自动控制理论第五章频率分析法1

1、系统分析方法对比：系统分析方法对比：时域法：时域法：只能分析低阶系统，高阶系统分析困难；只能分析低阶系统，高阶系统分析困难；根轨迹法根轨迹法：图解方法，可通过开环分析系统闭环特性，图解方法，可通过开环分析系统闭环特性，既可以分析高阶系统也可以分析低阶系统；既可以分析高阶系统也可以分析低阶系统；频率法：频率法：图解方法，可通过开环分析系统闭环特性，图解方法，可通过开环分析系统闭环特性，既可以分析高阶系统也可以分析低阶系统；有明确既可以分析高阶系统也可以分析低阶系统；有明确的物理意义；可以推广应用于某些非线性系统；能的物理意义；可以推广应用于某些非线性系统；能有效抑制噪声。有效抑制噪声。 第五章第

2、五章 频域法频域法 目的目的 掌握利用频率特性分析系统的方法掌握利用频率特性分析系统的方法内容内容系统的频率特性系统的频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性频率特性作图频率特性作图频率特性分析频率特性分析5.1 5.1 频率特性频率特性设系统结构如图，设系统结构如图，由劳思判据知系统稳定。由劳思判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值

3、随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。基本概念基本概念 系统的系统的频率响应频率响应定义定义为为系统对正弦输入信号的系统对正弦输入信号的稳态响应稳态响应。 系统系统r(t)c(t)稳态输出的振幅与输入振幅之比稳态输出的振幅与输入振幅之比, ,称为称为幅频特性幅频特性。 稳态输出的相位与输入相位之差稳态输出的相位与输入相位之差 , ,称为称为相频特性相频特性。crAAA 一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入 r( )sinr tAt 其稳态输出可写为其稳态输出可写为 c( )sin()c tAtA Ac c- -稳态输出的振幅稳态输出的振幅 - -稳态

4、输出的相角稳态输出的相角 R C ui uo 引例：引例：RC 电路如图所示电路如图所示1111)(TsRCssG22)(sin)(sAsUtAtuii)tansin(1)(1)()(12120TtTAeTATtutT)tansin(1)()(120TtTAtuss采用复数符号表示采用复数符号表示0 AUiTTAU120tan1)(1)(120TUUi)(jG频率特性频率特性T1tanuiAuoA特点特点为：频率与输为：频率与输入信号的频率相同；入信号的频率相同；幅值较输入信号有幅值较输入信号有一定衰减；相位存一定衰减；相位存在一定延迟。在一定延迟。直观上讲：直观上讲：系统的稳态正弦输出信号的

5、复数符号与系统的稳态正弦输出信号的复数符号与输入正弦信号的复数符号之比，称为系输入正弦信号的复数符号之比，称为系统的统的频率特性。频率特性。1111)(TsRCssGjs 22)(1)(1111)(TTjTjTjGTT12tan1)(1基本概念基本概念G sb sbsb sbsasa sammmmnnn( ) 11101110系统传函系统传函令令js G jG ssj()( )得系统的得系统的频率特性频率特性)()(jQP)(arg)(jGjG)()( A频率特性的定义频率特性的定义定义定义: :线性定常系统的频率特性为输出信号的线性定常系统的频率特性为输出信号的付氏变换付氏变换 C C( (

6、j j ) ) 与输入信号的付氏变换与输入信号的付氏变换R R( (j j ) )之比，表示为之比，表示为 输入输入r(t)输出输出c c(t)傅式变换傅式变换)()(jCjR)()()(jRjCjG频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图 动态数学模型动态数学模型讨论：讨论：付氏变换的存在条件付氏变换的存在条件付氏变换与拉氏变换的关系付氏变换与拉氏变换的关系频率特性与微分方程的关系频率特性与微分方程的关系f t dt( )频率特性为线性定常系统在频域中数学模型频率特性为线性定常系统在频域中数学模型付氏变换是拉氏变换在付氏变换是拉氏变换在s s = =

