海岸工程教学专用-波浪理论

1、- 前进水波中的压力分布前进水波中的压力分布在拉格朗日积分式（在拉格朗日积分式（7-）中忽略）中忽略v2/2项可得项可得pgzt (7-34)cosh ()cos()cosh pgk zhakxtgzkh将（将（7-15）代入上式得）代入上式得有限水深相对压强有限水深相对压强：式中式中acos(kx-t)为波面方程。为波面方程。cosh ()cosh k zhpzkh适于适于z0 (7-35)因此因此cosh ()cosh pk zhkkh定义压力反应系数定义压力反应系数ppkz方程方程（-35）简化为：简化为： (7-36)方程（方程（7-35）或）或 (7-36)只适于只适于 z z0 的

2、区域的区域讨论：讨论： 当当z1时时（-35）对于的正值无效。因）对于的正值无效。因小振幅波的近似，即自由面条件（动力学条件）小振幅波的近似，即自由面条件（动力学条件）式（式（7-11）中用）中用=代替了代替了=上式第一项为波动压强，第二项为静水压强。上式第一项为波动压强，第二项为静水压强。 1. 当当z 1时（初始时（初始平面以下所有深度）平面以下所有深度） kp 1pkp2.当时当时(7-37)压力分布与取正值的静水压力分布规律相符压力分布与取正值的静水压力分布规律相符 3.当时当时1cosh pkkhcosh phkh(7-38)即底部的静水压力为即底部的静水压力为/ 在波谷下（在波谷下

3、（为负为负): 底部压力大于静水压力底部压力大于静水压力 cosh hhkh因为因为（739）在波峰下（在波峰下（为正为正):底部压力小于静水压力底部压力小于静水压力 若已知水平面以下某处的压强，可以反过来若已知水平面以下某处的压强，可以反过来预测波高。预测波高。 底部压强随时间和位置的变化将引起流体底部压强随时间和位置的变化将引起流体在砂床这类疏松介质中的流动。实际流体中会在砂床这类疏松介质中的流动。实际流体中会引起波能的粘性耗散。引起波能的粘性耗散。co sh hhkh(7-40)- -波群与波群速波群与波群速波群波群(Wave Group )：多种不同频率的波叠加在：多种不同频率的波叠加

4、在 一起形成的波。一起形成的波。1sin()akxt2sin()ak xt设设和和为两个简谐波为：为两个简谐波为：12sin() sin()akxtkxt而而kk，a, T相同，相同，2 cos()sin()2222k kkkaxtxt （741）迭加后得迭加后得合成波合成波:因因，上式可近似为，上式可近似为使合成波列具有波长使合成波列具有波长/，周期，周期/和波速（相速度）和波速（相速度）/；2 cos(sin()22kxtkkaxt(7-42)合成波由两部分组成：合成波由两部分组成：sin(kx-t) : 负责调制合成波的波长与周期负责调制合成波的波长与周期振幅调制波具有较合成波列大得多的

5、波长和周期振幅调制波具有较合成波列大得多的波长和周期kdd k振幅调制波的传播速度振幅调制波的传播速度 ,与合成波列的传播与合成波列的传播速度速度 不相同。不相同。2 cos()22k kat : 负责调制合成波列的振幅负责调制合成波列的振幅 gdCk kdk 4 4kk波长为波长为 , 周期为周期为 , 传播速度为传播速度为振幅调制波振幅调制波2 cos()22k kat 的振幅的振幅在在 2a之间随之间随时间和空间作周期性变化。时间和空间作周期性变化。振幅调制波将合成波列分成振幅由小到大，又由振幅调制波将合成波列分成振幅由小到大，又由大到小的一群。大到小的一群。包络线将合成波分成一个个波群

6、。包络线将合成波分成一个个波群。群波的长度为：群波的长度为：2k合成波列称为合成波列称为波群（波群（wave group) 合成波列具有两个速度合成波列具有两个速度: 相速度相速度C群速度群速度Cg合成波列以相对速度合成波列以相对速度(C-Cg)进入振幅调制波的进入振幅调制波的节点节点, 振幅从零逐渐加大到振幅从零逐渐加大到2a,又逐渐减小到零。又逐渐减小到零。 群速度：群速度：振幅调制波的传播速度为这一群波的振幅调制波的传播速度为这一群波的 前进速度。前进速度。振幅调制波以群速度振幅调制波以群速度C Cg g传播传播Cg等于波能的传递速度（待续）等于波能的传递速度（待续）群速度：群速度：()

7、gdddCCCkCkdkdkdk(7-43)2tanh gCkhk由由(7-23)式式 两边对两边对k求导得：求导得：22222tanh cosh coshdCghgghCCkhdkkkhkkkhk212 c o s h2d Cg hCd kCkk hk所以：所以：222111(1)2c o sh22c o shgg hCg hCCCCk hCk h上述结果代入（上述结果代入（-）式：）式：利用利用(-3)以及以及sinh2x = 2sinhx coshx，202LLh适用于适用于2gCC 深水波深水波:(7-45)20sinh2khkh（因为（因为 ）波群速为单独水波前进速度之半波群速为单独

