平行四边形单元易错题难题测试综合卷检测

1、平行四边形单元易错题难题测试综合卷检测一、选择题1. 如图，已知平行四边形ABCD. AB = 6，BC = 9，ZA = 120°，点P是边43上一 动点，作PE丄BC于点E,作ZEPF = 120。（ PF在PE右边）且始终保持PE + PF = 3® 连接CF、DF,设m = CF + DF,则加满足（）C. 3屈 Wm9 + 3苗B. 60D. 3少+3“加3“+92. 如图，在ZABC中，BF平分ZABC,过A点作AF丄BF,垂足为F并延长交BC于点G,BC=20,则线段EF的长为（A. 2B. 3C 4D 53. 如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN, EF

2、, M, N, E, F分别在边AB, CD, AD,BC上.小明认为：若MN = EF,则MN丄EF；小亮认为：若MN丄EF,则MN = EF .你认为 （）A.仅小明对B仅小亮对C.两人都对D.两人都不对4. 如图，在aABC中，AB = 6, AC = 8, BC = 10, P为边BC上一动点，PE丄AB于E, PF丄AC于F, M为EF中点，则AM的最小值为（）A. 一B4C5D一555. 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P若AE=AP = 1, PD = 2,下列结论：EB丄ED：ZAEB = 135Q :S帥侶3 = 5+

3、22 :PB = 2：英中正确结论的序号是（）A.B.（§）C.D.6. 在矩形 ABCD 中，点 E. F 分别在 AB. AD 上，ZEFB=2ZAFE=2ZBCE, CD=9, CE=20, 则线段AF的长为（）A. 3近B. ¥C. V19D. 47. 如图，AABC的周长为19,点D,E在边BC上，ZABC的平分线垂直于AE,垂足为N r ZACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC二7,则MN的长度为（）A. -B. 2C. 一D. 32 28. 如图，矩形ABCD中，AB = 10, AD=4,点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以 AE为一边在AE的左上方

4、作正方形AEFG,同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2 个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t,则t的值为（）3A1C. 49.如图,金BxG中,2=4, AXG=5, BG=7点耘比、C?分别是边BQ也、 A血的中点;点&3、B3> G分别是边B2C2、A2C2. A2B2的中点;个三角形的周长是（）:以此类推，则第2019A.1c 220161dpr10.如图，在口 ABCD中，AB = 2 AD. F是CD的中点，作宓丄AD于点G 连接 FE = FB: 2S*fb S四边形debc EF、BF,下列结论:(DZCBF = ZABF：C. 3D4二填

5、空题11.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起,AB = 3, AC = 2,则 3D的长为一若重合部分构成的四边形ABCD中,12. 如图，四边形ABCD、四边形EBFG,四边形HM/W均是正方形，点E、F、P、N分别在边AB、BC、CD、AD上，点H、G、M在AC上，阴影部分的面积依次记为3，s2,则S|：5等于.A D13. 如图，AABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,作ED/AB,EF/AC,得到四边形EDAF，它的周长记作G；取BE中点作EQJ1FB,E'FJIEF ,得到四边形EQFF"它的周长记作c?照此规律作下去，则14. 如图，在平行四边形ABCD,

6、 AD=2AB. F是AD的中点，作CE丄&3,垂足F在线段上，连接 EC CF,则下列结论：ZBCD=2ZDCF；EF=CF；SgF=S©F；ZDFE=3ZAEF9 一世成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）15. 在aABC中，AB=12, AC=10, BC=9, AD是BC边上的高.将厶ABC按如图所示的方式折叠.使点A与点D重合，折痕为EF,则aDEF的周长为16. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E,若ZCBF=20°,则17. 已知：一组邻边分别为6cm和10c啲平行四边形ABCD, ZDAB和ZABC的平分线分别交C

7、D所在直线于点E, F，则线段£尸的长为cm.18. 如图，在矩形纸片ABCD中，48=6, 8C=10,点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将AMG沿BG折叠，点A恰落在线段3F上的3点 H 处,有下列结论：ZEBG = 45° :SAABG=ySAFGH：DEFsABG：AG+DF = FG 其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）F分别是3C, AC的中点，以AC为斜边作Rt力DC, 若ZC&D=ZftAC=45°,则下列结论：CD/EF；EF=DF；DF 平分ZCDF；ZDEC=30°；AB=迈C

