1-5克拉默法则及习题课PPT课件

1、7 7 克拉默（克莱姆）法则克拉默（克莱姆）法则的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD则方程组（则方程组（8 8）有）有唯一唯一解：解：. , , ,2211DDxDDxDDxnn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(8)(8)若线性方程组若线性方程组nbb1nnjnjnnnjjjaaaaaaaaD1,1,111, 11, 111 其中其中.), 2 , 1(nj 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明： 1)存在性。存在性。Dj= b1A1j+b2A

2、2j+bnAnj= nssjsAb1把把 代入第代入第 j (j=1,2,n)个方程，得个方程，得DDxjj iinsnjsjijsnjnsijijsnjnssjsijnjjijnjjijbDbDAabDAabDAbaDDDaxa 111111111111故故 是方程组的解。是方程组的解。DDxjj 克拉默法则证明，存在性机动 目录 上页 下页 返回 结束 克拉默法则证明，唯一性2)唯一性唯一性设设(c1,c2,cn)是方程组的一个解，则是方程组的一个解，则)n,i (bcainjjij211 )n,i (AbcaAikinjjijik211 DcAaccaAcaAknjniikijjninj

3、jijikninjjijik 111111,1kniikiDAb DDckk 得得所以方程组有唯一解。所以方程组有唯一解。左端相加左端相加右端相加右端相加 从而从而ckD=Dk机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例19 解线性方程组解线性方程组 . 0674 , 52 2 , 96 3 , 8 5 243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212 06031151 2 D 2 12 060 31 212rr 075 1312 7 7 0 24rr 12772121357 212cc 71 5 3 07 232cc 2733 . 027 203 机动 目录 上页 下

4、页 返回 结束 6 74 1 2 12 0 60 31 1 51 2 D1D 32 r 6740 212520 131518 3 74 120 151 3 213cc 110112242cc 1 02 2 271221115113 12 1 113 12cc 132cc 50622021 22521613 ,81 0 59 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 ,2707415120903185124 D,27 D,811 D于是得于是得. 1 , 1 , 4 , 34321 xxxx机动 目录 上

5、页 下页 返回 结束 程的个数与未知量的个数不等时程的个数与未知量的个数不等时, , 就不能用克拉就不能用克拉通过上述例子通过上述例子, , 我们看到用克拉默法则求解我们看到用克拉默法则求解线性方程组时线性方程组时, ,要计算要计算 n+1 个个 n 阶行列式阶行列式, ,这个这个计算量是相当大的计算量是相当大的, , 所以所以, , 在具体求解线性方程在具体求解线性方程组时组时, , 很少用克拉默法则很少用克拉默法则. . 另外另外, , 当方程组中方当方程组中方默法则求解默法则求解. .但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位中的重要地位.

6、. 克拉默法则不仅给出了方程组有克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件唯一解的条件, , 并且给出了方程组的解与方程组并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系的系数和常数项的关系. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 克拉默法则可叙述为下面的重要定理克拉默法则可叙述为下面的重要定理. . 定理定理 4 的逆否命题为的逆否命题为机动 目录 上页 下页 返回 结束 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(9)当当 全为零时，全为零时，nbbb,21即即称称（9）式为式为齐次线性方程组齐次线性方程组。021 nxxx一定是（一定是

7、（9）式的解）式的解 零解零解。若有一组不全为零的数是（若有一组不全为零的数是（9）式的解）式的解非零解非零解。定理定理5 5 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）的系数行列式）的系数行列式 D00，则（，则（9 9）式式没有非零解没有非零解（有唯一零解）。（有唯一零解）。定理定理55如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）有非零解有非零解，则它的系数行列式，则它的系数行列式必为零。必为零。对于线性方程组（对于线性方程组（8）右端的常数项）右端的常数项nbbb,21线性方程组（线性方程组（8）叫做）叫做非齐次线性方程组非齐次线性方程组；不全为零时，不全为零时，机动 目录 上

8、页 下页 返回 结束 解解例例20 问问取何值时，齐次线性方程组取何值时，齐次线性方程组 0-4 2 0 62 02 2 5zxyxzyx 有非零解？有非零解？（10）由定理由定理5知，要使（知，要使（10）有非零解，）有非零解， 则其系数行列式则其系数行列式D= =0。 402062225D 6444465 825. 0 得得 、 或或 。2 5 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 典型例题典型例题主要内容主要内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 行列式习题课习题课全排列机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一 行列式定义行列式定义1.二阶三阶行列式的对角线法则2.n阶行列式的

