流体机械素材库

1、2021年12月12日大学物理讲义(十五)1高 等 学 校 教 材大 学 物 理 第十五章 机械振动 2021年12月12日大学物理讲义(十五)2目 录 1 1 简谐振动简谐振动( (运动学部分运动学部分) ) 简谐振动简谐振动( (动力学部分动力学部分) ) 3 阻尼振动阻尼振动 4 受迫振动与共振受迫振动与共振 5 简谐振动的合成简谐振动的合成 6 谐振分析谐振分析2021年12月12日大学物理讲义(十五)3第十五章第十五章 机机 械械 振振 动动振动有各种不同的形式振动有各种不同的形式机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如位移、电如位移、电 流等

2、流等)在某一在某一数值附近反复变化。数值附近反复变化。 振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动) )无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动物体相对某位置作往复运动物体相对某位置作往复运动-机械振动机械振动2021年12月12日大学物理讲义(十五)41 1 简谐振动简谐振动一一. 简谐振动简谐振动 表达式表达式 x(t)=Acos( t+ ) 特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T )( (运动学部分运动学部分) )二二. 描述描述简谐振动简谐

3、振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和频率和频率 v，角频率角频率 = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相物体离开平衡位置的位移按余弦（或正弦）规律随物体离开平衡位置的位移按余弦（或正弦）规律随t往复往复变化变化-简谐振动简谐振动最大位移的绝对值（最大位移的绝对值（A恒为正值）。恒为正值）。2T2相位是描述振动状态的物理量相位是描述振动状态的物理量2021年12月12日大学物理讲义(十五)5t=0 =maxv=0( t + + )=0t=T/4 =0v= -max( t

4、 + + )= /2 t=T/2 = -maxv=0( t + + )= t=3T/4 =0v=max( t + + )=3 /2t=T =maxv=0( t + + )=2 2021年12月12日大学物理讲义(十五)6三三. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法解析法由由 x=Acos( t+ )已知表达式已知表达式 A、T、 已知已知A、T、 表达式表达式已知初始条件已知初始条件t=0 x=x0，v=v0求求A与与 x=Acos( t+ )v=-A sin( t+ )代入初值条件代入初值条件cos0Ax sin0AvAx0cosAv0sin1)()(2020AvAx22020v

5、xA0000 xvxAAvtg)(00 xvarctg2021年12月12日大学物理讲义(十五)72. 曲线法（振动曲线）曲线法（振动曲线）oxmx0 = 0 = /2oA-AtxT 已知曲线已知曲线 A、T、 已知已知 A、T、 曲线曲线由由x-t曲线可知初相及任意时刻的相位曲线可知初相及任意时刻的相位曲线上任一点在曲线上任一点在x轴投影代表简谐振动轴投影代表简谐振动若若A=0.1m, T=2ssT/2 =?t=0, x0=0 x0=Acos( )=023,2v0= =-A sin( ) 02)(2cos(1 . 0mtx2021年12月12日大学物理讲义(十五)83. 3. 旋转矢量法旋转

6、矢量法( (辅助圆法辅助圆法) ) t+ oxxt = tt = 0 x = A cos( t + ) AA以旋转矢量在以旋转矢量在x轴上投影轴上投影 x=Acos( t+ )代表谐振动代表谐振动旋转矢量旋转矢量(确定的矢径确定的矢径,角速度角速度,初相初相)谐振动谐振动矢量端点处质点在半径为矢量端点处质点在半径为A的圆周上做匀速圆周运动的圆周上做匀速圆周运动圆运动速率圆运动速率vm= A投影投影v=- vm sin( t+ )v=-A sin( t+ )圆运动向心加速度圆运动向心加速度an= 2 A投影投影a=- ancos( t+ ) =- 2 A cos( t+ ) t+ -振动的相；振

7、动的相；矢量与矢量与x轴夹角轴夹角2021年12月12日大学物理讲义(十五)9 =？t = 0 x = A cos( t + ) 已知初始条件已知初始条件t=0 x=x0，v=v0求初相位求初相位 如图，在如图，在x=x0处可有两个状态处可有两个状态由速度确定由速度确定v1x0v00, = 2vmvm12ox0 x A 1 2A2021年12月12日大学物理讲义(十五)10四四. 相位差相位差 = B - A=( t+ 2)-( t+ 1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1初相差初相差 同相和反相同相和反相当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调

8、相同, ,称称同相同相xA = A1 cos( t + 1) xB = A2 cos( t + 2) 相可以唯一地确定振动状态（位移、速度）相可以唯一地确定振动状态（位移、速度）相差相差当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。oxx A1A AB B2AA1A20A2A102021年12月12日大学物理讲义(十五)11txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相当当 = (2k+1) ,