8、D；其中正确的是 （填序号）20 李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动李刚拿起一张准备好的长方形纸片 对常明说:"我现在折叠纸片（图），使点D落在AB边的点F处，得折痕AE,再折叠， 使点C落在AE边的点G处，此时折痕恰好经过点B,如果AD",那么AB长是多少？"常 明说："简单，我会.AB应该是常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图），与你一样折叠，可是第二次折叠时， 折痕不经过点B,而是经过了 AB边上的M点，如果AD=d,测得EC=3BM,那么AB长是 多少？"李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？ AB二三.解

9、答题21如图，在RtAABC中，ZB=90% AC=60cm, ZA=60% 点D从点C出发沿CA方向 以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当英中一个点到达终点时，期一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间 是ts （0<t<15）.过点D作DF丄BC于点F,连接DE, EF.（1）求证：AE = DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求岀相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，aDEF为直角三角形？请说明理由.22在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结 论：

10、如图1，四边形ABCD的对角线AC与3D相交于点0，AC丄BD、则AB2 + CD2 = AD2 + BC2 （2）根据小明的探究，老师又给岀了如下的问题：如图2,分别以RtACB的直角边 AC和斜边A3为边向外作正ACFG和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知 4C = 4, AB = 5,求GE的长，请你帮助小明解决这一问题.23. 综合与探究如图在MBC中,ZACB为锐角，点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF,解答下列问题：研究发现:如果AB = ACfZBAC = 90° 如图2,当点£任线段BC上时（与点“不重合），线

11、段CF、3D之间的数量关系为位置关系为 如图3,当点D任线段BC的延长线上时，中的结论是否仍成立并说明理由.（2）拓展发现:如果ABACt点D在线段BC上，点F在MBC的外部，则当ZACB=时,CF 丄 BD图1图224. 如图1,在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD ±, AM、AN分别交BD于点P、Q，连接 CQ、MQ.且 CQ = M0.（1）求证：ZQAB = ZQMC（2）求证：ZAQM = 90°（3）如图2,连接MN,当BM =2, CN = 3、求“4MN的而积图1图225. 已知在 ABC和中，ZACB + ZAED =, CA = CB, EA

12、 = ED，AB = 3 （1）如图1,若ZACB = 90。，、人、D三点共线，连接CE：若CE = 0I,求3D长度；2如图2,若点F是3D中点，连接CF, EF ,求证：CE = >/2£F：（2）如图3,若点D在线段BC上，且ZCAB = 2ZEAD ,试直接写出而积的最 小值.EBAD图1EBA FD图326. 如图，已知正方形ABCD中，E, F分别是边AD, CD上的点（点E, F不与端点重 合），且AE二DF, BE, AF交于点P,过点C作CH丄BE交BE于点H图(1) 求证：AFCH：(2) 若AB=2 7J, AE=2,试求线段PH的长；CP(3) 如图，

13、连结CP并延长交AD于点Q,若点H是BP的中点，试求而的值.27. 已知在平行四边形ABCD中，AB去BC,将厶ABC沿直线AC翻折，点3落在点 尽处，AD与CE相交于点0,联结DE.(1) 如图 1,求证：AC/DE:(2) 如图2,如果ZB = 90°，AB =爲,BC =來,求OAC的面积；(3) 如果ZB = 30。，AB = 2® 当是直角三角形时，求BC的长.图L图2备用團28. (解决问题)如图1,在AABC中，AB = AC = 0, CG丄4B于点G.点P是BC边上任意一点，过点P作PE丄仙，PF丄AC,垂足分别为点E,点F.(1) 若PE = 3, PF

14、 = 5,则AABP的而积是, CG=.(2) 猜想线段PF, CG的数量关系，并说明理由.(3) (变式探究)如图2,在AABC中，若AB = AC = BC = 10,点P是AABC内任意 一点，且PE丄BC, PF丄AC, PG丄AB,垂足分别为点E,点F,点G,求PE + PF + PG 的值.图2（4）（拓展延伸）如图3,将长方形ABCD沿EF析叠,使点D落在点上，点C落在 点C'处，点P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG丄BE, PH丄BC,垂足分别为 点G ,点、H .若AD = S. CF = 3,直接写出PG + PH的值.图329. 已知：如下图，aABC和BCD