8、水波前进速度之半12(1)2sinh2gkhCCkh上式简化成上式简化成:(7-44)21sinh 2khkh极浅水波极浅水波 ( 因因 ):12(1)2sinh2gkhCCCghkh (7-46) 波群速与单独水波前进速度相等波群速与单独水波前进速度相等- - 船船 波波Kelvin计算了以等速计算了以等速U前进的压力点的兴波情前进的压力点的兴波情况况, 波系见下图波系见下图, 图中为波峰线。图中为波峰线。22/LUg横波波长横波波长 : (7-47)横波和散波互相干扰并随同压力点一起前进。横波和散波互相干扰并随同压力点一起前进。 船首、船尾形成前、后驻点。驻点处流体船首、船尾形成前、后驻点

9、。驻点处流体的动能转变成压能的动能转变成压能, 该处压力升高该处压力升高,可认为该可认为该点的造波作用与压力点相同。点的造波作用与压力点相同。 船舶航行首尾各有一船舶航行首尾各有一Kelvin波系见下图：波系见下图：船舶所遭受的兴波阻力与首、尾两个横波系船舶所遭受的兴波阻力与首、尾两个横波系之之间的干扰有很大关系。间的干扰有很大关系。兴波阻力系数曲线上的兴波阻力系数曲线上的“峰峰”和和“谷谷”就是这就是这一干扰的结果一干扰的结果, 见下图：见下图： 设计船舶时设计船舶时,应使在设计航速时船舶处于应使在设计航速时船舶处于兴波阻力系数兴波阻力系数“谷点谷点”的位置的位置,有利干扰兴波。有利干扰兴波

10、。- -波能的传递及兴波阻力波能的传递及兴波阻力水波运动是流体动能与势能之间的平衡结果，讨水波运动是流体动能与势能之间的平衡结果，讨论波能的传递与兴波阻力的研究很有关系。论波能的传递与兴波阻力的研究很有关系。1. 波浪的总能量为动能与势能之和，动能与波浪的总能量为动能与势能之和，动能与 势能相等。势能相等。2.波能与波幅的平方成正比，与水深无关。波能与波幅的平方成正比，与水深无关。3. 波能的传播速度就是群速度。波能的传播速度就是群速度。结论：结论：2201cos ()2Lgakxt dx2000122LLLIIdmg hdxggdx对于余弦波，一个波长的对于余弦波，一个波长的势能势能为：为：

11、2211224Lgaga L(7-48)2201()2LzzhTvvd z d x 动能动能 ：2201()() 2Lhdzdxxz : 一个波长内由自由表面、底面及两侧面组一个波长内由自由表面、底面及两侧面组成的闭边界线成的闭边界线.12sTd sn利用利用Green公式，将面积分公式，将面积分(单位宽度的体积分单位宽度的体积分)变为线积分变为线积分:(7-49)为边界外法线为边界外法线,左右垂直侧面上积分路线相反，积分互相抵消。左右垂直侧面上积分路线相反，积分互相抵消。水底水底:0nz（-49）式中只剩下沿自由表面）式中只剩下沿自由表面OAB的积分的积分对于微振幅波，对于微振幅波， 取值近

12、似由取值近似由=代替代替=z001()2LzTdxz因此因此(7-50) cosh ()sin()cosh agk zhkxtkh由式由式（7-26）sinh ()sin()cosh agkk zhkxtzkh0sin()zagkxt(7-51)0tanh sin()sin()zagkkhkxtakxtz(7-52)因因gk tanh kh, 则则将将（7-51），（7-52）代入代入（-50）：22000()sin ()22lLzTdxa gkxt dxz2011cos 2()22Lagkxtdx201sin 2()44LLagxkxt214Tg aL所以所以(7-53)比较（比较（7-48

13、）和（）和（7-53）得）得 进行波动能与势能相等进行波动能与势能相等一个波长的波总能量为一个波长的波总能量为(7-54)212E II Tga L 2012EEgaL单位长度波浪的总能量：单位长度波浪的总能量：在一个周期时间内，通过轴传播的能量等于在一个周期时间内，通过轴传播的能量等于压力对轴所做的功，即：压力对轴所做的功，即：波能传递波能传递结论：波能的传播速度就是群速度结论：波能的传播速度就是群速度证明：证明：00TxhWdzpv dt(7-55)由（由（7-26）式得）式得cosh ()sin()cosh agk zhkxtkh（7-56）cosh ()cos()cosh xkagk

14、zhvkxtxkh所以所以（7-57 ）pgzt 由（由（-34）式得）式得当当const. 这时这时gz为常数，为常数， 随时间变化随时间变化t能量传播，只与能量传播，只与 有关有关 t 由（由（7-56）式有：）式有：cosh ()cos()cosh k zhagkxttkh(7-58)将式（将式（7-57）和（）和（7-58）代入（）代入（7-55）：）：2220220cosh()cos ()coshThg a kk zhWdzkxt dxkh20cos ()2TTkxt dt因为因为22022cosh()2coshhg a kTWk zh dzkhz轴处，轴处，x=0所以所以22022