7、j j 时的特例时的特例频率特性的数学表示及作图频率特性的数学表示及作图)()()(Im)(Re)(jQPjGjGjG实频特性实频特性虚频特性虚频特性)()()(arg)()(AjGjGjG幅频特性幅频特性相频特性相频特性)()()(22QPA)()(tan)(1PQ频率特性的数学表示频率特性的数学表示频率特性的作图之频率特性的作图之极坐标图极坐标图 0 Im Re G(j)平面 )(P)(Q)(A)(当频率当频率从从- -变到变到+ 时，时，G(j )在由虚轴在由虚轴与实轴构成的复平面上走过的轨迹即为与实轴构成的复平面上走过的轨迹即为极极坐标图坐标图频率特性的作图之频率特性的作图之极坐标图极

8、坐标图 0 () Im Re G(j)平面 A() =0+ 特点：特点：曲线曲线实轴对称实轴对称 为隐变量为隐变量 不便于徒手绘图不便于徒手绘图 展示不清晰展示不清晰频率特性的作图之频率特性的作图之对数坐标图对数坐标图)()()(arg)()(AjGjGjG幅频特性幅频特性曲线曲线相频特性相频特性曲线曲线对数幅频对数幅频特性曲线特性曲线对数相频对数相频特性曲线特性曲线伯德图伯德图l 对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线 L L( ( ) )LA( )lg( ) 20lg横轴横轴纵轴纵轴11010010000123lg)(lg20AdB604020l 对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线 L L( (

9、) ) -1 0 1 2 0.1 1 10 100 lg 0 20 40 -20 -40 0 1 2 -1 -2 20lgA() lgA() dB Bell 2 3 5 20 50 0.5 纵轴纵轴： ( ) 横轴：横轴： 0 () 0.1 1 10 100 2 3 5 20 50 0.5 +90 +180 -90 -180 lgl 对数相频特性曲线对数相频特性曲线 ( ( ) )对数坐标图优点：对数坐标图优点： (1) (1) 可以将幅值的乘除转化为加减。可以将幅值的乘除转化为加减。(2) (2) 可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。(3) (3)

10、 扩大了研究问题的视野。在一张图上，既画扩大了研究问题的视野。在一张图上，既画出频率特性的中、高频段特性，又能画出其低频出频率特性的中、高频段特性，又能画出其低频特性，而低频特性对分析、设计控制系统来说是特性，而低频特性对分析、设计控制系统来说是极其重要的。极其重要的。可以叠加作图可以叠加作图 可以采用折线作图可以采用折线作图可以展宽频带可以展宽频带5.2 典型环节的频率特性 1. 1. 比例环节比例环节KjG)(KsG)(KA)( ( ) 0传函传函频率特性频率特性幅频幅频相频相频 Re Im 0 G(j) K -40 0.1 () L() dB 1 100 10 40 0 20 -20 0

11、 45 -45 90 -90 KA)( ( ) 0gKLl20)(gKl202. 2. 积分环节积分环节11)(jjjGssG1)(1)(A90)(传函传函频率特性频率特性幅频幅频相频相频 Re Im 0 G(j) 01)(ALgL20)(90)( -40 0.1 () L() dB 1 100 100 40 0 20 -20 0 45 -45 90 -90 decdB /203. 3. 微分环节微分环节jjG)(ssG)()(A90)(传函传函频率特性频率特性幅频幅频相频相频 Re Im 0 G(j) 0)(ALgL20)(90)( -40 0.1 () L() dB 1 100 100 4