15、中，ZBAC = ZBDC = 90 , E为BC的中点,连 接DE、.若£>C|AE,在DC上取一点F，使得M =连接EF交4D于0.（1）求证：EF丄DA（2）若BC = 4、AD = 2屈求EF的长.HDF C30. 如图，在矩形ABCD中，AB=16 , BC=18，点E在边AB上，点F是边BC上不与点 B、C重合的一个动点，把AEBF沿EF折叠，点B落在点氏处.（I）若AE=0时，且点H恰好落在AD边上，请直接写岀DB，的长；（II）若AE=3时，且厶CDB'是以DB1为腰的等腰三角形，试求DB1的长；（III）若AE=8时，且点岀落在矩形内部（不含边长），试

16、直接写出DB，的取值范用.【参考答案】"沐试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. D解析：D【解析】【分析】设PE=x,则PB=rXlx, PF=3j?x, AP=6-兰5x,由此先判断出AF丄PF,然后可分33析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大.从而求岀m 的取值范围.【详解】 ZBPE = 30°, AEPF = 120° ZAPE = 30° 由AP、PF的数量关系可知丄胪，ZPAF = 60°如上图，作ZBAM = 60°交BC于M,所以点F在AM± 当点P与点B重合时，CF+

17、DF最小此时可求得CF = 3也、DF = 3打如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大此时可求得CF = 30DF=9 3药+ 3“5<3“+9故选：D【点睛】此题考查几何图形动点问题，判断岀AF丄PF,然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.2. C解析:C【解析】【分析】由直角三角形的性质可求得DF=BD=1 AB,由角平分线的左义可证得DEBC,利用三2角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长.【详解】解:TAF丄BF, D为AB的中点， ADF=DB=lAB=6t2azdbf=zdfb,TBF 平分 ZABC,ZDB

18、F=ZCBF.AZDFB=ZCBFtDEBC,.DE为AABC的中位线，1ADE=-BC=10,2A EF=DE-DF= 10-6=4,故选：c.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判泄与性质， 三角形中位线左理根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得 DBF为等腰三 角形,通过角平分线的性质和等角对等边可得DF/BC,即DE为AABC的中位线，从而计 算出DE,继而求岀EF.3. C解析：C【分析】分别过点E作EG丄BC于点G,过点M作MP丄CD于点P,设EF与MN相交于点0, MP 与EF相交于点Q,根据正方形的性质可得EG=MP；对于小明的说

19、法，先利用"HL”证明 RtAEFGRtAMNP,根据全等三角形对应角相等可得ZMNP=ZEFG,再根拯角的关系推岀 ZEQM=ZMNP,然后根据ZMNP+ZNMP=90° 得到ZNMP+ZEQM二90。，从而得到 ZMOQ=90° ,根据垂直的圧义即可证得MN丄EF：对于小亮的说法，先推出 ZEQM=ZEFG, ZEQM=ZMNP,然后得到ZEFG二ZMNP,然后利用“角角边”证明 AEFGAMNP,根据全等三角形对应边相等可得EF=MN.【详解】如图，过点E作EG丄BC于点G,过点M作MP丄CD于点P,设EF与MN相交于点O, MP 与EF相交于点Q,B G

20、F C四边形ABCD是正方形， EG=MP,对于小明的说法：在 RtAEFG 和 RtAMNP 中,MN=EFEG=MP，ARtAEFGRtAMNP (HL),AZMNP=ZEFG,VMP丄CD, ZC=90° ,AZEQM=ZEFG=ZMNP,又VZMNP+ZNMP=90° ,AZEQM+ZNMP=90° ,在ZklVIOQ 中，ZMOQ=180° - (ZEQM+ZNMP) =180° -90° =90° ,MN 丄 EF,故甲正确.对小亮的说法：VMP丄CD, ZC=90° ,AZEQM=ZEFGtTMN 丄

