圆中的辅助线模型

1、1圆中的辅助线模型1连半径构造等腰三角形已知AB是O O的一条弦，连接 OA, 0B,则/ A =Z B .模型分析在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件我们通常可以连接半径构造等腰三角形, 利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题模型实例如图，CD是O 0的直径，/ EOD = 84° AE交O 0于点B,且AB= 0C,求/ A.解答：如图，连接 0B,t AB = OC , OC = 0B,. AB = BO .a / BOC = Z A. / EBO = / BOC + Z A= 2/ A.而 0B= OE,得/ E =/ EBO = 2/A.1. 如图，A

2、B经过O 0的圆心，点B在O 0上，若AD= 0B,且/ B= 54° .试求/ A的度数.C解答：如图，连接 OC OD.vZ B= 54°, 0C= OB,AOC= 2/ B= 108又 AD= 0B= OD, / A=Z AOD.t 0C= OD, / oca=/ odc=z a+z AOD= 2/ A. / A+Z OCA+/ AOC=/ A+ 2/ A+ 108° = 180° . Z A= 24 ° .2 .如图，AB是O O的直径，弦 PQ交AB于M，且PM = M0,求证：贝U AP = BQ .3/ PM = OM ,/ P=

3、Z MOP./ OP= OQ,/ P=Z Q./ QMO= 2/ MOP,/ BOQ= 3/ MOP.1./ AOP= - / BOQ.31 AP = - BQ .3模型2构造直角三角形如图，已知 AB是O O的直径，点 C是圆上一点，连接 AC、BC,则/ ACB=90°.ABO图._ . 2 2 2 如图，已知 AB是O O的一条弦，过点 O作OE丄AB,贝U OE +AE =OA .A E B图模型分析(1)如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造 如图，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心

4、距或连接半径作为辅助 线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算模型实例例1已知O O的直径 AB和弦CD相交于点 E, AE=2, BE=6,/ DEB=60°.求CD的长.解答：如图，过 O 作OF 丄CD 于点F,连接 OD.TAE = AE + EE,AE=2,EE=6, AB=8./OA =12 AB = 4./OE = OA-AE=4-2 = 2在RtOEF 中，/ DEB=60o,OE=2/. EF=1,OF=/3 .在 RtA ODF 中，OD 2 =DF 2 +OF ? . 4 =DF *(冒3). DF =)73OF 丄 CD/. CD=

5、2DF=2 13 例2如图，AB是O O的直径,AB=AC,BC交O O于点D，AC交O O于点E，Z BAC=45o.(1)求/ EBC的度数；A求证:BD=CD.解答(1)v AB= AC, / BAC= 45 / ABC=/ ACB= 67.5 ° ./ AB是直径，/ AEB= 90°,/ EBC= 90 ° - 67.5 ° = 22.5 ° .(2)连接AD,/ AB是直径，/ ADB= 90°.又 AB= AC, BD= CD(等腰三角形三线合一性质).练习1.如图，O O的弦AB、CD互相垂直，垂足为 E,且AE= 5

6、, BE= 13,点O到AB的距离为2 .10 .求点O到CD距离，线段 OE的长即O O的半径.B解答：如图，连接 OB,过O分别作OM丄AB于点M, ON丄CD于点N./ AB= AE+ BE= 5+ 13= 18,1 AM = - AB= 9.2又 OM = 2、10 ,在 RtA OBM 中，BO= OM 2 BM 2 =81 40 = 11,由图知，四边形 ONEM是矩形，.ON = EM = AM AE= 9- 5= 4,-OE= .OM2 BM2 = .(2.10)2 42 = 2 .和.2. 已知，AB和CD是O O的两条弦，且AB丄CD于点H,连接BC AD,作OE丄AD于点

7、E.求1证：OE= BC.2C证明：如图，连接 AO并延长交O O于点F,连接DF、BD.TOE 丄 AD, AE= DE./ OA= OF,OE > ADF的中位线.OE= 1 DF.2AB 丄 CD, / ABD+Z CDB= 90-AF是直径， Z ADF= 90°. Z DAF+Z F= 90 ° .-Z ABD=Z F, Z CDB=Z DAF. DF= BC.OE= 1BC.22 23. 如图，直径 AB= 2, AB、CD交于点E且夹角为45° .贝U CE + DE =.DB解答：如图，过点 O作OF丄CD于点F,连接OD. 设 OF= a,

8、 DF= b,则在 RtA OFD 中，a2 + b2= 1.CF= DF= b.tZ BED= 45°,.OF= EF= a. CE2+ D" (b a)2 + (a+ b)2= 2(a2+ bj= 2.模型3与圆的切线有关的辅助线C模型分析(1)已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是O O的切线，点C是切点，连接0C,贝U 0C丄AB.(2 )证明切线：当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；如图，已知过圆上一点 C的直线AB,连接0C,证明0C丄AB,则直线AB是O 0的切线.如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；如图，过点 0作

9、0C丄AB,证明0C等于O 0的半径，则直线 AB是O 0的切线.模型实例例1如图，0A、0B是O 0的半径，且 0A丄0B, P是0A上任意一点，BP的延长线交O 0于Q, 过Q点的切线交 0A的延长线于R.求证：RP= PQ.BR证明连接0Q./ 0Q= 0B,/ 0QB=Z 0BQ./ RQ为O 0的切线，0A丄0B,BR/ BP0= 90°/ 0BQ,Z BQR= 90°/ 0QB./ BPg/ QPB=Z BQR. RP= RQ.如图， ABC内接于O O,过A点作直线 DE,当/ BAE=Z C时，试确定直线 DE与O O的位置关系，并证明你的结论.E解答直线D

10、E与O O相切，理由如下：连接AO并延长，交O O于点F,连接BF.A/ BAE=Z C,Z C=Z F,/ BAE=Z F AF为直径，/ ABF= 90°./ F+Z BAF= 90 ° ./ BAE+Z BAF FA丄 DE.又 AO是O O的半径，直线DE与O O相切.小猿热搜1.如图，在 ABC中，以AB为直径的O O分别与BC AC相交于点 D、E, BD= CD,过点D 作O O的切线交 AC于点F.求证：DF丄AC.CAFBEDO证明：如图，连接OD.DF是O O的切线，D为切点,OD丄 DF./ ODF= 90°./ BD= CD, OA= OB, OD是厶ABC的中位线. OD/ AC./ CFD=Z ODF= 90°. DF 丄 AC.2 .如图，AB是O O的直径，AC是它的切线，CO平分/ ACD.求证：CD是O O的切线.证明：如图，过 O点作OE丄CD于点E. AC是O O的切线， OA 丄 AC./ CO 平分/ ACD, OE丄 CD, OA= OE. CD是O O的切线.3 .如图，直线 AC与O O相交于B、C两点，E是BC的中点，D是O O上一点，若/ EDA=/ AMD .求证：AD是O O的切线.证明：如图，连接 0E交BC于点F,连接