9、( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。2021年12月12日大学物理讲义(十五)12x2TxoA1-A1A2- A2x1t 超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。领先、落后以领先、落后以 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A aa 与与 x 的周相相反的周相相反)cos(2 tA2021年12月12日大学物理讲义(十五)14 简谐振动简谐振动( (动力学部分动力学部分) )mkX0A、水平弹簧振子、水

10、平弹簧振子FmXk0 x=d xdt22kmx+0由牛顿定律：由牛顿定律：kx = md xdt22令令m=k2得得：km=（弹簧振子的圆频率）（弹簧振子的圆频率）d xdt22=+2x0振动动力学方程振动动力学方程一一. . 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程m所受合外力：所受合外力：kxF 其解其解)cos(0 tmkAx-回复力（正比回复力（正比x且反向）且反向）2021年12月12日大学物理讲义(十五)15B、单摆（不计阻力）、单摆（不计阻力）m+L转转动动正正方方向向mgT法向力提供圆周运动向心力法向力提供圆周运动向心力切向力提供往复运动切向力提供往复运动sinmgftmgft

11、很小很小-回复力（正比回复力（正比且反向）且反向）动力学方程动力学方程由牛顿定律：由牛顿定律：ttmamgf22dtdmLmL022 Lgdtd令令Lg0222dtd其解其解)cos(00 tLg2021年12月12日大学物理讲义(十五)16A、水平弹簧振子、水平弹簧振子kxF )cos(0 tmkAxd xdt22=+2x0km=B、单摆（不计阻力）、单摆（不计阻力）mgftLg0222dtd)cos(00 tLg简谐振动简谐振动2021年12月12日大学物理讲义(十五)17一一. . 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程1. 受力特点受力特点 线性恢复力线性恢复力 (F= -kx)2.

12、 动力学方程动力学方程4. 固有固有( (圆圆) )频率频率弹簧振子弹簧振子:mk 0222 xtdxd 3.运动学方程：运动学方程：)cos(0 tAx固有频率决定于系统内在性质固有频率决定于系统内在性质lg 单摆单摆 :5. 由初始条件求振幅和相位由初始条件求振幅和相位 22020 xA)(tg0010 x 判判定定简简谐谐振振动动的的方方法法2021年12月12日大学物理讲义(十五)18二二. .简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)1.1.简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点(1) 动能动能221 mEk )(sin21222 tAm0,21min

13、2max kkEkAE2411kAdtETETttkk (2) 势能势能221kxEp )(cos2122 tkA(3) 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒-无阻尼无阻尼0,21min2maxppEkAE2411kAdtETETttpp2021年12月12日大学物理讲义(十五)19xtTEEpEk(1/2)kA22. 由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 三三. .简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法1.1.由分析受力出发由分析受力出发(由牛顿定律列方程由牛顿定律列方程)2. 由分析能量出发由分析能量出发(将将能量能量守恒式对守恒式对

14、 t 求导求导)okpEE 221kAEEEpk 2021年12月12日大学物理讲义(十五)20谐振动谐振动作业作业1 共共7题题旋转矢量旋转矢量作业作业2 共共4题题2021年12月12日大学物理讲义(十五)21 x(t)=Acos( t+ ) 振幅振幅 A周期周期T 和频率和频率 v，角频率角频率 相位相位相位是描述振动状态的物理量相位是描述振动状态的物理量简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法解析法22020vxA)(00 xvarctg2. 曲线法（振动曲线）曲线法（振动曲线）oA-AtxT3. 3. 旋转矢量法旋转矢量法( (辅助圆法辅助圆法) ) 相位差相位差 oxx A

15、1A AB B2A对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1x2TxoA1-A1A2- A2x1t2021年12月12日大学物理讲义(十五)221. 受力特点受力特点 线性恢复力线性恢复力 (F= -kx)2. 动力学方程动力学方程4. 固有固有( (圆圆) )频率频率0222 xtdxd 3.运动学方程：运动学方程：)cos(0 tAx5. 由初始条件求振幅和相位由初始条件求振幅和相位 判判定定简简谐谐振振动动的的方方法法221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒-无阻尼无阻尼2021年12月12日大学物理讲义(十五)23 例例1 水面上浮有一方形木块，在静止

16、时水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为水面以上高度为a,水面以下高度为水面以下高度为b。水密度。水密度不计水的阻力。现用外力不计水的阻力。现用外力木快密度为木快密度为为为将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。 ab 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。2021年12月12日大学物理讲义(十五)24平平衡衡位位置置bca.0 xsy平衡时：平衡时：+)ab(ssggb=0任任意意位位置置ac.b0 xxs y任意位置木块受到的合外力为：任意位置木块受到的合外力为：F=()bbax+ssgg (gx=s合