21、 EF,AZNMP+ZEQM=90° ,又VMP丄CD,AZNMP+ZMNP=90° ,AZEQM=ZMNP,AZEFG=ZMNP,在ZkEFG 和MNP 中，ZEFG=ZMNP< ZEGF= ZMPN=90。,EG=MPAAEFGAMNP (AAS),/.MN=EF,故小亮的说法正确，综上所述，两个人的说法都正确.故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判左与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助 线，构造岀全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是 想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解.4. D解析:D【分析】先求证

22、四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利 用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长.【详解】解：连接 AP,在ZABC 中，AB=6, AC=8, BC=10,TPE丄AB, PF丄AC,四边形AFPE是矩形，.EF=AP.TM是EF的中点，1.-.AM=-AP,2根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短,即AP丄BC时，AP最短，同样AM也最短，1 1Subc二一 BCAP= ABAC,2 211 xlOAP= x6x8»2224AP最短时，AP=，112当 AM 最短时，AM=-AP=.25故选：D.【点睛】此题主要考査学生

23、对勾股左理逆泄理的应用、矩形的判左和性质、垂线段最短和直角三角 形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度.5. D解析：D【分析】先证明 APDAAEB得出BE = PD, ZAPD=ZAEB,由等腰直角三角形的性质得岀ZAPE = ZAEP=45°,得出ZAPD=ZAEB=135° ,正确：得出ZPEB=ZAEB - ZAEP=90° , EB丄ED,正确：作BF丄AE交AE延长线于点F,证出EF = BF=JJ,得出AF = AE+EF = 1+V2 »由勾股立理得出AB =(AF? + BF? (5十2近，得岀S I力彫ABCD=

24、AB 5+2 正确；EP=JJAE=JJ,由勾股泄理得出BP= JbE? + EP'= “，错 误：即可得出结论.【详解】解：VZEAB+ZBAP = 90°, ZPAD+ZBAP=90。，AZEAB=ZPAD,AP = AE在AAPD 和AAEB 中 t < ZPAD = ZEAB ,AD = ABAAAPDAAEB (SAS),BE = PD, ZAPD=ZAEB,VAE=AP, ZEAP = 90° ,ZAPE=ZAEP=45。,AZAPD = 135° ,AZAEB = 135° ,正确；AZPEB=ZAEB - ZAEP=135&

25、#176; 45° =90°,'EB丄ED,正确：作BF丄AE交AE延长线于点F,如图所示：VZAEB = 135° ,ZEFB=45。，EF = BF,VBE=PD=2,AEF = BF= 72 >aaf=ae+ef=i+72 >AB= AF2+BF = 7(1 + V2)2+(a/2)2 = >/5 + 2?2， 'S abcd = AB2= ( 5/5 + 2V2)2 = 5+2 正确： EP= 72 AE= 72BP= Jbe'+EP?=的2 +(血)2 =岳，错误；【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的

26、性质、全等三角形的判泄与性质、等腰三角 形的判左、勾股左理等知识；本题综合性强，有一泄难度，证明三角形全等是解题的关 键.6. C 解析:C【分析】 如图,取CE的中点H,连接BH,设ZEFB=2ZAFE=2ZECB=2a,则ZAFB=3a,进而求出 BH=CH=EH=10, ZHBC二ZHCB二a,再根据 ADBC 求出 EFBH,进而得出ZEFG 和BGH 均为等腰三角形，则bf=eh=10,再根据勾股定理即可求解.【详解】则 ZAFB=3a,在矩形 ABCD 中有 AD/7BC, ZA=ZABC=90° ,BCE为直角三角形，点H为斜边CE的中点，CE=20,ABH=CH=EH

27、=10, ZHBC二ZHCB二a,ADBC,AZAFB=ZFBC=3a,AZGBH=3a-a=2a=ZEFB,EFBH,AZFEG=ZGHB=ZHBC+ZHCB=2a=ZEFB=ZGBH,.EFG和均为等腰三角形，ABF=EH=10,VAB=CD=9, AF = >jBF2-AB2 =V102-92 =V19-故选c.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据 题意正确作出辅助线.7 . C解析:C【分析】证明ABNAABNE,得到BA=BE,即ABAE是等腰三角形，同理ACAD是等腰三角形，根据 题意求岀DE,根据三角形中位线宦理计算即可.【

