电磁场与电磁波计算题解

1、电磁场与电磁波计算题题解例1在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：1 52Jc =ar10rA/m2c I求： 通过半径r=1mm的球面的电流值。 在r=1mmW球面上电荷密度的增加率。 在r=1mm的球内总电荷的增加率。初 不 I = ： Jc d s =10r1.5 r2 siw W 心 d |r = 1 mm解：c 0 0= 40n r0.5 r =1mm = 3.97A 因为 J? = 4皇(210r 土5) =5疽5c 2 r d r由电流连续性方程，得到：一 -1.58 108A/m3r = 1mmcP = 口丁_、 J c jt r =1mm 在r=1mm的球内总电荷的增加率d

2、U=-I = -3.97A dt例2在无源的白由空间中，已知磁场强度H =ay 2.63 10*cos(3 109t -10z)A/m求位移电流密度J；。解：由于Jc=0,麦克斯韦第一方程成为axayE:VHyaz:z 0一 -：Hv 一/CC=axy=-ax 2.63 10 sin(3 1C9t-10z) A/m2例3在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度E = ay 102 sin(6.28 109 -20.9 z) v/m求空间任一点的磁感强度解:由麦克斯韦第二方程axayazcB-z= x E =-ctdxBVdz0Ey0-ax；z= Fx20.9 10°co

3、s(6.28 109t-20.9z)将上式对时间t积分，若不考虑静态场，则有B = 共dt=ax 20.9 10'cos(6.28 109t-20.9z)dt = -ax3.33 10 J1 sin(6.28 109t -20.9z)T已知自由空间中，电场强度表达式为E = ax cos(wt - E z);求磁场强度的H表达式。解:第二方程且在白由空间中 H =二B;:H：t 01 .'11 -I E = -(ay 一Ex) = -ay 丁 - sin(wt - - z)J cJ c 7J 00：z一 PH - -ay sin(wt - z) d to一 P=ay cos(w

4、t - ： z)° w上式积分的常数项对时间是恒定的量， 在时变场中一般取这种与t无关的恒定分量为0。例5有一个广播电台在某处的磁感应强度为B = 0.2 % cos2.1(3> 1081 - x) azA/m 媒介为空气,求该处的位移电流密度解：在该处无传导电流Jd£Dt在直角坐标系中:= 0.20cos2.1(3 10t x)ax:xBxay3Byaz:zBz arazaqjrr-crczArAAz:BzBy 1 Bx： B By: B (=-W)ax ( x-)ay ()az:y :z :z :x y :x fy二 Jd =； 'B=(一_?_) ay

5、=1 0.20sin 2.1(3 10't - x)(2.1x)例6同轴电缆的内导体外半径a=1mm外导体内半径b=4mm内外导体之间是空气介质，且电场强度为1008E cos(10 t - az) ar V/m r用麦克斯韦方程求a。求磁感应强度Bo 求内导体表面电荷密度Ps。 求长度0 <z< 1 m中总的位移电流解：e；:tar*aza(prr-drC<PdzAr001 A r a -； az)100a -rsin(10t -: z) - 0100asin(10t - ： z)100dB10 cos (10 t - a z)在内外中间的空气中,P°、J

6、c又由H =0ft将B代入，则:1 100 2a sin(10t - ： z) ar % 108rr21 100：2% 108100的1081000=1016=101636 :10°108sin(108r ： z)ar法拉/米910460=4 二 10"H /m1_610cos (10811z) a3 在内外导体之间作园柱形高斯面，有0EdS= dV= sdsvs:0Erd dz= s ad dz1 2二1 2 二0Er rd dz= s ad dz0 00 0二=；°Era；0 r1008I s = 3 cos (10 t - ： z) ar1 10 r581、

7、；0 10 cos (10 t z)3：DE .二10088-=010 -sin(10 t - ： z) ar d sr10108.2-：1010sin0 rins n2 )10-；o、 sin (10 t -二 z) rd d z r81(10 t - ： 一 z)r d d z381-(108t - z)d dz3ma 11m«a 1、.一6兀勺0 初 cos(108t z)0 =6兀 乂10 &0cos108tcos(108t )33丝 sin 】sin(108t-】)366例7、在两导体平板(z = 0和z=d)之间的空气中传输的电磁波，其电场强度欠量E =e Ecs

8、in(=z)cos(，t-k x) y 0 dx '其中kx为常数。试求:(1) 磁场强度欠量H。(2) 两导体表面上的面电流密度 Js解：(1)由麦克斯韦方程可得:B ft对上式积分后得:即:H =exE0-E0kxcos(d z)si” t _ kxx) ex =sin(d z) cos© t 一 kxx)(2)导体表面上的电流存在丁两导体板相向的一面，故在z = 0表面上，法线n = ez，面电流密度Js =ezH与.、 zreyFsin(tkxx)在z = d表面上，法线n = q，面电流密度z黑 sin(kx)-y 0dx例8、一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径

