圆锥曲线知识点整理

1、名师精编_ <秀资料高二数学圆锥曲线知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹 类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代 入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的，侧重于数的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系） 运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。0在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、三种圆锥曲线的研究 'I

2、PF |（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：dPlJ-i-eendF为定点，d为P到定直线的距离，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当0<e<1时，点P轨迹是椭圆；当 e>1时，点P轨迹是双曲线；当 e=1时，点P轨迹是抛物线。（2） 椭圆及双曲线几何定义：椭圆：P|PFi|+|PF2|=2a，2a>|FiF2|>0, Fi、F2为定点，双曲线 P|PFi|-|PF2|=2a, |FiF2|>2a>0, Fi，F2 为定点。（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为

3、位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、 虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：椭圆双曲线抛物线标准方程2 2x . y+ =i2 . 2ab(a>b>0)2 2xy=i2 .2ab(a>0, b>0)2y =2px (p>0)顶点(也，0)(0, ±3)(±a, 0)(0, 0)焦占八'、八、（乂，0）(P , 0)2准线2X=± cX2中心(0, 0)焦半

4、径P（xo, y。）为圆锥曲线上一点，Fi、F2分别为左、右焦点|PFi|=a+exo|PF2|=a-exoP在右支时：|PFi|=a+exo|PF2|=-a+exoP在左支时：|PFi|=-a-exo|PF2|=a-exo|PF|=xo+ P2总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌名师精编_ <秀资料 握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关系(1) 位置关系判断：法(适用对象是二次方程，二次项系数不为0 )。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一 种情形

5、下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种 情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。(2) 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。3、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二 是建立不等式，通过解不等式求范围。4、圆锥曲线的弦长公式椭圆：设直线与椭圆交于Pi(xi,yi),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，贝U|PiP2|=|xi-X2| (1 K2)或|PiP2|=|yi-y2

6、| (1 1/K2) K=(y 2-yi)/(X2-xi)=J(1 +k2)(Xi +X2)2 4x1X2双曲线：设直线与双曲线交于Pi(xi,yi),P2(X2,y2),且P1P2斜率为K，贝V|PiP2|=|xi-X2| #(1 +K2)或 |PiP2|=|yi-y2(VHt/KT) K=(y 2-yi)/(x2-xi)= J(1+k2)(Xi+X2)2 -4X1X2抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x i,yi),B(X2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=xi+X2+p 或|AB|=2p/(sin2： ) ：为弦 AB 的倾斜角或AB| 2P k 2 (k为弦A

7、B所在直线的斜率)1 +k设直线与抛物线交于Pi(Xi,yi),P2(X2,y2),且P1P2斜率为K，贝V|PiP2|=|xi-X2| J(1 +K2)或|PiP2|=|yi-y2“(1 +1/K2) K=(y 2-yi)/(x2-xi)=-.(1 k2)(XiX2)2 -4X1X2例题研究例1、根据下列条件，求双曲线方程。2 2 _(1) 与双曲线 -y1有共同渐近线，且过点(-3, 2、. 39162 2(2) 与双曲线X y1有公共焦点，且过点(3 2 , 2 )。164分析：2 2 4法一：(门双曲线9 -16二1的渐近线为y yX令x=-3 , y=±4，因2(3 V4，

8、故点(-3, 2虫)在射线y=4x (x<0及x轴负半轴之间,3名师精编优秀资料双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为2Xa22与=1 , (a>0, b>0)有*ba(3)2(2. 3)2解之得：双曲线方程为2 X 64214（2）设双曲线方程为2 x a2(a>0, b>0)a2a4b2 =4a2 b2 则(3、2)2=20解之得:(2a =12b2 =82双曲线方程为12法二：（1）设双曲线方程为（入勺(-3)29(2 .3)216双曲线方程为（2）设双曲线方程为x216 k 4 k'16k>0 'IF + k a0 丿(32)22216 -

9、k 4k"解之得:k=42双曲线方程为112 8评注:与双曲线与a22b- =1共渐近线的双曲线方程为x2a（入工）当40时，焦点在x轴上;当入0时,2 2焦点在y轴上。与双曲线令总'共焦点的双曲线为的三个顶点，且T,求嵩的值。解题思路分析:当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当/ PF2Fi=90° 时,|PF1 | - |PF2 F622<| PF1 | 卅2 | +(2c)=5144|PF1, IPF2 匕33|PF1 |PF2|当/卩汩卩:二仝。0时，同理求得|PFi|=4, |PF2|=2法二：当/ PF2F1=900, x

10、P =名师精编_ 秀资料4-4yp=_3 : P( 5, -3)又 F2 ( . 5 , 0) |PF2|= 3313|PFi|=2a-|PF2|= 13334 P (士一(5, ±_(5 )。下略。55x* 2+y2=(j5)2当/ FiPF2=90°，由丿x2 y2得:=193评注：由|PFi|>|PF21的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例3、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点； 与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件直线是圆的切线”切