28、详解】解：TBN 平分ZABC , BN丄AE ,AZNBA=ZNBE , ZBNA=ZBNE ,在aBNA和aBNE中，'乙ABN=ZEBN< BN=BN,ZANB= ZENBAABNAABNE r'BA二BE r/.ABAE是等腰三角形，同理ACAD是等腰三角形，点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），AMN是ZiADE的中位线，V BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12 ,ADE=BE+CD-BC=5 ,1 5AMN= DE=-2 2故选C 【点睛】本题考查的是三角形中位线立理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半

29、是解题的关键.8. D解析：D【分析】过点F作FH丄CD,交直线CD于点Q,则ZEHF=90°,易证ZADE=ZEHF,由正方形的性质 得出ZAEF=90 AE二EF,证得ZAED=ZEFH,由 AAS 证得ADE9AEHF 得岀 AD=EH=4,则 t+2t=4+10,即可得出结果.【详解】过点F作FH丄CD,交直线CD于点Q,则ZEHF=90%如图所示：四边形ABCD为矩形，A ZADE=90%AZADE=ZEHFt在正方形 AEFG 中，ZAEF=90% AE=EF,AZAED+ZHEF=90°,VZHEF+ZEFH=90°,A ZAED=ZEFH,在ZkA

30、DE 和ZkEHF 中，ZADE=ZEHF< ZAED= ZEFH ,AE=EFAAADEAEHF (AAS),AAD=EH=4,由题意得：t+2t=4+10,14解得:t=,故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方 形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键.9. A解析：A【分析】由三角形的中位线定理得：B2c2, a2c2,分别等于Ad、dG、CA的*,所以公导心的周长等于时心的周长的一半，以此类推可求出结论.【详解】解：丁 AjBG 中，= 4, AC| = 5 ,= 7 ,.AAC1的周长是16, A, B, C

31、?分别是边B|C, AC, Ad 的中点， bg, a2c2,心线分别等于£坊、dq、Cd的*,以此类推，则人的周长是1x16 = 2；A AnBnCn的周长是24当71 = 2019时,第2019个三角形的周长= 故选：A.【点睛】 本题考查了三角形的中位线立理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线 段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.10. C解析:c【分析】由平行四边形的性质结合AB=2AD, CD=2CF可得CF=CB,从而可得Z CBF=Z CFB,再根据 CDAB,得ZCFB=ZABF,继而可得ZCBF = ZABF ,可

32、以判断正确：延长EF交BC 的延长线与M,证明ADFE与厶CFM(AAS),继而得EF=FM=- EM,证明ZCBE=ZAEB=90° ,然后根拯直角三角形斜边中线的性质即可判断正确：由上可得 SaBEF=SabMFi S厶DFE=S°CFM，继而可得 SaEBF=Sa.bmF=SaEDF+SaFBC> 继而可得2S*fb =Sfl边形比sc， 可判断正确；过点F作FN丄BE,垂足为N,则ZFNE=90则可得 AD/FN,则有ZDEF=Z EFN,根据等腰三角形的性质可得Z BFE=2Z EFN,继而得Z BFE=2Z DEF,判断错误.【详解】四边形ABCD是平行四

33、边形，.AD=BC, AB=CD, AD/BC,VAB=2AD, CD=2CF, CF二CB,AZ CBF=Z CFB,CDAB,AZCFB=ZABF,/. ZCBF = ZABF .故正确； 延长EF交BC的延长线与M,VAD/BC,AZDEF=ZM,又VZ DFE=ZCFMf DF=CFf ADFE 与厶CFM(AAS).AEF=FM=4 EM,2VBF1AD,AZAEB=90o ,T在平行四边形ABCD中，ADBC,AZCBE=ZAEB=90° ,BF丄 EM,2ABF=EF,故正确：VEF=FMtSabef=Sabmf»VADFEACFM,Sadfe=Sacfm，S

34、aEBF=SaBMF=SEDF+SfbC* 2S乂阳=S四边形!磁»故正确： 过点F作FN丄BE,垂足为N,则Z FNE=90°, AZ AEB=Z FEN,AAD/EF,AZ DEF=Z EFN,又EF=FB,AZ BFE=2Z EFN,AZ BFE=2Z DEF,故错误，所以正确的有3个， 故选C.B【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质 等，综合性较强，有一左的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题 的关键.二填空题11. 4/2【分析】首先由对边分別平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD,过