12、0 0 20 -20 0 45 -45 90 -90 decdB /204. 4. 惯性环节惯性环节11)(TjjG11)(TssG1)(1)(2TAT1tan)(传函传函频率特性频率特性幅频幅频相频相频 Re Im 0 G(j) 0TT12tan1)(10)0(1)0(A90)(0)(A1)(20)(2TLgLT1tan)( -40 0.1 () L() dB 1 100 100 40 0 20 -20 0 45 -45 90 -90 decdB/201)(1)(2TAT1 处应有最大误差处应有最大误差 0dB /dec 0 20 -20 -40 L() dB -60 0.01 0.1 1

13、100 10 () 0 45 -45 -90 -20dB /dec -3dB T1 1TLTT( )lg2011221 2012301lg. 0dB -1dB -2dB -3dB -4dB 1101T 151T 121T 1T 51T 21T 101T 近似对数幅频特性：近似对数幅频特性： 当当 时，时， 时，时， ， ，略去，略去1 1，得，得 1T 1T 2()1T 22( )20lg120lg20lgLTTT 扩展为只要扩展为只要 ，就以，就以 近似地代近似地代替之。替之。 1T ( )20lgLT 在转折频率在转折频率 处，近似精度最低。其最大处，近似精度最低。其最大误差为误差为 1T

14、 2120lg120lg23dBTT 定义定义 为转折频率，也是特征点。为转折频率，也是特征点。 1T 其幅频特征值为：其幅频特征值为： 。 10.707AT 对数幅频特征值为：对数幅频特征值为： 。 13LdBT 特征点：特征点： 1,( )3dB,45LT 惯性环节的伯德图惯性环节的伯德图 5. 5. 一阶微分环节一阶微分环节1)(TjjG1)(TssG1)()(2TAT1tan)(传函传函频率特性频率特性幅频幅频相频相频 Re Im 0 G(j) 0TT12tan1)(0)0(1)0(A90)()(A11)(20)(2TLgLT1tan)( -40 0.1 () L() dB 1 100

15、 100 40 0 20 -20 0 45 -45 90 -90 decdB/201)()(2TAT16. 6. 二阶振荡环节二阶振荡环节传函传函频率特性频率特性G sssnnn( ) 222212122TssTG jTjjT()() 121221122122222222222TTTjTTT ()()()()22222212arctan)2()1 (1TTTT幅频幅频2212arctan)(TT2222)2()1 (1)(TTA相频相频0)0(1)0(A180)(0)(A + =0+ =0.707 0.707 单位圆 Mr 1 0 G(j) Re Im 振荡环节振荡环节G(j)曲线曲线（Nyq

16、uist曲线曲线）0j11()2nA21()21rA L() dB 20 0 -20 -40 -60 0.01 0.1 1 10 1/T 0 -45 -90 -135 -180 () 2222)2()1 (lg20)(TTL2212arctan)(TTdecdB /40T1振荡环节再分析振荡环节再分析0dBL()dB20lgkn120lg2r-40 友情提醒友情提醒: (n)= - 90o2nn22nS2Sk(s)G 21 2n = r2120lg21(0 0.707) 0 0.5 = 0.5 0.5 1 L() dB 20 0 -20 -40 -60 20lgMr r -40dB/dec 0

17、dB/dec 0.01 0.1 1 10 1/T 0 -45 -90 -135 -180 0.707 =0.707 0.707 () 振荡环节的幅频特性为振荡环节的幅频特性为其中其中 ：当出现揩振峰值时，当出现揩振峰值时， 有最大值，即有最大值，即 有最有最小值。小值。得到得到 式中式中 222211()12G jgTT 222212gTT ()G j g 2222dg d1T 2T0dd 22rn11212T 102n1T 将将 代入代入 ，不难求得，不难求得 ，因此，在因此，在 处处 具有最小值，亦即具有最小值，亦即 此此刻具有最大值。将刻具有最大值。将 代入幅频特性代入幅频特性 中，中，