9、定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa21211 333231232221131211aaaaaaaaa注意注意:逆序数的求法逆序数的求法n 阶行列式的性质阶行列式的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二.行列式的计算行列式的计算1.利用定义法2.利用性质(6条性质)（如化三角形行列式）3.利用展开定理(降阶法）4.利用已知结果（如范德蒙行列式）5.利用加边法（升阶法）6.利用递推公式法7.利用数学归纳法注意：注意：代数余子式的重要性质：代数余子式的重要性质：nnnniinniinaaaabbaaaa1, 11 , 11, 11 , 1111inni

10、iAbAbAb2211nnjnnjnnnjjaabaaaabaa1,1,111, 111, 111njnjjAbAbAb2211关于代数余子式的重要性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 三三.克拉默法则克拉默法则克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理5 5 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）的系数行列式）的系数行列式 D00，则（，则（9 9）式）式没有非零解没有非零解（有唯一零解）。（有唯一零解）。定理定理55如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）有非零解，）有非零解，则它的系数行列式必为零。则它的系数行列式必为零。典型例题典型例题一、计算排列的逆序数一、

11、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式三、克拉默法则三、克拉默法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 典型例题典型例题一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数 （例）（例） .,并并讨讨论论奇奇偶偶性性的的逆逆序序数数求求排排列列kkkkkk 解解例例;0,2故故逆逆序序数数为为排排在在首首位位k; 1),2(11故故逆逆序序数数为为大大的的数数有有一一个个的的前前面面比比k; 1),2()12()12( 逆序数为逆序数为故故大的数有一个大的数有一个的前面比的前面比kkk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序

12、数; 2),12 ,2(22 数数为为故故逆逆序序大大的的数数有有两两个个的的前前面面比比 kk; 2),12 ,2(2222 故故逆逆序序数数为为大大的的数数有有两两个个的的前前面面比比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序数为故逆序数为个个大的数有大的数有的前面比的前面比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序数为故逆序数为个个大的数有大的数有的前面比的前面比;),1, 12 ,2( kkkkkkk故故逆逆序序数数为为个个大大的的数数有有的的前前面面比比 机动 目录 上页 下页 返回 结束 kkkt 1122110 kkk 211122k 于是

13、排列的逆序数为于是排列的逆序数为当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列k当当 为偶数时，排列为偶排列为偶数时，排列为偶排列k 1) 1)(2(3232221212 kkkkkkkk二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式 用定义计算（证明）用定义计算（证明）用定义计算用定义计算例用行列式定义计算例用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式例解的非零元素分别得到的非零元素分别得到行可能行可能中第中第那么，由那

14、么，由行的元素分别为行的元素分别为中第中第设设5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能组组成成，一一个个在在上上述述可可能能取取的的代代码码中中因因为为机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例3计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根

15、据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例解，于于是是得得到到增增至至幂幂次次数数便便从从则则方方若若提提取取各各行行的的公公因因子子，递递升升至至而而是是由由变变到到序序排排列列，但但不不是是从从次次数数自自左左至至右右按按递递升升次次方方幂幂数数的的不不同同方方幂幂中中各各行行元元素素分分别别是是一一个个10.1, 10, nnnDn解解.1333122

16、211111!121212nnnnDnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin机动 目录 上页 下页 返回 结束 用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例4计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解列都加到第一列，得列都加

17、到第一列，得将第将第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 231221211110

18、10010001)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 用降阶法计算用降阶法计算，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并从第行，并从第行都加到第行都加到第、的第的第将将dcbaD 114324用降阶法计算用降阶法计算例例5计算计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列列，得得列列都都减减去去第第、再再将将第第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 机动 目录 上页 下页 返回 结束 行展开，得行展开，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadc

19、baD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再从从第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 机动 目录 上页 下页 返回 结束 列列，得得列列减减去去第第再再将将第第12行展开，得行展开，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(机动 目录 上页 下页 返回 结束 5用递推法计算（例用递推法计算（例7）5用递推法计算用递推法计算例例6计算计算.1000

20、0000000100001000010000Dn解解拆成两个行列式之和列把依第Dn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .10000000000100001000010000Dn.10000000000100001000000000化下三角形行列式按第一列展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 .100000000000100000100000100000Dn.1Dn.1DDnnn从而由此递推，得由此递推，得221211,nnnnnnnDDDD于是如此继续下去，可得如此继续下去，可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2233221DDnnnnnn12332

21、21nnnnnnnnnn12216 扩充行列式 例8机动 目录 上页 下页 返回 结束 6用加边用加边(升阶升阶)法计算法计算例例7计算计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnxaaaaaxaaaaaxaaD 210001把第把第 1 列的列的 -1 倍加到其倍加到其余各列余各列nxaxaxa000000111121 把第把第 i 行的行的倍加到第一行倍加到第一行ix1机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnxaxaxaxaxaxa00000000012121 nkknxaxxx1211用数学归纳法（例）用数学归纳法（例）用数学归纳法用数学归纳法例例8证明证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例证明证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结结论论成成立立时时当当所所以以因因为为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于