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称，则 f(x)为周期函数且4 a 是它的一个周期。13、若函数 y=f(x) 满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则 f(x)为周期函数， 6a是它的一个周期。14、若奇函数 y=f(x) 满足 f(x+T)=f(x) (xR，T0), 则 f( T )=0.2【试题举例】例 1、(2006 年山东卷）已知定义在R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=

4、 f(x),则,f(6)的值为 (B)(A)1(B)0(C)1(D)2【考点分析 】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由 f x2f xf x4f x2f x由f x是 定义 在R上 的奇函数得f 00， f 6f 42f 2f 00，故选择B。【窥管之见 】本题用到两重要性质：f xaf xf x 的周期为2a ；如f x 是定义在R 上的奇函数，则f 00 。例 2、（2005天津卷）设f(x)是定义在R 上的奇函数， 且yf x 的图象 关 于 直 线 x1对 称 ， 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f2(5)=_0_.【考点分析 】本题考查函数的周期性解析： f0f

5、 0得 f 00 ，假设 f n0因为点（n ， 0） 和 点 （ n 1,0） 关 于 x1对称，所以2f n 1f nfn0因此，对一切正整数n 都有： fn0从而： f 1f2 f3 f 4f 50 。本题答案填写： 0例 3、（ 2006 福建卷） 已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当0x1时，f (x)lg x.设 af ( 6 ), bf ( 3), cf (5 ), 则522（A） a b c（B） b a c（C） c b a（D）c ab解：已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1时， f ( x)lg x.设 af ( 6 )f (4)f ( 4)

6、 bf ( 3)f ( 1)f (1 ) cf ( 5)f (1)<0，55，22，2252 c a b ，选 D.例 4、（2006 年安徽卷理）函数 f x 对于任意实数 x 满足条件fx21，若 f 15, 则 ff5_。fx【考点分析 】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由 fx 21得 fx 41f (x) ，所以fxf x2f (5) f (1)5 ，则 ff5f ( 5)f ( 1)12)1 。f ( 15【窥管之见 】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解f x 21“只要fx加 2，则变倒数，加两次则回原位 ”则一通尽通也。例 5、（1996 全国，15）设 fx 是,上的奇函数， fx2f x ，当 0x1时， f xx ，则 f（7.5）等于（）A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5解析：由 f x 2fxf 7.5f5.5 f 3.5f 1.5f0.5，又f x 是奇函数，故 f0.5f 0.50.5 ，故选择 B。例 6、（2005 福建卷 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 f (2) 0 ，则方程 f ( x) =0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是（ B ）A5B4C3D2解析：由 f ( x) 的周期性知， f (2)f 5 f 1f 1f 4 0