圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结

1、椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：第一定义：平面内与两个定点 已、F2的距离之和等于常数 （大于F,F2 ）的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点 M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数 e（0 ： e ： 1）， 则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数 e叫做椭圆的离心率。说明：若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段 F1F2。若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程X2 V22 + 1（a Ab >0）中 ab心在原点，焦点在 X轴上2

2、2打 +=1（ab> 0）ab中心在原点，焦点在 y轴上图形7thrr-rJf11 1 /J 1 n11 Aj茁T范围x Ea, y WbH -bjy <a顶点A (-a,0 卜 A (a,0 )E(0,-b 卜 B2(0, b)A(0, a 卜 A2(0, a)B1(T,0 卜 B2(b,0)对称轴x轴、V轴； 长轴长2a，短轴长2b ； 焦点在长轴上x轴、y轴； 长轴长2a，短轴长2b ； 焦点在长轴上焦占八'、八、FJ-c,0 卜 F2(c,0)FjO,-c 卜 F2(0, c)焦距F1F2c(>0)|吋2 =2c(c>0)离心率e=c(0 ce c1)a

3、ce =(0 ve <1)a准线2孕ax - 士c2斗a y 士c参数方程 与普通方程6a2 b / = aJ"1的参数方程为2°s（日为参数） ）sin 日2 2占+令=1的参数方程为 a2 b2y = acos&g*车舲、 y（日为参数）& = bsi nf3.焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在 x轴上时，设Fl、F2分别是椭圆的左、右焦点，P x0, y0是椭圆上任一点，贝 V PF|=a+eX， PF= -exo。PF推导过程：由第二定义得 一 =e ( a为点P到左准线的距离)，di(a2 )贝U

4、 PF=ec1 =e x0 十一 =e« + a = a +ex)；同理得 PF2| =a ex)。简记为：左“ + ”右“”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。2 2 2 2笃2=1 ；若焦点在y轴上，则为与笃=1。有时为了运算方便，设 a ba b22mx ny 1(m0,m = n)。双曲线的定义、方程和性质知识要点：1.定义(1) 第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于定长2a (小于|FiF2|)的点的轨迹叫双曲线。说明： |PF1|-|PF2|=2a (2a<|F1F2|)是双曲线；若2a=|F1 F2|，轨迹是以F1、

5、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上， 则|MF1|>|MF2|, |MF1|-|MF2|=2a； 若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|, |MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|= ±a，这是与椭 圆不同的地方。(2) 第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线 L的距离之比是常数 e (e>1)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2 .双曲线的方程及几何性质标准方程2 2xF与=叫0,心0)a b2 2 y x 2 孑= 4(a A0,b aO)图形N

6、ijiz/i/XX!焦占八'、八、F1 (-c, 0), F2 (c, 0)F1 (0, -c), F2 (0, c)顶点A1 (a, 0), A2 (-a, 0)A1 (0, a), A2 (0, -a)对称轴实轴2a，虚轴2b,实轴在 x轴上，2 2.2c =a +b实轴2a,虚轴2b,实轴在y轴上，2 2.2c =a +b离心率c | MF2e a | MD|c | MF2 | e a | MD |准线方程I a2 la2II : x , 12 : x =1c 2c准线间距离为迅c1a2 1a2准线间距离为竺c渐近线方程X+ y =0,x_y =0 a ba b,0b ab a3

7、.几个概念（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为,2。（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴2 2 2 2双曲线，例：Xy2=1的共轴双曲线是xy2= 一1。abab双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线I为抛物线的准线。注：定义可归结为“一动三定”：一个动点设为 M ; 定

8、点F （即焦点）；一定直线I （即准线）；一定值1 （即动点M到定点F的距离与它到定直线I的距离之比1） 定义中的隐含条件：焦点 F不在准线丨上。若F在丨上，抛物线退化为过 F且垂直于 l的一条直线 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线丨的距离之比为常数 e的点的轨迹，当0 ： e :：: 1时，表示椭圆；当e 1时，表示双曲线；当 e =1时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通 过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1.抛物线标准方程建系特点：以

9、抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2 四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此 抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2 2px p 0 ,x2 =： 2py p 0，其中： 参数p的几何意义：焦参数 p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大，张口越大；卫等于焦点到抛物线顶点的距离。2 标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项， 右边是另一变量的一次项， 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符

10、号决定抛物线的开口方向， 即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是 x ,若x的一次项前符号为正， 则开口向右，若x的 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为 y轴时，方程中的一次项变量就是 y ,当y的 一次项前符号为正，则开口向上，若 y的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数 p，因此要做到“先定位，再定值”。注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y2二ax或x2二ay

11、，这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是 标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2=2px(p>0)性质焦占八'、八、范围对称性顶点离心率准线通径F 3,0 112'丿x色0关于x 轴对称原点e = 1x卫22p1注： 焦点的非零坐标是一次项系数的丄；4 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点, 数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1 直线与抛物线的位置关系的判断

12、：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如 ax bx c = 0 ( * )的式子： 当a =0时，(*)式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物 线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； 当a式0时，若> 0= (*)式方程有两组不同的实数解二 直线与抛物线相交；若厶=0二(*)式方程有两组相同的实数解 = 直线与抛物线相切； 若< 0=( * )式方程无实数解=直线与抛物线相离.2 直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式：设直线交抛物线于 Ag,% )B(x2,y2 )，则AB|=¥；1+kAB2 'Xa_Xb 或 AB = J1 +

13、 亡 yA - yB . 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时，借助于焦半径公式处理：抛物线y2=£px(p:>0 )上一点M(x°,y° )的焦半径长是 MF =七。+卫，抛物线2 x2=2py(p>0 上一点 M(x°,y° 的焦半径长是 |MF|=±y°+号=2px p 0焦点的弦,设A x!,y! ,B X2, y2 ,直线AB的倾斜六、抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB为过抛物线y角为v，则2 x2 =丄42p,yi y22-p ；E 厂iiP ；以AB为直径的圆与准线相切；弦两端点与顶点所成三角形的面积S.aob二FBFA焦点F