9、为 a,外导体半径为b,长度为L,同轴线两端用理想导体板短路。已知在 arb、0<zL区域内的电磁场为:(DE =e Asinkz , H =e B coskz r r- r确定A、B之间的关系。确定k。(3)求r=a及r=b面上的Ps、Js。解:由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。(DA、B之间的关系。因为'、 E = = % 夸 coskz = _ j *H所以A _ jlBk(2)因为'、H =1r-er=e Bksink j ;E r r所以_L_j <(3) 因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为:E 二E k,、B =e xcos( z)sin

10、( t-k x) e 0sin(； z) cos( t-k x) d dx z , dxnx H = Js , n D = Ps在r =a的导体面上，法线n=er,所以J sa = n H sar=e 旦 coskz -z a = MsinkzrrMsinkza在r=b的导体面上，法线n = -所以,R .R .Jsb=nxHr4=e 口 coskz r4 = -e D coskz 一 z r一 z br ?A,eA -.Psb = n D rzb =-p sinkz r = sinkz例9、电磁波在真空中传播，其电场强度欠量的复数表达式为：E(t) =(e - je )10 4e j2

11、76;'z (V/m) x y试求：(1) 工作频率f。(2) 磁场强度欠量的复数表达式。(3) 坡印廷欠量的瞬时值和时间平均值。解：由题意可得:k =20兀=缶 Jo&o =财，切=6x10所以工作频率9f =3 109 Hz(1) 磁场强度欠量的复数表达式为:H =1ez E =(ey jex) 10一 4ej 20 z (A/m) 0其中波阻抗h0 =120兀Q。(2) 坡印廷欠量的瞬时值和时间平均值。电磁波的瞬时值为：E(t) =ReEejb =(ex jey)1。4cos(，t2顷 z)(V/m)H (t) =ReHej' =L(e je )10一 4 cos

12、(，t - 20-z)(A/m)0 y x所以，坡印廷欠量的瞬时值:S(t) = E(t) H(t) = 1l0-8coS( t20：z)(e je ) (e je)=0W/m20y y同理可得坡印廷欠量的时间平均值:Sav =日。号 E x H * = 0W/m2例10、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复欠量为:H =(e*+ey2 晚+ez4)ej7r(4x + 3z)(PA/m)试求:(1) 波长、传播方向单位欠量及传播方向与 z轴的火角。(2) 常数A。(3) 电场强度欠量。解：(1) 波长、传播方向单位欠量及传播方向与 z轴的火角分别为:40 3ek = <kx+kz =

13、J(4兀)2 +(3丸)2 =5览，舄=令=0.4 m=0.8ex+0.6ez, cos" = 0.6 e 尚 *3z)k弓=53(2) 因为 H =0 ,所以；H :：H v ：'HH =z =4：jA -12-j =0ex:y:z解之得A = 3(3) 电场强度复欠量E = 0H 女=0 (-ex3 ey2 6 ez4) e一广(4x 3z) (0.8ex 0.6ez)= %(|V6ex +5ey -5V6ez) e十)v/m例11、假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复欠量为：- j (2x，2y -3z)E =3(鼠 -，2ey) e 6V /m试求：(1)电场强度的

14、振幅、波欠量和波长。(2)电场强度欠量和磁场强度欠量的瞬时表达式解：依题意知，电场强度的振幅:E。=, E* Eoy =3、. 3 V/m所以波欠量k= k2 k2 k2k = kek ,其中71ek=3ex从而(1)2 二=4mk电场强度欠量的瞬时表达式为:E(t) =ReEd ' =3(e - . 2e )cos，t(2x 一 2 y -，. 3z)x y6(V/m)磁场强度欠量的瞬时表达式为:H(te. E(t)=-( 6ex 3e 3 2e ) cos，t-)(2x 2y-.3z) 0 ky z6(A/nj例12、已知在无源的自由空间中，磁场为H = ey 2 c o s （1

15、x5） s i n 96 - -1z0 t （A/m利用麦克斯韦方程求相应的电场E及常数P o解：将H表示为复数形式:H(x,z)= -eyi2cos(15- x)i z由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得：1.1E(x,z) =H 'I ； °(D"8H y 1 ezH (x, z)=eyi2”J。ex ' 2 cos(15 二x)ezi30 二 sin(15,i ：zx) e1 '、 i'oey：Ex :Ez邛2 十(15旦)2)cos(15冗 x)e比较（1）式何（2）式，有-222924：，102:2 .(15 二)2) = , 20 ；

