正弦定理和余弦定理(一轮复习)

1、备考方向要明了备考方向要明了1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、以选择题或填空题的形式考查正弦定理、 余弦定理在求三角形边或角中的应用，如余弦定理在求三角形边或角中的应用，如 2012年天津年天津T6，北京，北京T11等等2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现与平面向量、三角恒等变换等相结合出现 在解答题中，如在解答题中，如2012年江苏年江苏T15等等.掌握正掌握正弦定理、余弦定理、余弦定理，并弦定理，并能解决一些能解决一些简单的三角简单的三角形度量问题形度量问题.怎怎 么么 考考考考 什什 么么归纳归纳知识整合知识整合1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理a2c22accos Ba2

2、b22abcos C2Rsin B2Rsin Csin A sin B sin C定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解决解决三角三角形的形的问题问题已知两角和任一边，求另已知两角和任一边，求另一角和其他两条边一角和其他两条边已知两边和其中一边的对已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角角，求另一边和其他两角.已知三边，求各已知三边，求各角；角；已知两边和它们已知两边和它们的夹角，求第三边的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角 探究探究1.在三角形在三角形ABC中，中，“AB”是是“sin Asin B”的什么条件？的什么条件？“AB”是是“cos Acos B”的什么的什么条件？条

3、件？ 提示：提示：“AB”是是“sin Asin B”的充要条件，的充要条件，“AB”是是“cos Acos B”的充要条件的充要条件 2在在ABC中，已知中，已知a、b和和A时，解的情况时，解的情况A为锐角为锐角A为钝角或为钝角或直角直角图形图形关系式关系式absin Absin Aabababab解的解的个数个数一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解 探究探究 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角以角A为例为例) 提示：提示：cos A与与b2c2a2同号，同号， 当当b2c2a20时，角时，角A为锐角，若可判定其他为锐角，若可判定其他两角也为锐

4、角，则三角形为锐角三角形；两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当当b2c2a20时，角时，角A为直角，三角形为直角三角为直角，三角形为直角三角形；形； 当当b2c2a20时，角时，角A为钝角，三角形为钝角三角为钝角，三角形为钝角三角形形自测自测牛刀小试牛刀小试答案：答案：A答案：答案：D答案：答案：B5在在ABC中，角中，角A、B、C所对的边分别是所对的边分别是a、b、c.若若b2asin B，则角，则角A的大小为的大小为_答案：答案：30或或150利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 例例1(2012浙江高考浙江高考)在在ABC中，内角中，内角A，B，C的对边分别为的对边分别为

5、a，b，c，且，且bsin A acos B. (1)求角求角B的大小；的大小； (2)若若b3，sin C2sin A，求，求a，c的值的值3正、余弦定理的选用原则正、余弦定理的选用原则 解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷在解题时，理，应注意用哪一个定理更方便、简捷在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化地实施边和角的相互转化利用正、余弦定理判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形的形状例例2在在ABC中，若中，若(a2b2

6、)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断，试判断ABC的形状的形状自主解答自主解答(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：由正弦定理知法一：由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B. 1.三角形形状的判断思路三角形形状的判断思路判断

7、三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径判定三角形形状的两种常用途径通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系

8、进行判断；三角形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断求出三条边之间的关系进行判断.与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题例例3(2012山东高考山东高考)在在ABC中，内角中，内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，已知，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：求证：a，b，c成等比数列；成等比数列；(2)若若a1，c2，求，求ABC的面积的面积S.答题模板答题模板利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形快速规范审题快速规范审题 准确规范答题准确规范答题 易忽视角易忽视角BC的的范围，直接由范围，直接由sin(BC)1，求得结论求得结论答题模板速成答题模板速成解决解三角形问题一般可用以下几步解答：解决解三角形问题一般可用以下几步解答：第一步边角互化第一步边角互化利用正弦定理或余利用正弦定理或余弦定理实现边角互弦定理实现边角互化化(本题为边化角本题为边化角)第二步三角变换第二步三角变换三角变换、化简、三角变换、化简、消元，从而向已知消元，从而向已知角角(或边或边)转化转化第三