35、A点分别作DC 和BC的垂线，垂足分别为F和E,通过证明AADF里 ABC来证明四边形ABCD为菱形， 从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股泄理求得BD长度.【详解】解：连接AC和BD,其交点为0,过A点分別作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E ,/ ABII CD , ADII BC ,四边形ABCD为平行四边形， Z ADF=Z ABE ,两纸条宽度相同， AF二AE ,ZADF = ZABEZAFD = ZAEB = 90°AF = AE:. ADF里 ABE ,/. AD=AB ,/.四边形ABCD为菱形， AC与BD相互垂直平分， bd=2AB2-AO2 =4a/2故

36、本题答案为：4近【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综介运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定 要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.12. 4:9【分析】I 3设 DP = DN = m,则 PN=JJm, PC=2m, AD=CD=3m,再求出 FG=CF= BC= y m,分 別求岀两个阴影部分的面积即可解决问题.【详解】根据图形的特点设DP = DN = m,则PN = yfn2 + m2 = 7? m,APM=>/2 m=MC, PC二 JpM? +MC亍 BC=CD = PC+DP 二 3m,四边形HMPN是正方形，'GF 丄 BCV ZAC

37、B=45° ,. FGC是等腰宜角三角形，13 FG=CF= BC=-m,2 2$=丄 DNxDP=丄 n?, S2= = FGxCF=-m2,2 2 2 8故答案为4： 9.【点睛】本题考查正方形的性质，勾股立理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中 考常考题型.【分析】根据几何图形特征，先求出C、C- 5,根据求出的结果，找岀规律，从而得岀Co.【详解】点 E 是 BC 的中点,EDAB, EFACDE、EF是ZXABC的中位线等边AABC的边长为1AD=DE=EF=AF= - 则c严丄x4=22 同理可求得：c* C,1 发现规律：规律为依次缩小为原来时故答案为：诃？

38、 【点睛】本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律.14. 【分析】 根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断； 延长EF,交CD延长线于点M,首先根据平行四边形的性质证明 ZEF三NDFM、得岀=,进而得出ZECD = ZAEC = 90。，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断： 由FE = MF，得岀S沖c =，从而可判断正误： 设ZFEC = x ,利用三角形内角和泄理分別表示岀ZDFE和ZAEF,从而判断正误.【详解】 .点F是AD的中点，AF = FD 在平行四边形ABCD中，AD=2AB,AD/BC, AF = FD = CD,:.Z

39、DFC = ZFCB, ZDFC = ZDCF ,/. ZFCB = ZDCF,.ZBCD = 2ZDCF,故正确; 延长EF,交CD延长线于点M,四边形ABCD是平行四边形，AB/CD,ZA = ZWDF ,点F是AD的中点，AF = FD .'ZA = ZFDM 在 aAEF 和 aDFM 中，af = dfZAFE = ZDFM /EF = /DFM(ASA)FE = MF,ZAEF = ZM./ CE1 AB ,.ZAEC = 90。，.ZECD = ZAECW CF = EM = EF ,故正确：2 FE 二 MF，： S/c =S= S厶 CDF + S bMDF S

40、9;cdf < $ efC ' 故错误； 设 ZFEC = X ,则 ZFCE=X,:.ZDCF = ZDFC = (Xf-x ,.Z£-FC = l80°-2v,.ZEH)=90o-a4-180o-2v = 270o-3.v .,-ZAEF=9(r-x ,:.ZDFE=3ZAEF,故正确；综上所述，正确的有， 故答案为：®®.【点睛】本题主要考査平行四边形的性质，全等三角形的判泄及性质，三角形内角和立理，掌握这 些性质和立理是解题的关键.15. 15.5【分析】先根据折叠的性质可得AE = DE、ZEAD = ZEDA,再根据垂直的泄义、