11、点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，x=-1满足;当斜率存在时，设 直线与O O相切，设切点为:y=kx+bM，贝U |OM|=1kJ 1 =1 b2=k+1y =kx +b2 2(X -1)-y得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b 2=0当 k 工土且40 时，设 A (X1, yj, B (x?, y?),则中点 M (x°, y°) , x1 +x22(1 kb)1 -k21 kb1 -k2,u k +byo=kxo+b=1 -k2k 二 3b332 2/ M 在O O 上 xo +yo =1222 2 (1+kb) +(k+b) =

12、(1-k )由得：k胚k =或3b=2 V332当yoK时,代入(x-1)2-y-yo +xo =1可进一步化简方程为:Xo + 1 yxyoyo2=1 得：(yo2-x°2)x2+2(xo-yo)2x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得:222(1-2xo )x +2(xo +xo-1)x- 1=oxo 二筈1 .即1 2xo322xo -xo -2xo+1=0直线方程为：3或y于仆3法二：设 M (Xo, yo),则切线 AB 方程 x°x+y°y=1当y°=o时,xo=±1，显然只有x=-1满足；评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条

13、件(相切”和中点”)转化为关于参数的方程组,名师精编_ <秀资料 所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。2例4、A、B是抛物线y =2px （ p>0）上的两点，且 OA丄OB ,（i）(2)(3)(4)分析:求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积; 求证：直线AB过定点；求弦AB中点P的轨迹方程；求厶AOB面积的最小值；设 A (xi,yi), B (X2,y2),中点P (xo,yo)(i)k OA :Xi,kOB AX2/ OA 丄 OBkoAkoB =-1 yi2=2pxi,2y2 =2pX2/ yi MQ y20- yiy2=-4p2 yi 环2

14、xiX2+yiy2=02y2yiy2 -02p2 XiX2=4p(2)t yi2=2pxi, y22=2px2(yi-y2)(y什y2)=2p(xi-x2)yi -y2 _ 2pXr x2yi y2kAB :yi2py2直线AB :y -yi2pyi y2(x Xi)2pxyi y2yi2pxiyi y22pxy -yi y2yi2 -2pxi y°2yi y22yi = 2pxi,2yiy2 - -4p2px2-4Pyi y2y yiy2（2p） AB过定点（2p, 0），设M(2p, 0)2pk22(2pk , -2pk)2(3)设 OA : y=kx，代入 y =2px 得：x

15、=0, x=1冋理，以代k得Bk2丄ixo =p(k +)k2iy。=P( -k)l. k- .2i . ik2-k2 =()k2 k k22即 yo =px o-2pxop(p)222中点M轨迹方程y =px-2p评注：充分利用（1 ）的结论。轨迹方程1、 求轨迹方程的几个步骤：（建-设-列-化-证）a. 建系（建立平面直角坐标系，多数情况此步省略）b. 设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y）c. 列式（根据条件列等量关系）d. 化简（化到可以看出轨迹的种类）e. 证明（改成：修正）（特别是三角形、斜率、弦的中点问题）2、求动点轨迹方程的几种方法a. 直接法：题目怎么说，列式怎么列。b. 定

16、义法：先得到轨迹名称c. 代入法（相关点法）：设所求点（x，y）另外点（Xi, y2）找出已知点和所求点的关系c.参数法：（x,y ）中x,y都随另一个量变化而变化 一消参e.待定系数法：先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 一：定义法求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设 中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特 别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得 出方程。5例1:已知 ABC的顶点A , B的坐标分

17、别为（-4, 0）, （4, 0）, C为动点，且满足sin B si nAsi nC,4 求点C的轨迹。55【解析】由sin B sin A sin C,可知b a c = 10，即| AC | | BC | = 10，满足椭圆的定义。令442 211 ( x = _5)，图形为椭2592 2椭圆方程为 务丫2 = 1，则a二5,c二4= b =3，则轨迹方程为a b圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。二：直接法此类问题重在寻找数量关系。例2: 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求 AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标

18、为（x, y）由平几的中线定理：在直角三角形 AOB 中,OM=丄 AB 二1 2a 二 a,2 2=a, x2 y2.x2 y2M点的轨迹是以 O为圆心，a为半径的圆周.1【点评】此题中找到了 OM= AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直接法有下列几种情况: 21 ）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关 系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式， 得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即 得

19、其轨迹方程。名师精编_ 秀资料4) 借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、 性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定 理的方法是求动点轨迹的重要方法 三：参数法此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3.过点P (2, 4)作两条互相垂直的直线 ",-，若li交x轴于A点，I2交y轴于B点，求线段AB的 中点M的轨迹方程。【解析】分析1:从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线li引发的，可设出li的斜率k作为参数，建立动点M坐标