17、外力和位移成正比，方向合外力和位移成正比，方向和位移相反，木块作谐振动和位移相反，木块作谐振动gxddt22a+s()=b sx g2ddt2+(a+b)= 0 xx )(bag )cos(0 tAx 00 aA000vax2021年12月12日大学物理讲义(十五)25b自然长度自然长度mgF静平衡时静平衡时kb - mg = 0 例例2 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹的小球，弹簧伸长量为簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。求证：放手后小球作简谐振动

18、，并写出振动方程。b0平衡位置平衡位置自然长度自然长度取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点任意位置受合外力为：任意位置受合外力为：F = mg - k ( b + x ) = - kx小球作谐振动小球作谐振动b0平衡位置平衡位置自然长度自然长度xb bg gm mk k000 vbx 0bA)cos( tbgbxo2021年12月12日大学物理讲义(十五)26 3 阻尼振动阻尼振动一一. 阻尼振动阻尼振动物体在运动过程中总要受到阻力作用，不断克物体在运动过程中总要受到阻力作用，不断克服阻力做功则振动系统的能量及振幅逐渐减少服阻力做功则振动系统的能量及振幅逐渐减少F = kxF = v阻

19、尼力阻尼力弹性力弹性力振动的动力学方程振动的动力学方程dtdtd xmdx2=kx2令令k m2=02m=（阻尼因子）（阻尼因子）02222xdtdxdtxd 2021年12月12日大学物理讲义(十五)27T0越小，振幅减弱越慢，每周越小，振幅减弱越慢，每周期内损能越少，期内损能越少，T越近于越近于T02021年12月12日大学物理讲义(十五)28tx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼 2. 过阻尼过阻尼0tteCeCx)(2)(1202202 特点特点:完成一次振动前完成一次振动前, 能量完全损失能量完全损失, 以以非周期运动非周期运动方式回复方式回复 3. 临界阻尼临界阻尼=0特点特

20、点:刚好以刚好以非周期运动非周期运动方式回复到平衡位置，需时最短方式回复到平衡位置，需时最短t21)(etCCx2021年12月12日大学物理讲义(十五)29 4 受迫振动与共振受迫振动与共振一一. 受迫振动受迫振动 在外来策动力作用下的振动在外来策动力作用下的振动1. 系统受力系统受力 弹性力弹性力 -kx2. 振动方程振动方程阻尼力阻尼力 tddx 周期性策动力周期性策动力 f =F0cos dtftddxkxtdxdm 22thxtddxtdxdd cos22022其中其中mFhmmk00,2, 2021年12月12日大学物理讲义(十五)303. 稳态解稳态解 x=Acos( d t+

21、d)4. 特点特点稳态时的受迫振动按稳态时的受迫振动按简谐振动简谐振动的规律变化的规律变化(1)频率频率: 等于策动力的频率等于策动力的频率 d (2)振幅振幅:2/ 12222204)(ddhA thxtddxtdxd cos22022 方程的解为方程的解为：+t 2000t2dAx =A ecos()+ cos(dt +)暂态解暂态解稳态解稳态解受迫振动达稳定状受迫振动达稳定状态时的等幅振动态时的等幅振动(3)初相初相:2202tgddd 与初态无关与初态无关2021年12月12日大学物理讲义(十五)31二二. .共振共振在一定条件下在一定条件下, 振幅出现振幅出现 极大值极大值, 振动剧

22、烈的现象振动剧烈的现象(1)共振频率共振频率 :2202 r(2)共振振幅共振振幅 :2202 hAr若若 则则 r 0 Ar h/(2 )极大极大 称尖锐共振称尖锐共振1. 位移共振位移共振2/ 12222204)(ddhA 0dddA 2021年12月12日大学物理讲义(十五)32 2.速度共振速度共振一定条件下一定条件下, 速度幅速度幅 A极大的现象极大的现象 r= 0 m r=h/2 v r=0速度共振时，速度与策速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向动力总作正功，此时向系统输入的系统输入的能量最大。能量最大。 x=Acos( d t+ d)s

23、in( tAtddx)2cos( tA即即 =- /22021年12月12日大学物理讲义(十五)335 简谐振动的合成简谐振动的合成一一. 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2) 2.合振动合振动 : x = x1+ x2 x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA x02A2Ax1A1一个质点同时参与两个同向同频谐振动一个质点同时参与两个同向同频谐振动x =