41、直角三角形的性 质可得ZB = ZBDE，又根据等腰三角形的性质可得BE = DE，从而可得DE = AE = BE = 6,同理可得出DF = AF = CF = 5,然后根据三角形中位线泄理可得 肘=丄BC = 4.5,最后根据三角形的周长公式即可得.2【详解】由折叠的性质得：AE = DE、ZEAD = /EDAAD是BC边上的高，即AD丄BC.ZB+ZEAD = 90。, ZBDE+ZEDA = 90°:.ZB = ZBDE:.BE=DE:.DE = AE = BE = -AB =丄 xl2 = 62 2同理可得：DF = AF = CF = AC = xlO = 52 2又

42、 AE = BE、AF = CF点E是AB的中点，点F是AC的中点.EF是厶ABC的中位线.EF = -BC = -x9 = 4.52 2则 bDEF 的周长为 DE+DF + EF = 6+5+4.5 = 15.5故答案为：15.5.【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线泄理、直角三角形的性质等知 识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出3E = DE是解题关键.16. 65【分析】先由正方形的性质得到ZABF的角度，从而得到ZAEB的大小，再证 AEBAAED,得到ZAED的大小【详解】四边形ABCD是正方形.ZACB=ZACD二ZBAC二ZCAD二45°

43、 , ZABC二90° , AB二ADTZFBC二20° , AABF=70°.在ZABE 中，ZAEB二65°在AABE与AADE中' AB = AD< ZBAE = ZEAD = 45°AE = AEAAABEAADE ZAED 二 ZAEB 二 65 °故答案为:65°【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导岀 ZAEB的大小.17. 2或 14【分析】利用当AB=10cm,AD=6cm,由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分ZBAD,由此 可以推出所以ZBA

44、E二ZDAE,则 DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cmt 而 EF二CF+DEDC, 由此可以求岀EF长：同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长【详解】解：如图 1,当 AB=10cm,AD=6cm.AE平分上BAD Z BAE=Z DAE.又AD II CB Z EAB=Z DEA, Z DAE=Z AED.则 AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图 2,当 AD=10cm,AB=6cm/.ae平分Z BAD, Z BAE=Z DAE又TADII CB Z EAB=Z DEA, Z DAE=Z AE

45、D 则 AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14 (cm) 故答案为：2或14.图1图2【点睛】本题主要考査了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行 四边形的不同可能性进行分类讨论.18 .【分析】利用折叠性质得ZCBE=ZFBE, ZABG二ZFBG, BF=BC=10, BH=BA=6, AG二GH,则可得到ZEBG=1 ZABC,于是可对进行判断：在RtAABF中利用勾股左理汁算出AF=8,贝IDF=AD-AF=2,设 AG=x,则 GH二x, GF二8x, HF二BFBH二4,利用勾股立理得到 x2+42

46、= (8-x)2,解得X=3,所以AG=3, GF=5,于是可对进行判断;接着证明厶ABF-ADFE,利用 相似比得到经=咯 =£，而- = - = 2,所以 ,所以ADEF与ZABG不相DF AB 3 AG 3AG DF似，于是可对进行判断.【详解】解：8CF沿比折叠，点C恰落在边&D上的点F处：点G在“上，将&BG沿3G折叠，点人恰落在线段8F上的点H处，ZCBE=ZFBE, ZABG=ZFBG, BF=BC=10. BH=BA = 6, AG=GH,ZEBG = ZEBF+ZFBG= ZCBF+ ZABF= ZABC=45° ,所以正确： 在 RtZA

47、BF 中，&F= JBF° - AB，= J10, 6 =&:.DF=AD-AF=10-8 = 29设 &G=x,贝ljGH=x, GF=8- x、HF=BF - BH=10 - 6=4, 在 RtAGfH 中，VGH2+HF2=GF/.+42= (8 - x) 2,解得 x=3,GF=5, AG+DF =FG =5,所以正确：VABCf沿BF折叠，点C恰落在边AD上的点F处，AZBfE=ZC=90° ,:.ZEFDZAFB=90° ,而ZAFB-ZABF=90c , ZABF=ZEFD,:.HABFsHDFE,.AB _ AF* DF D