15、co sh()2co shhga kTWkzh d zkh02sinh22cosh()(1)2sinh2hkhkhk z h dzkkh积分积分 222sinh 22(1)2cosh4sinh 2g a kTkhkhWkhkkh所以所以212(1)22sin h 2CkhTg akhEL单位长度波能单位长度波能gC群速群速gWECTL(7-59)所以所以表明：单位时间通过轴的能量，等于单位表明：单位时间通过轴的能量，等于单位长度波能乘上群速度，即长度波能乘上群速度，即波能传递速度等于波能传递速度等于群速度群速度。兴波阻力兴波阻力 船舶在水面航行，兴起波浪，一部分波能由船船舶在水面航行，兴起波浪

16、，一部分波能由船舶提供，这就是舶提供，这就是兴波阻力。兴波阻力。船舶遭受的阻力有：粘性阻力和兴波阻力，兴船舶遭受的阻力有：粘性阻力和兴波阻力，兴波阻力是理想流体作用于船舶上的压差力。波阻力是理想流体作用于船舶上的压差力。船到波随，船波船到波随，船波波速波速就就等于船速等于船速22112(1)222sinh 2wCkhga VtgatR Vtkh02(1)2sinh 2CkhEtkh时间内船后新增波浪长度由老波以波群速传来时间内船后新增波浪长度由老波以波群速传来一部分能量一部分能量由于由于=，故，故 另一部分由船舶克服兴波阻力做功而提供另一部分由船舶克服兴波阻力做功而提供wR Vt则能量平衡方程

17、式为：则能量平衡方程式为：总能量总能量 212(1)4sinh 2wkhRgakh(7-60)20sinh2khkh对于深水对于深水214wRga则则（761）这一结论不仅适用于余弦波，其它波动同样适用这一结论不仅适用于余弦波，其它波动同样适用深水中船舶所遭受的兴波阻力是波能的一半深水中船舶所遭受的兴波阻力是波能的一半兴波阻力的大小与振幅的平方成正比兴波阻力的大小与振幅的平方成正比在极浅水中，波浪前进的最大速度不能超过临在极浅水中，波浪前进的最大速度不能超过临界速度界速度 ，ghgh若船的航行速度大于若船的航行速度大于 ，则没有波浪可以跟随，则没有波浪可以跟随它，兴波阻力也就不可能产生。它，兴

18、波阻力也就不可能产生。例例.1 某小船在无限深水的波浪中每分钟摇摆某小船在无限深水的波浪中每分钟摇摆 30次，求波长，圆频率次，求波长，圆频率，波数，波数， 以及波形传播速度以及波形传播速度解解: 船航速为零，单纯由波浪引起的摇摆船航速为零，单纯由波浪引起的摇摆1min2( )30Ts则周期则周期23.14(1/ ) sT圆频率圆频率21.006kg波数波数 26.26Lmk波长波长3.12/Cmsk波速波速例例.3 水深水深=10，自由面上有一沿轴正向，自由面上有一沿轴正向 传播的平面小振幅波，传播的平面小振幅波， 波长波长=30求：求：）波幅）波幅.1m时的自由面形状时的自由面形状;）波的

19、传播速度；）波的传播速度；）波幅）波幅0.1m衡位置在水平面以下衡位置在水平面以下0.5处处 流体质点的运动轨迹；流体质点的运动轨迹；）水平面以下）水平面以下1，2处流体的平均压力；处流体的平均压力；）波系的群速度。）波系的群速度。cos()akxt解解: 1）由式（）由式（7-16）220.20930kL波数波数圆频率由（圆频率由（-20）为）为tanh9.8 0.209 tanh(0.209 10)1.381gkkh波面方程为波面方程为0.1 cos(0.2091.381 )xt1.3816.6080.209Ck）波的传播速度）波的传播速度(相速度相速度)）由（）由（-20）式流体质点的轨

20、迹方程）式流体质点的轨迹方程220022()()1xxzza0cosh()sinhak zhakh0sinh()sinhazhkh其中其中20.00869a20.00806取取 Z0=0.5m，a=0.1m，h=10m，k=0.209，得得: :4 ) 4 ) 由（由（-25）式计算压力）式计算压力pz在一个周期内在一个周期内的均值为零，故有：的均值为零，故有：压力与静压分布相同压力与静压分布相同122mmpp 故水下故水下1和和2处流体的压力分别为处流体的压力分别为:12(1)3.2722sinh2gkhCCkh5 )5 )由式由式(7-44)可得：可得：例例7.4 波长为波长为6.28m，在某一深度次波面的波高，在某一深度次波面的波高 减小一半，试求这一深度。减小一半，试求这一深度。所以所以 z=ln(1/2)= - 0.693m解：流体质点得轨圆半径为解：流体质点得轨圆半径为= aekz 在波面上在波面上 Z0=0, r0=a在任意水深在任意水深 = aekz 由题意由题意 r0=2a，则则= aekz ，a=2 aekz所以所以 ekz1/2K=2/ =6.28/6.28=1ekz = ez = 1/2例例7.6 设无限深水中