24、x1+ x221AAA振幅不仅与分振幅有关，振幅不仅与分振幅有关，还与二者相差相关还与二者相差相关 2021年12月12日大学物理讲义(十五)343.两种特殊情况两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 2 1= 2k (k=0,1,2,) (2)若两分振动反相若两分振动反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)如如 A1=A2 , 则则 A=0则则A=A1+A2 = Amax, 两分振动相互加强两分振动相互加强则则A=|A1-A2|= Amin, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱)cos(212212221 AAAAA通常通常 |A1-A2| AA1+A2 推广：推广：n个同

25、向同频振动的迭加个同向同频振动的迭加niiiniitAxx11)cos( 旋转矢量合成方法更形象易解旋转矢量合成方法更形象易解niiAA2021年12月12日大学物理讲义(十五)35niiiniitAxx11)cos( 旋转矢量合成方法更形象易解旋转矢量合成方法更形象易解niiAA特别地特别地等振幅各分振动之初相依次相差为等振幅各分振动之初相依次相差为 )cos(1tax )cos(2 tax)2cos(3 tax)1(cos ntaxn.xo1A 2A 3A 4A矢量相加形成正多边形一部分，其外接圆圆心为矢量相加形成正多边形一部分，其外接圆圆心为C，各矢量所张圆心角为各矢量所张圆心角为 =

26、显然合成振幅对应圆心角为显然合成振幅对应圆心角为 n 2sin2 nRA A2sin2 Ra nanaA)2/sin()2/sin(lim0 c 21n)2/sin()2/sin( naA nkknknknaA, 0)2/ )/2sin()2/ )/2(sin( 2021年12月12日大学物理讲义(十五)36作业作业3 共共5题题2021年12月12日大学物理讲义(十五)37演示课件演示课件2021年12月12日大学物理讲义(十五)38 x(t)=Acos( t+ ) 振幅振幅 A周期周期T 和频率和频率 v，角频率角频率 相位相位相位是描述振动状态的物理量相位是描述振动状态的物理量简谐振动简

27、谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法解析法22020vxA)(00 xvarctg2. 曲线法（振动曲线）曲线法（振动曲线）oA-AtxT3. 3. 旋转矢量法旋转矢量法( (辅助圆法辅助圆法) ) 相位差相位差 oxx A1A AB B2A对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1x2TxoA1-A1A2- A2x1t2021年12月12日大学物理讲义(十五)391. 受力特点受力特点 线性恢复力线性恢复力 (F= -kx)2. 动力学方程动力学方程4. 固有固有( (圆圆) )频率频率0222 xtdxd 3.运动学方程：运动学方程：)cos(0 tAx5. 由初始条件求振幅和相

28、位由初始条件求振幅和相位 判判定定简简谐谐振振动动的的方方法法221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒-无阻尼无阻尼2021年12月12日大学物理讲义(十五)40阻尼振动阻尼振动F = kxF = vk m2=02m=02222xdtdxdtxd 0 3. 临界阻尼临界阻尼=0tx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼2021年12月12日大学物理讲义(十五)41受迫振动受迫振动 弹性力弹性力 -kx阻尼力阻尼力 tddx 周期性策动力周期性策动力 f =F0cos dtthxtddxtdxdd cos22022其中其中mFhmmk00,2, +t 2000t2dA

29、x =A ecos()+ cos(dt +) x=Acos( d t+ d)(1)频率频率: 等于策动力的频率等于策动力的频率 d (2)振幅振幅:2/ 12222204)(ddhA (3)初相初相:2202tgddd 与初态无关与初态无关2021年12月12日大学物理讲义(十五)421. 位移共振位移共振2202 r2202 hAr若若 0，x0，y0，x0，y02021年12月12日大学物理讲义(十五)50 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .椭圆的性质椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) 在在 A1 、A2确

30、定之后确定之后, 主要决定于主要决定于 = 2- 1 任何一直线谐振动，椭圆（圆）振动均可分解为两互相垂直谐振动任何一直线谐振动，椭圆（圆）振动均可分解为两互相垂直谐振动2021年12月12日大学物理讲义(十五)51四四. .垂直方向不同频率简谐振动的合成垂直方向不同频率简谐振动的合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2- 1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2- 1随随缓慢变化缓慢变化 合运动轨迹将按上页图合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形 x y=3 2 yxA1A2o-A2- A1 两振动的频率成两振动的频率成简单整数比简单整数比合成振动轨迹是稳定的闭合曲线合成振动轨迹是稳定的闭合曲线测未知频率测未知频率yxxyNN 一空间振动总可认为是三个互相垂直振动的合成一空间振动总可认为是三个互相垂直振动的合成一复杂的线振动总可认为是同一直线许多