多元函数微分学复习题及答案

1、第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答、选择题21. 极限 lim 4x y 2 =(提示：令 y = k2x2)( B)xQ xyy ：0(A)等于0(B) 不存在 (C)等于丄(D)存在且不等于0或-22'.1 . 12、设函数 f(x,y) = xSin； ySinxxy = 0则极限 lim f (x, y)=(C )0xy = 0y(提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)(A) 不存在(B) 等于1(C) 等于0(D) 等于2xy3、设函数 f (x, y) = $ Jx2 +y20y2_0，则 f(x,y)x2y2=0(提示：在x2 y2 = 0，f (x, y)处处

2、连续；在 x ； 0, y 0，令 y 二 kx，lim_kx2x2 - k2x2二 limx ：0kx =0 =1 k2f(0,0)，故在x20，函数亦连续.所以,处处有极限，但不连续 除(0,0 )点外处处连续(B)(D)(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件yx(D)既非充分又非必要条件5、设 u = arctan ，贝卩= ex(A)x十y(B)yx2 y2(C)yx2 y26、设 f (x,y) = arcs inx，则 fx(21)二1(A)_ 丄47、设 z = arctan -，x y1(B)-4(C)1(D)-=u v，y=uv，贝U Z '

3、Z/ =f (x, y)在整个定义域内处处连续(A)处处连续(C)仅在(0,0)点连续4、函数z = f(x,y)在点(X0,y°)处具有偏导数是它在该点存在全微分的u V(A)uu2 _V2(B) uu2 _V2u V(C)u Vu2 v2(D)u2V28、若 f (x,2x)二 x23x, fx(x,2x) = 6x 1，则 fy(x,2x)=(C)2x 1(D)-2x 19、设z = yX，则(兰三)excy(2,1)(A) 2(B) 1+l n2 (C) 0(D) 110、设 z = xyey，则 zx-x) 口2 x22(A) -2x(1 x )e (B) 2x(1 -x

4、)ex22 x2(C) -x(1-x)e (D)2-x(1 x )ex2IT11、曲线x =2sint,y =4cost,z =t在点(2,0/ )处的法平面方程是2(A) 2x - z = 4(B) 2x - z 4 (C) 4y 一 z = -2 22 (D)4y12、曲线4x二y5,y = z,在点(8,2,4)处的切线方程是(A )x 8z -'4(A)y-2 二204x - 8z - 4(C)y - 2 二5(B)x 1220(D靑-1413、曲面 xcosz ycosx -一z2飞在点0二,°丿处的切平面方程为(D )n(B) x - y =二 -1( C) x

5、- y( D)214、曲面 x2yz-xy2z3=6在点(3,2,1)处的法线方程为(A )(A)8x 5 y _5z -19-3-183-18(C) 8x -3y -18z =0(D) 8x 3y -18z 二 1215、设函数z=1- .x2 y2，则点(0,0)是函数 z的(A)极大值点但非最大值点(B) 极大值点且是最大值点(C) 极小值点但非最小值点(D) 极小值点且是最小值点16、设函数z = f(x, y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P。)=0,fy(P°) =0,fxx(P°) = fyy(P0) =0, fxy(F0)= fyx(R

6、) =2，则(C )(A)点P0是函数z的极大值点(B)点PQ是函数z的极小值点(C)点P0非函数z的极值点(D)条件不够，无法判定17、函数 f (x,y,z) =z 一2 在4x2 2y2 z2"条件下的极大值是(A) 1(B)(C)-1(D)、填空题1、极限 lxmos =y >7：.答:2、x2极限沪=.答：In23、函数z = In(x y)的定义域为.答：x 八14、arcs in x “的定乂域为.答: -1 _ x _ 1，y = 05、设函数f (x, y)2 2=X y xyln，则 f (kx, ky)=.答：k2 f (x,y)6、设函数f (x,y)二

7、 xy ，则 f (x y,x - y)= x y2 2.答: 42x(x y)(x - y)7、设 f(x,y)= ln(_x2 y2)IA.答：-ln22 2:占1/2，要使f (x, y)处处连续，则x2 y -1/2A=8、tan( x2 +y2)设 f (x,y) = x2 y2'a y(x，y)珂0，°)，要使 f(x,y) 在( 0, 0)处连续,(x,y) =(0,0)9、则A=答：1函数Z二仝 L的间断点是2xx -1-答：直线X-1=0上的所有点10、函数 f (x, y)=2 2x _ycos-的间断点为x.答：直线y 及X = 011、设 z=si n

8、(3x y) + y，则竺exx -2y丄.答:3cos544.答:12、设 f(x,y)x2 y2，则 fy(0,1)=4413、设 u(x, y,z)二z，则 dU (1,2,3).答: 3831dx dy ln 2dz16814、设 ux，则在极坐标系下， x2 y2汀.答：o15、设 uy=xyx16、设 u=xln xy ,则豆£x£y17、函数y = y（x）由1 x2y二ey所确定，则dl =d x.答:2xyey _x218、设函数z = z（x, y）由方程xy2z=x y z所确定，则 .答:2xyz - 11 - xy219、由方程 xyz x2 y2

