排列与组合的概念.

1、文件 sxgdja0016.doc科目 数学年级 高中章节 关键词 排列/组合 /概念 标题 排列与组合的概念内容 北京市五中 肖钰教学目标1. 正确理解排列、组合的意义2. 掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解3. 发展学生的抽象能力和逻辑思维能力教学重点与难点重点：正确理解两个原理（加法原理、乘法原理）以及排列、组合的概念 难点：区别排列与组合教学过程设计师：上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习：（用投影仪出示）1. 书架上层放着 50 本不同的社会科学书，下层放着 40 本不同的自然科学的书（ 1）从中任取 1 本，有多少种取法 ?（2）从中任取社

2、会科学书与自然科学书各1 本，有多少种不同的取法 ?2. 某农场为了考察三个外地优良品种A， B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的上地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区 ?（全体同学参加笔试练习 ）4 分钟后，找一同学谈解答和怎样思考的 ?生：第 1（1）小题从书架上任取 1 本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书， 可以从 50本中任取 1本，有 50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书， 可以从 40本中 任取 1 本，有 40 种方法根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40 90第（ 2）小题从书架上取社会科学、 自然科学书各 1本（共取出 2 本），可

3、以分两个步骤完成： 第一步取一 本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×402 000第2 题说，共有 A，B，C 三种优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类 型的土地上有三个小区 , 所以共需3× 515 个实验小区师：学习了两个基本原理之后，继续学习排列和组合，什么是排列?什么是组合 ?这两个问题有什么区别和联系 ?这是我们讨论的重点先从实例入手：1. 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票 ? 希望同学们设计好方案，踊跃发言生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，

4、需要制 2 种飞机票，若 起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2 种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要 2 种飞机票，共需要 2+2+26 种飞机票 师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题能不能用乘法原理来设计方案呢 ? 生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3 种方法即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点 站只能在其余两个站去选那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站3×26 种在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有 师：根据生乙的分析写出所有种飞机票 生丙：（板演）

5、在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号如 有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以 表示出多少种不同的信号 ?请同学们谈谈自己的想法 生丁：事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的 同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、红这三面旗子的所有不同顺序的排法总 数首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有 3 种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中 去取，有 2 种方法乘下那面旗子，放在最低位置 根据乘法原理

6、，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是： 3×2×16（种）师：根据生丁同学的分析，写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况 （包括每个位置情 况）生戊：（板演）师：第三个实例，请全体同学都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来 由数字 1，2，3，4 可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?写出这些所有的三位数 （教师在教室巡视，过 3 分钟找一个同学板演） 根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3× 2 24（个）师：请板演同学谈谈怎样想的 ? 生：第一步，先确定百位上的数字在1，2，3，4 这四个数

7、字中任取一个，有 4种取法第二步，确定十位上的数字当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数 字去取，有 3 种方法第三步，确定个位上的数字当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下 的两个数字中去取，有 2 种方法根据乘法原理，所以共有 4×3×2 24 种 师：以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方 ? 生：都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象 师：取出的这些研究对象又做些什么 ? 生：实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况 师：请大家看书，第×页、第×行我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中

8、的民航站 、旗子、数字都是元素面第一个问题就是从 3个不同的元素中，任取 2 个，然后按一定顺序排成一列，求一共有 多少种不同的排法， 后来又写出所有排法 第二个问题， 就是从 3 个不同元素中， 取出 3 个， 然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法第三个问题呢 ? 生：从 4 个不同的元素中，任取 3 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的 排法，并写出所有的排法师：请看课本，第×页，第×行，一般地说，从 n 个不同的元素中，任取 m（ mn）个元素 （本章只研究被取出的元素各不相同的情况） ，按着一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元

9、素中取出 m个元素的一个排列按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列?什么是不同的排列 ?生：从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两上排列的元素必须完全相同，而且排 列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不 同的排列如第一个问题中，北京广州，上海广州是两上排列，第三个问题中， 213 与 423 也是两 个排列再如第一个问题中，北京广州，广州北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问 题中 231和 213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列师：还需要搞清楚一个问题， “一个排列”是不是一个数 ? 生：“一个排列”不应当

10、是一个数，而应当指一件具体的事如飞机票“北京广州”是一 个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列如果问飞机票有多少种?能表示出多少种信号只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数前面提到的第三个问题，实质上 也是这样的师：下面我们进一步讨论：1. 在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价与准备多少种 不同的飞机票，有什么区别 ?2. 某班某小组五名同学在暑假互相都通信一次，打电话一次，通信的封数与打电话的次数是 否一致 ?3. 有四个质数 2，3， 5，7 两两分别作加法、减法、乘法、除法，所得到的和、差、积、商是 否相同 ?生 A：我回答第 1 个问题前边已经讨

