线性代数正定二次型PPT学习教案

1、会计学1, 0)(),),(021 xfxxxxxTn都都有有, 0)(, 0 xfx都都有有如如果果对对任任何何则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵； 则称f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵； 1定定义义设有实二次型 ,)(AxxxfT 如果对任何 222164zyxf 为正定二次型 22213xxf 为负定二次型 例如 第1页/共13页.: 2个个系系数数全全为为正正它它的的标标准准形形的的件件是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条实实二二次次型型定定理理nAxxfT 推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 特征值全为正 2 22 22 21 12 2n n推推

2、论论1 1 二二次次型型正正定定的的充充要要条条件件是是它它的的标标准准型型为为 f f X X = = y y+ +y y+ +y y推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.第2页/共13页, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 这个定理称为霍尔维茨定理 定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 各阶顺序主子式全为正，即 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即 第3页/共13页例1 判别二次型 32312123222132148455,xxxxx

3、xxxxxxxf 是否正定.解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式 , 05 , 011225, 01524212425故上述二次型是正定的. 第4页/共13页例2 判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定.解二次型的矩阵为,502040202 A用特征值判别法. 0 AI 令令. 6, 4, 1321 故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵， A第5页/共13页例3 判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性.解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.3为负定为

4、负定知知根据定理根据定理f,402062225 A第6页/共13页正定矩阵具有以下一些简单性质 ;,. 11正正定定矩矩阵阵均均为为则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA,A T.,. 2正正定定矩矩阵阵也也是是则则阶阶正正定定矩矩阵阵均均为为若若 BAnBA 第7页/共13页：，性性质质（）设设 是是的的特特征征值值，（）为为任任一一多多项项式式，则则（ ）是是（）的的特特征征值值。（用用定定义义证证）（）若若可可逆逆，则则的的的的特特征征值值均均非非零零。且且若若 是是的的特特征征值值则则为为的的特特征征值值。 第8页/共13页。由由定定理理它它们们为为正正定定矩矩阵阵是是正正数数且

5、且它它们们的的特特征征值值都都也也是是对对称称矩矩阵阵与与则则都都是是正正数数的的特特征征值值且且是是对对称称矩矩阵阵是是正正定定矩矩阵阵，则则因因为为证证明明也也是是正正定定矩矩阵阵。与与为为正正定定矩矩阵阵，证证明明设设也也是是正正定定矩矩阵阵。由由定定义义则则，对对任任意意向向量量们们都都为为对对称称矩矩阵阵为为正正定定矩矩阵阵，由由定定义义它它、证证明明：因因为为也也是是正正定定矩矩阵阵。为为正正定定矩矩阵阵，证证明明、设设.,.,:4205,0,00,320511nnTTAAAAAAAAexPABBXXAXXXBAABBAexP 第9页/共13页是是正正定定矩矩阵阵。它它们们全全大大

6、于于零零，所所以以充充分分大大时时，当当，的的特特征征值值为为所所以以，使使得得，矩矩阵阵可可对对角角化化，存存在在可可逆逆为为对对称称矩矩阵阵，证证明明：因因为为是是正正定定矩矩阵阵。充充分分大大时时，为为对对称称矩矩阵阵，证证明明当当设设AtIttttAPttPtIPPPPtIPPAtIPPAPAAAtItAexPnnnnn 211111111112205第10页/共13页2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导第11页/共13页定理2之证明 使使设设可可逆逆变变换换Cyx .21iniiykCyfxf 充分性 ., 10niki 设设, 0 x任任给给, 0 xCy1-则则故 . 021 iniiykxf必要性