16、0 = (6 二 109 )29 = 400 二36二109所以 - = , 4022_ - 41.56( rad / m)所以，相应的磁场强度为：E(x,z,t) = - ex 496 cos(15 二 x)sin(6 二 109t - 41.56 z)9ey 565.5sin(15: x) cos(6 二 10 t - 41.56 z)V / m例13、同轴电缆的内导体半径a=1mm，外导体内半径b=4mm,内外导体问为空气介质，并 且电场强度为_1008E=ecos10 8t-0.5z(V/m)r(1)求磁场强度H的表达式；(2)求内导体表面的电流密度；(3)计算0zs；1m中的位移电流

17、id解：将E表示为复数形式：100_i0.5zE(r, z) = e e则由时谐形式的麦克斯韦方程可得:a "e:z1,'、Ei ,'、_i 0.5 z0.398 =e er而磁场的瞬时表达式为58H(r,z,t) =e cos(1(ft-0.5z)(A/m)(2)内导体表面的电流密度Js = n、H2=&5 r= = 3397.9*(1080.5z)(A/m) jdf专=翕如108t-0.5z) (A/m2)所以，在° < z <1中的位移电流1-11-id = Jd Rs = ° Jd 号2二 rdz = -0.55sin(

18、108t - 0.25)(A)s例14、已知在自由空间传播的平面电磁波的电场的振幅E0 =800(V/m)，方向为女,如果波沿着z方向传播，波长为0.61m,求：(1)电磁波的频率f ; (2)电磁波的周期T; (3)如果将场量表示为Acos(cotkz)，其k值为多少？ ( 4)磁场的振幅H0 =?解：在空气中，电磁波的速度为c -十1=3 108(m/s)；o本征阻抗 0 =120虹=377 "3 108a所以(1)电磁波频率 f=么=4.92 x 108 Hz = 492 MHz0.6118(2) 电磁波周期 t= =0.203 妇0 s= 2.03nsf(3) k = 2兀/

19、赤=10.3( rad / m)(4) H 0 =里=8° = 2.12( A / m )003774 i (t -20 二 z ')e 2(V /m)例15、在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复欠量为E = e10 4£心10心 + a 10xy求：(1)平面波的传播方向；(2)电磁波的频率；(3)波的极化方式；(4)磁场强度H ； (5)电 磁波流过沿传播方向单位面积的平均功率。解：(1)从电场方程可知，传播方向为 ez(2)从电场方程可知，k = 20兀=吐J&0E020 二 .109-所以'' =；f = =3 10 (Hz ) =

20、 3GHzJ，0 土02 匕00(1)原电场可表小为4 -i 2 0zE =(鼠+ I% ) 1 Pe是左旋圆极化波 1- 一(2) 由H =厂ez x E可得0120 :(ey一 iex)ei( t 一2 0：z-ex2.6510.ei( t20z5)ey2.65 107ei °一 2z0 )(5) 平均功率Sav1*Re E H 2=1 Re( eXl0-e2ey10(2° "2)7 i(2° -z_W)7 i2° _.7(-ex2.65 10 Je 2ey 2.65 10e'z)= eZ2.6510 J1(W /m2)即 Pav

21、=2.6510 J1(W / m2)例16、电磁波磁场振幅为1 A/m，在自由空间沿一3方向传播，当t=0,z=0时，H在ey方向, 3 二y相位常数P=30rad/m。（1）写出H和E的表达式；（2）求频率和波长。解：（1）在自由空间中，。=120兀=377 Q而：=，、：00 = 30（ rad ）-9:9 10 9 (rad / m)于是得磁场1QH(z,t )=司一cos(9 1t0+ 30 )3:电场E= 0H (-ez) =ex40 cos(9 9t1 0 z 30 )(2)' '9f =1.4310 ( Hz )2 :-TJ-=4、。=0的媒质中，有一均匀平面波，

22、其电场强度E = EmSin（"-kz+），3若已知平面波的频率f =150MHz，任意点的平均功率密度为 0.265PW/m2。试求：（1）电磁波的波数、相速、波长、波阻抗；（2） t=0,z=0时的电场E（0,0）等丁多少？ （ 3）经过t = 0.1Hs后,电场E(0,0)值传到什么位置？(1)波数 k =府=2、f J%&#r&r =2。勺50勺06乂K2 = 2R (rad/m)3 10118相速Vp=1.5乂10(m/s)2、0 ；02 二波长 舄=1( mk波阻抗听=JF = ：F=60兀(Q)(2)均匀平面波的平均坡印廷欠量"均=砖山向2 =3。.265妇0& (W/宿)得Em =10勺0心(V/m)当 t = 0 , z = 0 时aa>a*/ fly E = Em sinI=10k10'k0.866 =8.66x1。' (V/m)m t = 0.1Ns 后-2' 上兀)E =10 sin 2兀 ft kz+ II 3 J26_7_3=10 sinl2 二 150 106 1 10 -