48、E ' de _ AF _ 8 _ 4* DF _ AB _ 6 "T'AB 6而=一=2,AG 3AB DEH ,AG DF.DEF与AABe不相似：所以错误.11< 5.abg X6X3 = 9, S/,gmf= X3X4 = 6,223 : S.ABG = S/.FGH 所以正确.故答案是：.本题考査了三角形相似的判圧与性质：在判左两个三角形相似时，应注意利用图形中已有 的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用：在利用相似三角形的性质 时，主要利用相似比计算线段的长.也考查了折叠和矩形的性质.19.®【分析】1 AC,2根据三角形中位

49、线定理得到EA*AB, EF/AB,根据直角三角形的性质得到DA 根据三角形内角和立理、勾股立理计算即可判断.【详解】VE, F分别是BC, AC的中点,AEF=-AB, EFAB,2V ZADC=90°, ZCAD=45°, ZACD=45°,AZBAC=ZACD,ABCD,EFCD,故正确：V ZADC=90°, F 是 AC 的中点，1DF = CF 二一 AC,21TAB二AC, EF=-AB,2EF = DF,故正确;V ZCAD=ZACD=45°,点 F 是 AC 中点，ACD是等腰直角三角形，DF丄AC, ZFDC=45°

50、;,A ZDFC=90°,VEF/AB,AZEFC=ZBAC=45 ZFEC=ZB=67.5% Z EFD= Z EFC+ Z DFC=135°,.ZFED=ZFDE = 22.5VZFDC=45% ZCDE=ZFDC-ZFDE=22.5AZFDE=ZCDE,.DE平分ZFDC,故正确：VAB = AC, ZCAB=45/.ZB=ZACB = 67.5AZDEC=ZFEC- ZFED=45% 故错误：VAACD是等腰直角三角形，AAC2=2CD2,AAC=V2 CD,TAB二 AC,AAB= 72 CD,故正确：故答案为:【点睛】本题考查的是三角形中位线左理，等腰三角形的判

51、泄与性质，直角三角形的性质，平行线 的性质，勾股立理等知识.掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是 解题的关键.【分析】(1) 根据折叠的性质可得出，四边形AFED为正方形，CE=GE=BF,/AEB + NGBE = NABE+/EBC,即&AEB = /ABE,得出 AB=AE,继而可得 解：(2) 结合(1)可知，AE = AM = JId，因为EC=3BM,所以有=求出BM,继而可得解.【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF, NAEB + NGBE = NABE + NEBC，即 &AEB = /ABE,A AB=AE,AE = a/2?

52、 = a/267： AB = /2a （2）结合（1）可知，AE = AM = JN八 FM = y/2a - a，T EC=3BM,.I= BM =故答案为：JL：逬【点睛】本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄淸题意，结合图形找出线段间 的数量关系是解题的关键.三、解答题21(1)证明见解析：(2)能，10：(3)匚，理由见解析;【分析】（1）利用题中所给的关系式，列岀CD, DF, AE的式子，即可证明.（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF,求解即可得岀t值.（3由题意可知，当DE/7BC时，ADEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代 入式

53、子求值即可.【详解】（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形VZB = 90 ZA=60°AZC=30% CD=2DF,又丁由题意知CD二4t, AE=2t,ACD=2AEAE 二 DF （2）能，理由如下；由（1）知 AE=DF又DF丄BC, ZB = 90°AEDF.四边形AEFD是平行四边形.当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形VAC=60cm, DF丄 CD, CD二4t,2AAD=60-4t, DF=2t,A60-4t=2t/t=10 （3）当t为匕时，ADEF为直角三角形，理由如下：2由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF丄BC, AEDF,当 DE/B

54、C 时，DF丄 DEAZFDE=ZDEA=90°在AAED中，VZDEA=90% ZA = 60°, AE=2tAD 二 4t,又 VAC=60cm, CD=4t,AD+CD二AC, 8t=60,15.t=2即t二匕时，ZFDE=ZDEA=90 ZDEF为直角三角形.2【点睛】本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形 的性质是解题的关键.22. （1）证明见解析：（2）厢.【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出AB2 + CD2, AD2 + BC2进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG、BE,证明 GABACAE,进而得BG丄CE,再根据（1）的结论进 行分析即可求出答案.【详解】解：（1） TAC丄BD,A ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90° ,由勾股定理得，AD2 + BC1 = AO2 + DO2 + BO2 + COAB- + CD1 = AO2 + BO2 + CO