20、(x, y)满足的参数方程。解法1:设M (x, y),设直线li的方程为y 4 = k ( x 2), (k工0)1由Ii_l2,则直线2的方程为-4(x-2)k42.li与x轴交点A的坐标为2,0), *与y轴交点B的坐标为(0,)，kk M为AB的中点，2 一4k24 -2=i 一2k (k为参数)消去 k, 得 x+ 2y 5= 0。另外，当k= 0时，AB中点为M (i, 2),满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M (i, 2),也满足上述轨迹方程。综上所述,M的轨迹方程为x + 2y 5 = 0。分析2：解法i中在利用kik2= i时，需注意灯、k2是否存在，故而分情形讨论

21、，能否避开讨论呢？ 只需利用厶PAB为直角三角形的几何特性：i|MP | I AB I解法 2:设 M (x , y),连结 MP ,则 A (2x , 0), B (0 , 2y),/ li丄12 , PAB为直角三角形i由直角三角形的性质 ,| MP | AB |.厂2)2(厂4)2=2 心厂(2y)2化简，得x+ 2y 5= 0,此即M的轨迹方程。分析3:设M (x , y),由已知li± l2 ,联想到两直线垂直的充要条件：kik2= i,即可列出轨迹方程，关键是如何用 M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由 M为AB的中点，易找出它们的坐标之间 的联系。解法 3:设 M (

22、x , y) , / M 为 AB 中点， A (2x , 0) , B (0 , 2y )。名师精编优秀资料又 11, 12过点 P (2 , 4),且 1l 丄 12二 PA丄 PB,从而 kpA kpB = 1,而kPA4 一04 -2yPB2 -02打于化简得X 20注意到li丄x轴时,12丄y 轴，此时 A (2, 0), B ( 0, 4)中点M (1, 2),经检验，它也满足方程 x + 2y 5= 0 综上可知，点 M的轨迹方程为x + 2y 5= 0。【点评】1解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2,3为直接法，运用了 kpAkPB = 1, MP |= 1 | AB

23、 |2 这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有 向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它 的取值范围对动点坐标取值范围的影响练习一、选择题：6抛物线y =x上的点到直线2x - y = 4的最短距离是()3汇=5A. 5B. 5C.52 28设卩2是椭圆496的两个焦点，P是椭圆上的点，且'PRF2的面积为()A.4B.6C.2 2PF1 : PF2 = 4: 3D.4.22 2x. y_2 ,210设P为椭圆a b=1()、上 点, 两焦点分别为F,F2，如果卩时2-75&

24、lt;6代3B. 3C2D. 2 PF2F1 =15'，则椭圆的离心率为()、填空题：本大题共 5小题,每小题5分，共25分将答案填在题中横线上14过椭圆2 2X . y164内一点"(彳1)引一条弦，使弦被M点平分，则这条弦所在的直线方程是215动点P在曲线y=2x +1上移动，则点P和定点A(0,T)连线的中点的轨迹方程是 三、解答题(本大题共6个大题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. (2)已知双曲线的一条渐近线方程是x 20，并经过点2,2，求此双曲线的标准方程.18.（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（°，

25、- 3）、© -3）的距离之和等于4.设 点P的轨迹为C .（I）求曲线C的方程；（II）设直线 八双1与C交于A B两点，若O-OB，求k的值32°.已知两点（°， 3） ,（°， -3） 曲线G上的动点P（x,y）使得直线pa、PB的斜率之积为_4.（I）求G的方程;（II）过点C© 一1）的直线与G相交于E、T TF两点，且EC = 2CF，求直线EF的方程.21.已知两点耳(- 2,0) 、F2(、.2，°)，曲线 c 上的动点p(x,y)满足pF1pF2 |PF1|1 PF2l=2（I）求曲线C的方程；（II）设直线 1&#

26、176;"+血2°）,对定点 A（°,-1）, 是否存在实数 m ,使直线1与曲线C有两个不同的交点M、N，满足|AM F| AN I?若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.名师精编优秀资料20)圆锥曲线测试理科答案一、选择题(满分 50分，每题5分)12345678910ACCCBBABCA二、填空题(满分 25分，每题5 分)214. x 2y-4=o 15. y =4x2 216解：(2)设双曲线方程为：x - 4y =入,双曲线经过点(2, 2), 入=22 *- 4? 22-122y故双曲线方程为： 32=11212分18解：(I)设 P (x.y),由椭圆定义可知，点故曲线C的方程为P的轨迹C是以为焦距，长半轴为2的椭圆.它的短半轴2x2-14(n)设 A(xi,y1),B(X2,y2)，其坐标满足f