11、论过有要准备6 种飞机票，但票价只有三种，北京上海与上海北京，北京广州与广州北京，上海广州与广州上海票价是一样的，共 有 3 种票价生 B：我回答第 2 个问题举个例子，张玉同学给李刚同学写信，李刚同学给张玉同学写信， 这样两封信才算彼此通一次信而两人通一次电话，无论是张玉打给李刚的，还是李刚打给 张玉的，两个人都同时参与了，彼此通了一次电话师：那么通了多少封信 ?打了多少次电话 ?生 C：五个人都要给其他四位同学写信， 5×420 封关于打电话次数，我现在数一数：设 五名同学的代号是 a，b，c，d，e则 ab，ac，ad，a e，be，bd，be， cd ，ce， d e共十次生

12、 D：我回答第 3 个问题减法与除法所得的差和商个数是同一个数，因为被减数与减数， 被除数与除数交换位置所得的差与商是不同的加法与乘法所得的和与积个数是同一个数， 根据加法、乘法交换律，被加数与加数，被乘数与乘数交换位置，和与积不受影响 师：有多少个差与商 ?有多少个和与积 ?生 E：2， 3，5，7 都可以做被减数和被除数，对于每一个被减数（或被除数）都对应着有3个数作减数（或除数） ，共有 4×3 12 个差或商把交换位置的情况除去，就是和或积的数 字，即 12÷ 26师：以上三个问题六件事，有什么共同点?再按类分，类与类之间有什么区别 ?区别在哪里 ?生：都是从一些元

13、素中，任取某些元素的问题 可以分两类一类属于前边学过的排列问题，即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列” ，只要交换位置，就是不同的排列前边三个问题中的飞机票、通信封数、减法与除法运算 的结果都属于这一类另一类是取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的 情况，如飞机票价，打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一类 师：分析得很好，我们说后一类问题是从 n 个元素中任取 m（ m n）个元素，不管怎样的顺 序并成一组，求一共有多少种不同的组如以上三个问题中飞机票价题是 3 组，打电话次数 题是 10组，和与积的个数题都是 6 组请同学们看课本，第×页第×行开始到

14、第×页第×行结束（用 5 分钟时间学生读课本，教师巡视，回答学生提出的问题） 师：组合这一节讲的主要内容是什么 ?生：组合定义；什么是相同的组合，什么是不同的组合；排列与组合的区别；怎样写出某个 组合问题的所有组合师：现在请同学们回答这四个问题每位同学只说一个问题生 F：组合定义是从 n 个不同的元素中，任取 m（ m n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元 素中取出 m个元素的一个组合生 G：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有 当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合生 H：排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关如231 与 21

15、3 是两个排列， 2+3+1 的和与2+1+3 的和是一个组合生 I ：我举个例子前边生 C同学提到的 a，b，c，d，e这五个元素，写出每次取出 2 个元 素的所有组合先把 a 从左到右依次与 b，c，d，e 组合，写出 ab，ac，ad，ae再把 B依次与 c，d，e 组 合，写出 bc，bd，be再把 c 依次与 d，e 组合，写出 cd，ce最后 d与 e 组合，写出 de前 面生 C面学已经写得很好师：一定要认真体会排列与组合的区别在于顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区 别清楚才能寻找正确解题途径和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念一个组合不是一个

16、数，而是具体的一件事，刚才生 I 同学回答的每一种如 ab，又如 ac，, 都叫一个组合，共 10种，而 10 就是组合数怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求，现在请同学们写出由1，2，3，4中取出 3 个数所有组合（教师请生 M到黑板板演）板演：123， 124， 134， 234师：最后希望大家思考，下面的问题是排列问题，还是组合问题?怎样解 ?1. 今欲从 1，2，3，8，9，10，12 诸数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法?2. 有四张卡片，每张分别写着数码 1，2，3，4有四个空箱，分别写着号码 1，2，3，4把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数

17、码与箱子号码必须不一致，问有多 少种放法 ?（两道题用投影仪示出） 同学们独立思考几分钟，然后全班进行讨论，请思考成熟的同学发言生 n：我谈第 1 题要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个数，这时按两奇数的和为偶数与两偶数的和为偶数这一标准，进行分类选出的两数不考虑顺序，因为交换位置其 和不变，是组合问题解法是：在 1，3，9中任选两段： 1，3；1，9；3，9有 3个组合在 2，8，10，12 中任选两数： 2，8；2，10；2，12；8，10；8，12；10，12有 6 个组合 根据加法原理， 3+6 9所以共有 9 种选法生 P：我谈第 2 题这是从四张卡片中取出 4 张，分别放在四

18、个位置上，只要交换卡片位置， 就是不同的放法，是个附有条件的排列问题解法是： 第一步是把数码卡片四张中 2，3，4三张任选一个放在第 1 空箱 第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2 空箱第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3 空箱第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱具体排法，我用下面图表表示：所以，共有 9 种放法师：参加讨论的同学对于什么是排列，什么是组合?一个排列与排列种数，一个组合与组合种数区别是什么 ?怎样排列，怎样组合都比较清楚了由于排列组合问题遇到的情况不是唯 一的，经常使用分类讨论的方法作业课本： P232练习， 1，7；P243 练习 1，2，3，4，6补充作业1. 空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体 ?（5 个）2. 用 0，2，3，5 可以组成多少个数字不重复且被 5整除的三位数 ?（10 个）3. 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则