18、得谐振峰为得谐振峰为212rn 2121rrMG j 22d gd g rrM G j 220d gd 212rn rG j 谐振频率谐振频率r r及谐振峰值及谐振峰值M Mr r都与都与有关。有关。越小越小, , r r越接近越接近n n, M, Mr r将越大。将越大。当当 0.7070.707时，时， r r为虚数，说明为虚数，说明不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当当 =0.707=0.707时，时， r r=0=0，M Mr r=1=1。 0.70700，M Mr r11。 0 0时，时， r r n n，M Mr r。谐振时，。谐振时，G(jG(j

19、) )的相角为的相角为 21r12G jtg + =0+ =0.707 0.707 单位圆 Mr 1 0 G(j) Re Im 2222L 20lg1T 2 T 对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性 1222 Ttg1T 低频段，即低频段，即TT111时时22( )20lg()40lg()LTT ( )40lg10T4040lgTL n1T当当增加增加1010倍倍( )40lg40lg10()LTdB 说明说明 为二阶系统为二阶系统( (振荡环节振荡环节) )的转折的转折频率。频率。n1T10110090180() 101.00)(L2.024688.06.04.0n/1.02.0

20、3.07.011.02.03.07.01dB 可见：当频率接近可见：当频率接近 时，将产生谐振峰值。时，将产生谐振峰值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。 相角相角 是是和和的函数。的函数。=0=0， ；当当 时，不管时，不管值的大小，值的大小， ；当；当=时，时， 。相频曲线对。相频曲线对-90-90的弯曲点的弯曲点是斜对称的。是斜对称的。n 0 n o90 o180 12)(22TssTsG7. 7. 二阶微分环节二阶微分环节传函传函频率特性频率特性幅频幅频相频相频0)0(1)0(A180)()(A12)()(22TjjTjG2222)2()1 ()(TT

21、A2212arctan)(TT+=0+ReIm0G(j)1 r 0dB/dec L() dB -20 0 20 40 60 20lgMr +40dB/dec 0.01 0.1 1 10 1/T 0 +45 +90 +135 +180 0.707 0.707 () ()L() dB110T1T10T20900040401807 .03 .02 .07 .03 .02 .0G jej()sesG)(Aej( )1)(3 .57)( je Im Re 1 0 G(j) 8. 8. 延迟环节延迟环节传函传函频率特性频率特性幅频幅频相频相频 L() dB -20 0 20 1/ () 0 -180 -3

22、60 -450 10/ 0.1/ 0dB/dec 1. 1. 零阶因子可以传输任何频率信号而不失真（比例）；零阶因子可以传输任何频率信号而不失真（比例）；2. 2. 微分因子具有相位超前特性，微分因子具有相位超前特性， 增大时幅值增大时幅值 增大，增大，具有高通特性；具有高通特性；3. 3. 积分因子具有相位滞后特性，积分因子具有相位滞后特性， 增大时幅值增大时幅值 减小，减小，具有低通特性；具有低通特性；4. 4. 一阶因子相位变化一阶因子相位变化 ；n n阶因阶因子相位变化子相位变化n n个个 ；( )A( )A时时，从从零零变变化化到到 2 2 典型环节频率特性总结：典型环节频率特性总结

23、：5.3 系统开环频率特性作图 1. 1. 开环对数频率特性绘图开环对数频率特性绘图G(s)H(s)R(s)C(s)+-E(s)()()(jHjGjGoG sG s H so( )( )( )开环传函开环传函开环频率特性开环频率特性212211212211) 12() 1() 12() 1()(njjjniimllllmkkooTssTsTssssksG典型环节分解典型环节分解)()()()(210jGjGjGjGk)()()()(210sGsGsGsGk开环频率特性开环频率特性)()()()()()(2211kkAAA)()()()()()(2121kkAAA)()()()(210kAAAA

