大学物理刚体力学习题课

1、2021-12-111刚体力学习题课刚体力学习题课主要内容：主要内容：平行轴定理。的计算（常见的公式）瞬时轴）或质心系适用于惯性系（定轴或二、转动定律：, JJMZ2 :r, ar, arv rs nt量的关系一、定轴转动线量和角2021-12-11222221122221212121,2121JmvJEmghEJJMd Acckcp 固固刚刚体体的的动动能能刚刚体体的的重重力力势势能能。能能定定理理：三三、刚刚体体定定轴轴转转动动的的动动机机械械能能守守恒恒定定律律。原原理理系系统统中中有有刚刚体体时时的的功功能能 ,2021-12-113惯性系或质心系：角动量守恒定律的条件动量定理：四、刚

2、体定轴转动的角)2( 0) 1 ( 112221MJJMdttt系系统统角角动动量量守守恒恒定定律律。量量定定理理系系统统中中有有刚刚体体时时的的角角动动 ,2021-12-114进动方向的判断。）（六、刚体的定点运动： (2) sin 1 LM 适用于任意参照系。只适用于惯性系。五、刚体的平面运动： ,3 21212 1 22J MamF) (Jmv) E (rvv) (ccccckicci2021-12-115例。一均匀细棒（例。一均匀细棒（m,lm,l) )的两端用绳子自天花板竖的两端用绳子自天花板竖直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断，求此直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断，求此时另一端

3、绳的张力。时另一端绳的张力。ABTmg分析：分析：mgTmgmgTmgTmgT21 )4( 21 )3( )2( 21 ) 1 (2021-12-116例。一均匀细棒（例。一均匀细棒（m,lm,l) )的两端用绳子自天花板的两端用绳子自天花板竖直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断，竖直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断，求此时另一端绳的张力。求此时另一端绳的张力。ABTmg解：解：剪断瞬间，剪断瞬间，A端可认为静止点。端可认为静止点。 23122 ccAamaTmgmmgM)23,43( 41ggamgTc2021-12-117例（习题例（习题3.413.41）质量为）质量为m m 的人站在质量为

4、的人站在质量为M M，长长L L的竹筏的一端，起初，人和筏处于静止状态，若的竹筏的一端，起初，人和筏处于静止状态，若人以速度为人以速度为v（相对于河岸）向垂直于筏身的方相对于河岸）向垂直于筏身的方向水平跳出，求竹筏获得的角速度。（筏作为细向水平跳出，求竹筏获得的角速度。（筏作为细杆，水的阻力可忽略）杆，水的阻力可忽略）)121( 02 2MJmvJ筏筏角动量守恒：水平面的轴为转轴，以过竹筏中心垂直解：把人和竹筏为系统Mmv61232021-12-118解法解法1：系统角动量守恒。点的垂直轴为固定轴，所以过止点。为人跳离筏过程中的静为筏的中心，为系统，取岸为参照系，人和筏PPO)121( 0)2

5、(22MxMJxmvJPPOPx v2021-12-1190 mvMVC系统动量守恒：xVC:相互关系MmvVMmvxC ,6 ,6VcOPx v2021-12-1110方法方法2 2：动量定理和角动量定理MLdtLFM: mvdtFm21212 :Mmv6 VcOPx v2021-12-1111方法方法3 3：质心坐标系C 略2021-12-1112例例 如图，设如图，设m1m2+m3，（M，R）、(m3,r)为两均质园柱为两均质园柱, ,绳子与圆柱体无滑动，圆柱体中心轴无摩擦绳子与圆柱体无滑动，圆柱体中心轴无摩擦。求各物体的加速度和绳子的张力。求各物体的加速度和绳子的张力。m3,rm1m2

6、M,R2021-12-1113M,Rm3,rm1m2T1T2T3T4a1a2122224223322334321221111121)(21)(amgmTrmrTTamgmTTTMRRTTamTgm解： :,)2( :, :,2223212213111rammrRraRmMRaMm2021-12-1114.43282243213212gMmmmmmma2021-12-1115例例 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度然下垂，将单摆的

7、摆锤拉到高度h h0 0，令它自静止状态，令它自静止状态下下垂垂, ,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度下端达到的高度h 。chchhbamlhol2021-12-1116chchhbamlhol分析分析: :以小球、棒和地球为系统，在碰撞前、以小球、棒和地球为系统，在碰撞前、中和碰后，系统的机械能守恒。碰撞中系统中和碰后，系统的机械能守恒。碰撞中系统动量不守恒，但系统的角动量守恒。动量不守恒，但系统的角动量守恒。2021-12-1117解：设碰前摆球的速度为解：设碰前摆球的速度为v v0 0 ; ;碰撞后直杆的角速度碰撞后直杆的角速

8、度为为 ，摆锤的速度为，摆锤的速度为v。杆下端上升的高度为杆下端上升的高度为h 。则则有：有：2031 (2) mlJvmlJmlv式中碰中系统：(3) 2121212220vmJmv碰中系统：(1) 21020mghmv碰前摆球和地球：2021-12-1118lvvv23,2002320hhhc由此得由此得chchhbamlhol(4) 212cmghJ碰后杆和地球：2021-12-1119。，水平边长为板的竖直边长为薄减为原来的一半？已知问经过多少时间角速度。方的乘积，比例常数为正比于该面积和速度平小小面积上所受阻力的大阻力垂直于板面，每一，转动时受到空气阻力转动，初始角速度为直边的匀质矩

9、形薄板绕其竖一质量例abkm0 ab分析：关键是计算阻力分析：关键是计算阻力矩和板的转动惯量矩和板的转动惯量2021-12-1120解：解：建立如图坐标系，在距原点 x 处取宽为 dx 的细薄板，根据题意，其受空气的阻力为 bdxxkdskvdf22其对Oy 轴的转动阻力矩为dxxkbxdfdMf32整个薄板的转动阻力矩为bakdxxkbdMMaff4203241Oxyabdxx2021-12-1121细薄板对Oy 轴的转动惯量为bdxabmxdsxdmxdJ222整个薄板的转动惯量为22031madxxamdJJa代入转动定律代入转动定律dtdJMfOxyabdxx2021-12-1122始

10、条件两边积分，并考虑到初得2202003141dmdtbkat所以得0234bkamt 2243141dmabdtka得：2021-12-1123例。如图，转轴平行的两飞轮例。如图，转轴平行的两飞轮A A、B B，半径分半径分别为别为R1、R2。对各自转轴的转动惯量分别对各自转轴的转动惯量分别 为为J1、 J2 。A A轮转动的角速度为轮转动的角速度为 0 0，B B轮不轮不转动。移动转动。移动B B轮使两轮边缘互相接触。两轮使两轮边缘互相接触。两轴仍保持平行，轴光滑，轮间有摩擦。轴仍保持平行，轴光滑，轮间有摩擦。问转动稳后，两轮的角速度各为多少？问转动稳后，两轮的角速度各为多少？O1O202021-12-1124 221101 JJJ 2211 R R线速相等：O1O2Ff1f2m1gm2gT1T2N1N2解：由系统（解：由系统（A，B）受力分析可知，受力分析可知，f1, f2 为为内力，其它力的延长线内力，其它力的延长线过转轴，所以力矩为零，过转轴，所以力矩为零，所以系统的角动量恒。所以系统的角动量恒。2021-12-1125恒分析系统的角动量不守解： 22201111ttJdtfRBJJd