9、 z,：2 所确定的函数 z = z（x,y）在点（1，0,- 1）44处的全微分d z =.答: dx2dy4420、曲线x =t2,y =2t,zt3在点（1,2,丄）处的切线方程是331=z 一一3答.x -1 = y _2° ' 2 221、曲线 x =2te2t,y= 3e2t,z二t2e2t在对应于t=T点处的法平面方程是答：x-3y 11e° =022、曲面 xeyy2e2z z3e3x2二T在点（2,-1,0）处的法线方程为e答：x-2 二 y 12 -2e23、曲面 ar eta 1 +xz_ z2e在点（-2,1,0）处的切平面方程是.答：4y

10、2z = 1124、 设函数 z = z(x, y)由方程x2 - 3xy - y2 - 5x 5y ez 2 = 4 确定，则函数 z2的驻点是.答：(一1, 2)27、函数 z = 2x2 -3y2 -4x-6y-1 的驻点是.答：(1, 1)25、若函数f (x, y)二x2 - 2xy 3y2 ax by 6在点 (1,-1)处取得极值，则常数a=， b=.答: a=0，b=426、 函数f (x,y,z) = -2x2在x2y22z2=2条件下的极大值是 : -4三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形(1) z = 1 -x2 -y2(2)z = ln(x y) z

11、 1z = ln(xy1)ln( x + y)解: (1)要使函数z»：1-x2-y2有意义，必须有1_x2y2_0，即有x2 yS： 1.故所求函数的定义域为D =( x, y) | x2 y2 _1,图形为图3.1 要使函数z = ln(x y)有意义，必须有x y 0.故所有函数的定义域为D =(x,y)|x y d，图形为图 3.2(3)要使函数z有意义，必须有ln(x yp- 0，即x y 0且ln (x + y)x y = 1.故该函数的定义域为D = Xx, y) | x y 0, x V，图形为图3.3 要使函数z = l n(xy-1)有意义，必须有xy-1 0 .

12、故该函数的定义域为D =(x, y)|xy 1，图形为图 3.4图3.1图3.2x+y=Oxx+y=1y1/ y=1/x1x *图3.3图3.42、求极限丁0：；孑#1y si n2x 解：i叫y0 Vysin 2x (Jxy+ 1 +1)-lim= 4 1 _1 xxy1 Jx2 V + 13、求极限 limo一 sin(xy).y jo2-x yi 2解：原式=mo 3 2(_/2sin(xyxmov ex y (1,x y "ye-121、Xsin (xy)xy124、求极限叫y)oxxyexxye解：蚂4*刊0.xye =limj0o(4+J16 + xy) = -8-xy5

13、、设 u =xsiny ycosx，求Ux,Uy .解：ux = sin y - ysin xuy=x cosy cosx6、设 z=xey ye，求zx,zy.解: zx = ey _ ye *zy =xey7、设函数 z 二 z(x, y)由 yz zx xy=3所确定，试求(其中 x 0 ).解一：原式两边对x求导得-：z:zzy x z y =0，则 二:X:Xx岂同理可得：寸=解二:土 上.xFy:z Fy z x :y Fx y x8、求函数z =2x2-3xy 2y2 4x3y 1的极值.解:知3严宀严伽= (-3sint 4t)e3x 2y10、设 z = yX In(xy)，

14、求 z , dx.:z-:y解:zxyx In y In xy 1 yxzyxyX1x In( xy)-y11、x yza=a- In x (a 0)解:-=ux yz1二 a In a - ax ， .x.u二 ax yz zln ayax yz In ad u = (ax yz In aax)dx ax yz Ina(zdy ydz)12、求函数 In(x2 y2 exy)的全微分.解:xy.z2x yexyz 2y xe.x22 xy >x y e:y x2 y2exy4x - 3y 4=0-3x 4y - 3 = 0，zxxzxy4-3zyxzyy-34D -=70Zxx =4

15、.0,函数z在点(-1,0)处取极小值z(-1,0) = -1.dt9、设 z=e3xy，而 x=cost,y=t四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底 部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.，求咚则水池造价S二xy 4xz - 4yz a且 xyz=128令 L = xy 4xz 4yz xyz-128'Lx = y +4z + 入 yz = 0丄L y = x + 4z + Kxz = 0由 yLz = 4x 4y ： ； xy 二 0L , = xyz -128= 0得 x=y=8

16、 z=2由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为 x和y (件)，总成本函数2 2C(x, y) =8x -xy 12y(元).商品的限额为x y =42，求最小成本.解：约束条件为、(x,y) =x y-42 =0，构造拉格朗日函数 F(x, y, ) = 8x2 - xy 12y2 (x y - 42)，Fx"=16x_y + 扎=0解方程组= -x+24y + k = 0,得唯一驻点(x,y) =(25,17)，F ； = x + y -42 = 0由实际情况知，(x, y)二(25,17)就是

17、使总成本最小的点，最小成本为C(25,17) =8043 (元).3、 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：L(x, y)表示获得的总利润，贝U总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数 L(x,y) =(10x 9y) -400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)=8x 6y-0.01(3x2 xy 3y2)-400,(x0, y 0)，I： =80.01(6x + y) =0令X丿，解得唯一驻点(120, 80

18、).Ly =60.01(x+6y) =0又因 A = L： = -0.06 ： 0, B = Lxy = -0.01,C = Lyy = -0.06，得23AC - B =3.5 10 0.得极大值L(120,80) =320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设z二卫.求证x2立y2立=2z .dxby证明： 因为仝二e'x y)42 二二e%灯刍.所以&x2 cyy2x2二寸 Z=e “ e “ =2z&cy2、证明函数y二e2tsinnx满足关系式 旦二k寻 ctex2证明：因为 总士如© sinnx (-kn2) = -kn2e曲t sin