24、)()()()(210k开环对数幅频特性开环对数幅频特性)()()()(210kLLLL开环对数相频特性开环对数相频特性)()()()(21k叠加作图叠加作图 系统开环对数幅频特性为各典型环节对数系统开环对数幅频特性为各典型环节对数幅频特性叠加幅频特性叠加 系统开环对数相频特性为各典型环节对数系统开环对数相频特性为各典型环节对数相频特性叠加相频特性叠加G sss ss( )()()()1002120例：例：已知系统开环传函为已知系统开环传函为试绘制其开环伯德图试绘制其开环伯德图解：解：) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssG一阶微分一阶微分一阶惯性一阶惯性积分环节积分环节

25、比例比例 0 +20 -20 -40 -60 L() dB +40 2 1 10 20 100 L1 dB L2 L3 L4 L5 比例环节比例环节2010lg20)(,10)(11LjG一阶微分一阶微分21积分积分lg20)(3L一阶惯性一阶惯性12一阶惯性一阶惯性203) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssG 0 () 2 1 10 20 100 -90 -180 +90 1 2 3 5 4 比例环节比例环节0)(1一阶微分一阶微分900: )(2积分环节积分环节90)(3一阶惯性一阶惯性900: )(4900: )(5) 105. 0)(1() 15 . 0(10)

26、(sssssG转折渐进作图转折渐进作图Klg201decdB20decdB20T1decdB40T1T1T1decdB20decdB40绘制对数幅频特性曲线的步骤：绘制对数幅频特性曲线的步骤： 1. 1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形式，并将式，并将分子分母中各因式常数项系数化为分子分母中各因式常数项系数化为1 1。转化为。转化为开环对数幅频特性；开环对数幅频特性； 2.2.确定出系统开环增益确定出系统开环增益K K，并计算，并计算 。 3.3.确定各有关环节的确定各有关环节的转折频率转折频率，并把有关的转折频率，并把有关的转折频率标

27、注在半对数坐标的横轴上。标注在半对数坐标的横轴上。 4.4.在半对数坐标上确定在半对数坐标上确定 =1(1/s)=1(1/s)且纵坐标等于且纵坐标等于20lgK20lgK dB dB的的点点A A。过。过A A点做一直线，使其斜率等于点做一直线，使其斜率等于-20-20dBdB/dec/dec。当。当=0, =0, =1, =1, =2=2时，斜率分别是时，斜率分别是(0(0，-20-20，-40)dB/dec-40)dB/dec。 20lg K5.5.从低频段第一个从低频段第一个转折频率转折频率开始做斜直线，该直线开始做斜直线，该直线的斜率等于过的斜率等于过A A点直线的斜率加这个环节的斜率

28、（点直线的斜率加这个环节的斜率（惯惯性环节加性环节加-20-20，振荡环节加振荡环节加-40-40，一阶微分环节加一阶微分环节加+20+20的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减。加减。 6.6.高频段最后的斜线的斜率应等于高频段最后的斜线的斜率应等于- -20(n-m) dB/20(n-m) dB/十倍频程十倍频程。 7.7.若系统中有振荡环节，当若系统中有振荡环节，当 0.4m(nm(即传递函数中分母阶次大即传递函数中分母阶次大于分子阶次于分子阶次) )，各型系统幅相曲线的幅值等于，各型系统幅相曲线的幅值等于0 0，相，相角为角为-(n

29、-m)-(n-m)9090 。 G(jG(j ) )曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，其交点坐标可由下列方法确定。其交点坐标可由下列方法确定。 令令Q Q( ( )=0)=0解出解出 x x ，再将，再将 x x代入代入P(P( x x) )中，中，求得与负实轴交点的坐标。求得与负实轴交点的坐标。j(j)(j )(j ) e( )j ( )GGGPQ 例例 某某0 0型单位负反馈控制系统，系统开环传递函数型单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为为 ，试绘制系统的开环幅相曲线。，试绘制系统的开环幅相曲线。 12( )(1)(1)KG sT sT s 解：解：12(j)(j1)(j1)KGTT 22221211( )11AKTT 1